Transformación legendre

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La transformada de Legendre para una función dada es la construcción de una función que es su dual de Young. Si la función original estaba definida sobre un espacio vectorial , su transformada de Legendre será una función definida sobre el espacio dual , es decir, sobre el espacio de funcionales lineales sobre el espacio . $f(x)$ ${\ estilo de visualización f ^ {*} (p)}$ $V$ $V^*$ $V$

Motivación

La posible motivación se puede expresar como una definición menos general. La transformada de Legendre es una sustitución de una función y una variable en la que la antigua derivada se toma como la nueva variable y la antigua variable se toma como la nueva derivada.

Expresión para diferencial

df(x)=f'(x)\,dx

debido al hecho de que , se puede escribir en la forma $d(xf')=f'\,dx+x\,df'$

d(xf'-f)=x\,df'.

Si ahora aceptamos que

F=xf'-f,\quad y=f'(x),

que es la transformada de Legendre , entonces ${\ estilo de visualización (f, x) \ a (F, y)}$

dF(y)=F'(y)\,dy,\quad x=F'(y).

En este caso, la nueva variable es igual a la antigua derivada, y la antigua variable es igual a la nueva derivada: $y$ $X$

y=f'(x),\quad x=F'(y).

Las definiciones pueden diferir en el signo . Si hay más de una variable de origen , la transformación de Legendre se puede realizar en cualquier subconjunto de ellas. $F$ $X$

Definición

Definición analítica

La transformada de Legendre de una función definida en un subconjunto de un espacio vectorial es una función definida en un subconjunto del espacio dual por la fórmula $F$ $METRO$ $V$ ${\ estilo de visualización f ^ {*}}$ $M^*$ $V^*$

f^{*}(p)=\sup _{x\in M}{\big (}\langle p,x\rangle -f(x){\big )},\quad p\in M ^{*}=\left\{p:\sup _{x\in M}{\big (}\langle p,x\rangle -f(x){\big )}<\infty \right\},

donde es el valor de la funcional lineal en el vector . En el caso de un espacio de Hilbert , el producto escalar habitual . En el caso especial de una función diferenciable definida en , la transición a la función adjunta se realiza de acuerdo con las fórmulas ${\ estilo de visualización \ langle p, x \ rangle}$ $pags$ $X$ ${\ estilo de visualización \ langle p, x \ rangle}$ ${\ matemáticas R}^{n}$

f^{*}(p)=\langle p,x\rangle -f(x),\quad p={\frac {\parcial f}{\parcial x))=\operatorname {grad} f ,

y es necesario expresar a través de la segunda ecuación. $X$ $pags$

Sentido geométrico

Para una función convexa, su epígrafe es un conjunto cerrado convexo , cuyo límite es la gráfica de la función . El conjunto de hiperplanos de apoyo al epígrafe de una función es el dominio natural de su definición por su transformación de Legendre.Si es un hiperplano de apoyo (tangente en nuestro caso ) al epígrafe, corta al eje en algún punto único. Su coordenada, tomada con un signo menos, es el valor de la función . $f(x)$ $\operatorname {epi} f=\{(x,y)\mid y\geqslant f(x)\}$ $f(x)$ $f(x)$ ${\ estilo de visualización f ^ {*} (p).}$ $pags$ $y$ $y$ ${\ estilo de visualización f ^ {*} (p)}$

La correspondencia se define únicamente en el dominio donde la función es diferenciable . Entonces es el hiperplano tangente a la gráfica en el punto . La correspondencia inversa se define de forma única si y solo si la función es estrictamente convexa. En este caso , el único punto de contacto del hiperplano de referencia con la gráfica de la función ${\ estilo de visualización x \ a p}$ $f(x)$ $pags$ $f(x)$ $X$ ${\ estilo de visualización p \ a x}$ $f(x)$ $X$ $pags$ ${\ estilo de visualización f (x).}$

