La teoría espectral es un término general en matemáticas, que se refiere a teorías que amplían los conceptos de función propia y valor propio de matrices cuadradas a clases más amplias de operadores lineales en varios espacios. Tales teorías surgen naturalmente en el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales y sus generalizaciones. Tales teorías están estrechamente relacionadas con las funciones analíticas, ya que las propiedades espectrales de un operador están relacionadas con las funciones analíticas del parámetro espectral.
El término "teoría espectral" en sí mismo fue introducido por David Hilbert en la formulación original de la teoría de los espacios de Hilbert , que se formuló utilizando la forma cuadrática de un número infinito de variables. Por tanto, la versión original del teorema espectral se formuló como una extensión del teorema de la reducción de una forma cuadrática a los ejes principales . Investigaciones más recientes en mecánica cuántica permitieron explicar las características del espectro del átomo , lo cual fue bastante inesperado.
Hay tres formulaciones principales de la teoría espectral, cada una de las cuales tiene motivos para ser considerada útil. Después de la formulación original de Hilbert, la investigación posterior sobre la teoría espectral del operador normal en el espacio de Hilbert se ha adaptado a las necesidades de la física, especialmente la investigación realizada por von Neumann [1] . Un mayor desarrollo de la teoría también podría incluir álgebras de Banach . Estos estudios llevaron a la representación de Gelfand, que cubre completamente el caso conmutativo, y más tarde al análisis armónico no conmutativo.
La diferencia se puede entender trazando un paralelo con el análisis de Fourier. La transformada de Fourier en el eje real por un lado es la teoría espectral de la diferenciación como operador diferencial. Sin embargo, en la práctica resulta que uno tiene que trabajar con una generalización de funciones propias (por ejemplo, usando el encuadre espacial de Hilbert). Por otro lado, es bastante fácil construir un álgebra de grupos que satisfaga las propiedades básicas de la transformada de Fourier, y esto se puede hacer usando la dualidad de Pontryagin .
Las propiedades espectrales de los operadores en los espacios de Banach también se pueden investigar; por ejemplo, los operadores compactos en un espacio de Banach tienen propiedades espectrales bastante similares a las de las matrices.
Las oscilaciones se explicaron precisamente con la ayuda de los métodos de la teoría espectral,
La teoría espectral está estrechamente relacionada con el estudio de oscilaciones localizadas de diversos objetos, desde átomos y moléculas en química hasta guías de ondas acústicas. Estas vibraciones tienen frecuencias (frecuencias de vibración naturales). La pregunta aplicada es cómo calcular estas frecuencias. Esta es una tarea bastante difícil, ya que cada cuerpo tiene no solo un tono fundamental (que corresponde a la frecuencia más baja), sino también muchos armónicos, cuya secuencia no es trivial.
La teoría matemática a nivel técnico no está ligada a este tipo de consideraciones físicas, aunque hay muchos ejemplos de influencia mutua. Por primera vez, el término espectro en este sentido, aparentemente, fue tomado por Hilbert en 1897 de un artículo de Wilhelm Wirtinger sobre la ecuación diferencial de Hill , y luego el término fue retomado por sus estudiantes, incluidos Erhard Schmidt y Hermann Weyl .
Solo veinte años después, después de la formulación de la mecánica cuántica de Schrödinger , se estableció la conexión entre el espectro matemático del operador y el espectro del átomo. Aunque, como señaló Henri Poincaré , mucho antes se sospechó una conexión con el modelo matemático de oscilaciones, sin embargo, fue rechazada por argumentos cuantitativos bastante simples, por ejemplo, la incapacidad para explicar la serie de frecuencias de Balmer . Así, el nombre de la teoría espectral no estaba lógicamente relacionado con su capacidad para explicar el espectro del átomo, era solo una coincidencia.