Si la función es derivable y estrictamente convexa, se define una correspondencia que asigna la diferencial de la función al hiperplano en el punto . Esta correspondencia es uno a uno y nos permite trasladar el dominio de definición de la función al espacio de covectores, que son las diferenciales de la función . $f(x)$ $p(x)\leftrightarrow df(x),$ $pags$ $f(x)$ $X$ ${\ estilo de visualización f ^ {*} (p)}$ $V^{*},$ $f(x)$

En el caso general de una función no convexa arbitraria, se conserva el significado geométrico de la transformada de Legendre. En virtud del principio de soporte, la envolvente convexa del epígrafe es la intersección de los semiespacios definidos por todos los hiperplanos de soporte , por lo que sólo la envolvente convexa del epígrafe es esencial para la transformación de Legendre . Así, el caso de una función arbitraria se reduce fácilmente al caso de una función convexa. La función ni siquiera tiene que ser diferenciable o continua, su transformada de Legendre seguirá siendo una función semicontinua inferior convexa. $\varphi$ $\varphi$

Propiedades

Teorema de Fenchel-Moro : para una función semicontinua inferior convexa adecuada f definida en un espacio reflexivo , la transformada de Legendre es involutiva , es decir, . Es fácil ver que si el cierre convexo de la función f es la función g , entonces f * = g *. Esto implica que para una función no convexa cuyo cierre convexo es una función propia, $f^{{**}}(x)=f(x)$ $f^{**}(x)=\operatorname {\overline {co)) f(x)$ , donde es el cierre convexo de la función f . ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {\ overline {co}} f}$
La desigualdad de Young-Fenchel se sigue directamente de la definición analítica : $f(x)+f^{*}(p)\geqslant \langle p,x\rangle$ , y la igualdad se logra solo si p = F ́( x ). (A menudo , la desigualdad de Young es un caso especial de esta desigualdad para una función , a > 1). $F(x)=x^{a}/a$
En el cálculo de variaciones (y la mecánica lagrangiana basada en él ), se suele aplicar la transformación de Legendre a las lagrangianas de acción en una variable . La imagen del Lagrangiano se convierte en el Hamiltoniano de la acción H ( t , x , p ), y las ecuaciones de Euler-Lagrange para trayectorias óptimas se transforman en las ecuaciones hamiltonianas . $L(t,x,{\dot {x)))$ ${\ punto {x}}$
Usando el hecho de que , es fácil demostrar que . $p=\nabla_{x}f$ $\nabla _{p}f^{*}(p)=-x$

Ejemplos

Función de potencia

Considere la transformación de Legendre de la función , ( , ) definida en . En el caso de n par , podemos considerar . $f(x)=x^{n}$ $n>0$ ${\ estilo de visualización n \ neq 1}$ $\mathbb {R^{+}}$ $\matemáticas {R}$

p(x)={\frac {df}{dx}}=n\cdot x^{n-1}.

De aquí expresamos , obtenemos ${\ estilo de visualización x = x (p)}$

x(p)=\left({\frac {p}{n}}\right)^{\frac {1}{n-1}}.

En total, obtenemos la transformación de Legendre para la función potencia :

f^{*}(p)=px-f(x)=\left({\frac {p}{n}}\right)^{\frac {n}{n-1}}\cdot (n-1).

Es fácil comprobar que la transformación repetida de Legendre da la función original . $f(x)$

Función de muchas variables

Considere una función de muchas variables definida en el espacio de la siguiente forma: $\mathbb{R} ^{n}$

f(x)=\langle x,Ax\rangle +c.

$A$ real, matriz definida positiva, constante. En primer lugar, asegurémonos de que el espacio dual en el que se define la transformada de Legendre coincide con . Para hacer esto, necesitamos asegurarnos de que existe el extremo de la función . $C$ $\mathbb{R} ^{n}$ $\phi =\langle p,x\rangle -\langle x,Ax\rangle -c$

{\ estilo de visualización \ nabla _ {x} \ phi = p-2Ax,}

{\ estilo de visualización \ nabla _ {x} \ nabla _ {x} \ phi = -2A.}

Debido a la definición positiva de la matriz , obtenemos que el punto extremo es el máximo. Así, para cada uno hay un supremo . El cálculo de la transformada de Legendre se realiza directamente: $A$ $pags$

f^{*}(p)={\frac {1}{4}}\langle p,A^{-1}p\rangle -c.

Aplicaciones

Mecánica hamiltoniana

En la mecánica lagrangiana , el sistema se describe mediante la función de Lagrange. Para un problema típico, la función de Lagrange se ve así:

L(q,u)={\frac {1}{2}}\langle u,Mu\rangle -V(q),

${\displaystyle (q,u)\in \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n))$ , con el producto punto euclidiano estándar. La matriz se considera real, definida positiva. En el caso de que el Lagrangiano no sea degenerado en velocidades, es decir, $METRO$

p=\nabla_{u}L(q,u)\neq 0,

puede hacer la transformación de Legendre en términos de velocidades y obtener una nueva función llamada hamiltoniano:

H(p,q)=pq'-L={\frac {1}{2}}\langle p,M^{-1}p\rangle +V(q).

Termodinámica

En termodinámica, muy a menudo hay una variedad de funciones termodinámicas , cuyo diferencial en el caso más general parece

dL=X\,dx+Y\,dy+Z\,dz+\ldots

Por ejemplo, el diferencial de energía interna se ve así:

dE=T\,dS-P\,dV.

La energía se presenta aquí como una función de variables . Tales variables se llaman naturales. Por ejemplo, la energía libre se obtiene como la transformación de Legendre de la energía interna: ${\ estilo de visualización S, V}$

F=E-TS,

dF=-S\,dT-P\,dV.

En general, si queremos pasar de una función a otra, entonces debemos hacer la transformación de Legendre: $L=L(x,y,z,\ldots)$ $L=L(X,y,z,\ldots)$

L(X,y,z,\ldots)=L-xX,

dL(X,y,z,\ldots)=-x\,dX+Y\,dy+Z\,dz+\ldots

Teoría de campos. Transformación funcional de Legendre

En la teoría cuántica de campos, la transformación funcional de Legendre se usa con mucha frecuencia. El objeto inicial son las funciones de Green conectadas , que se denotan con , donde hay algunos campos externos. La siguiente función se llama transformación de Legendre sobre el campo A [1] : ${\ estilo de visualización W (A)}$ $A$

\Gamma (\alpha )=W{\big (}A(\alpha ){\big )}-\int dx\cdot \alpha A.

El signo de integración no suele estar escrito. se define por la siguiente expresión [1] : $\alfa$

\alpha (x)={\frac {\delta {W}}{\delta {A(x)))},

$\delta$ significa la derivada variacional . Usando la propiedad de la derivada variacional, es fácil derivar la siguiente relación conectando y . En realidad: $W$ $\Gama$

\delta (xy)={\frac {\delta A(x)}{\delta A(y)))=\int dz\,{\frac {\delta A(x)}{\delta \ alfa (z))){\frac {\delta \alpha (z)}{\delta A(y)))=-\int dz\,{\frac {\delta ^{2}\Gamma }{\delta \alpha (x)\delta \alpha (z)}}{\frac {\delta ^{2}W}{\delta A(z)\delta A(y))).

En otras palabras, los funcionales y , hasta el signo, son inversos entre sí. Simbólicamente, esto se escribe de la siguiente manera: $W_{2}={\frac {\delta ^{2}W}{\delta A(z)\delta A(y)))$ $\Gamma _{2}={\frac {\delta ^{2}\Gamma }{\delta \alpha (x)\delta \alpha (z)))$

W_{2}\cdot\Gamma _{2}=-1.

Notas

↑ 1 2 Vasiliev A. N. Métodos funcionales en teoría cuántica de campos y estadística. - Leningrado, 1976. - S. 81. - 295 p.

Literatura

Polovinkin E. S. , Balashov M. V. Elementos de análisis convexo y fuertemente convexo. Archivado el 1 de abril de 2022 en Wayback Machine . — M.: FIZMATLIT, 2004. — 416 p. — ISBN 5-9221-0499-3 .
Vasiliev A. N. Métodos funcionales de teoría cuántica de campos y estadística. - 1976. - 295 págs.