Segunda cuantización

La cuantificación secundaria ( cuantificación canónica ) [1] es un método para describir sistemas mecánicos cuánticos de muchas partículas. Este método se usa con mayor frecuencia para problemas en la teoría cuántica de campos y en problemas de muchas partículas en la física de la materia condensada .

Descripción

Supongamos que existe una clasificación de todos los estados posibles de cada partícula o cuasipartícula en el sistema bajo consideración. Denotemos los estados de la partícula como . Luego, cualquier estado posible del sistema se describe mediante un conjunto de números de partículas (números de ocupación) en cada uno de estos estados . La esencia del segundo método de cuantización es que en lugar de las funciones de onda de las partículas en la representación de coordenadas o momento, se introducen funciones de onda en la representación de los números de ocupación de varios estados de una partícula. La ventaja del segundo método de cuantización es que permite una descripción uniforme de sistemas con diferente número de partículas, tanto con un fijo finito (en problemas de física de la materia condensada) como con un variable, potencialmente infinito (en problemas de QFT ). Las transiciones entre diferentes estados (por ejemplo, de estado a estado ) de una partícula se describen como una disminución en el número de ocupación correspondiente a una función de onda por unidad y un aumento en el número de ocupación de otro estado por unidad . Las probabilidades de estos procesos dependen no solo de la probabilidad de transición elemental, sino también de los números de ocupación involucrados en el proceso de estados. ${\ estilo de visualización 1,2,3,...}$ ${\ estilo de visualización (N_{1},N_{2},N_{3},...)}$ $k$ $q$ ${\ estilo de visualización (N_{k}\flecha derecha N_{k}-1)}$ ${\ estilo de visualización (N_{q}\flecha derecha N_{q}+1)}$

Estadísticas de Bose-Einstein

Para las partículas que obedecen las estadísticas de Bose-Einstein , la probabilidad de transición de un estado a otro es , donde es la probabilidad elemental calculada por los métodos estándar de la mecánica cuántica. Los operadores que cambian los números de ocupación de los estados en uno funcionan de la misma manera que los operadores de creación y aniquilación en el problema del oscilador armónico unidimensional : $k$ $q$ $W(k,q)=w(k,q)N_{k}(N_{q}+1)$ ${\ estilo de visualización w (k, q)}$

[{\sombrero {a}}_{i},{\sombrero {a}}_{j}^{\daga}]=\delta _{ij},\ [{\sombrero {a}} _{i},{\sombrero {a}}_{j}]=0,

donde los corchetes indican el conmutador y es el símbolo de Kronecker . $\delta _{{ij}}$

El operador nacimiento, por definición, es una matriz con un único elemento distinto de cero: [2]

{\displaystyle \left\langle N_{i}|a_{i}^{\daga}|N_{i}-1\right\rangle =\left\langle N_{i}-1|a_{i}|N_ {i}\right\rangle ^{*}={\sqrt {N_{i))))

El operador de creación se llama así porque aumenta el número de partículas en el i-ésimo estado en 1: ${\sombrero {a}}_{i}^{\daga}$

{\sombrero {a}}_{i}^{\daga}\Phi (N_{1},N_{2},...,N_{i},...)={\sqrt { N_{i}+1}}\Fi (N_{1},N_{2},...,N_{i}+1,...)

El operador de destrucción también es una matriz con un único elemento distinto de cero:

{\displaystyle \left\langle N_{i}-1|a_{i}|N_{i}\right\rangle ={\sqrt {N_{i})))

El operador de aniquilación se llama así porque reduce el número de partículas en el i-ésimo estado en 1: ${\sombrero {a}}_{i}$

{\hat {a}}_{i}\Phi (N_{1},N_{2},...,N_{i},...)={\sqrt {N_{i}} }\Fi (N_{1},N_{2},...,N_{i}-1,...)

Estadísticas de Fermi-Dirac

Para las partículas que obedecen a la estadística de Fermi-Dirac , la probabilidad de transición de un estado a otro es , donde es la probabilidad elemental calculada por los métodos estándar de la mecánica cuántica, y solo pueden tomar los valores . Para los fermiones se utilizan otros operadores que satisfacen las relaciones de anticonmutación : $k$ $q$ $W(k,q)=w(k,q)N_{k}(1-N_{q})$ ${\ estilo de visualización w (k, q)}$ ${\ Displaystyle N_ {k}, N_ {q}}$ ${\ estilo de visualización 0.1}$

\left\{{\sombrero {a}}_{i},{\sombrero {a}}_{j}^{\daga}\right\}={\sombrero {a}}_{i }{\sombrero {a}}_{j}^{\daga }+{\sombrero {a}}_{j}^{\daga }{\sombrero {a}}_{i}=\delta _{ ij},\ \left\{{\hat {a}}_{i},{\hat {a}}_{j}\right\}=0.

El operador nacimiento es , por definición, una matriz con una única entrada distinta de cero: [3]

\left\langle 1_{i}|a_{i}^{\daga}|0_{i}\right\rangle =\left\langle 0_{i}|a_{i}|1_{i}\ derecha\rangle ^{*}=(-1)^{\sum _{k=1}^{i-1}N_{k))

El operador de creación se llama así porque aumenta de 0 a 1 el número de partículas en el i-ésimo estado: ${\sombrero {a}}_{i}^{\daga}$

{\sombrero {a}}_{i}^{\daga}\Phi (N_{1},N_{2},...,0_{i},...)=\Phi (N_ {1},N_{2},...,1_{i},...)

El operador de destrucción también es una matriz con un único elemento distinto de cero:

\left\langle 0_{i}|a_{i}|1_{i}\right\rangle =(-1)^{\sum _{k=1}^{i-1}N_{k} }

El operador de aniquilación se llama así porque reduce el número de partículas en el i-ésimo estado en 1: ${\sombrero {a}}_{i}$

{\hat {a}}_{i}\Phi (N_{1},N_{2},...,1_{i},...)=\Phi (N_{1},N_ {2},...,0_{i},...)

Aplicaciones

Problemas sobre las transiciones de partículas cuánticas de diferentes estados, física láser, teoría de la dispersión Raman de la luz, física del estado sólido, teoría de la turbulencia de líquido, gas, plasma [4] .

Véase también

Notas

↑ El término "segunda cuantización" se considera obsoleto en la literatura en inglés y recientemente se reemplazó por el término " cuantización canónica ". El término "canónico" enfatiza una importante correspondencia entre los operadores cuánticos y los conmutadores de la mecánica cuántica, y la coordenada y el momento canónicos y el corchete de Poisson de la mecánica clásica.
↑ Landau L. D., Lifshitz E. M. Mecánica cuántica. - M., Nauka, 1972. - pág. 167-168
↑ Landau L. D., Lifshitz E. M. Mecánica cuántica. - M., Nauka, 1972. - pág. 172
↑ A. S. Kingsep, Cuantificación secundaria, SOZH , volumen 7, n.º 5, 2001

Literatura

Berezin F. A. Segundo método de cuantificación. - 2ª ed., añadir. — M .: Nauka, 1986. — 320 p.
Bogolyubov N. N., Bogolyubov N. N. (Jr.). Introducción a la mecánica estadística cuántica. - M. : Nauka, 1984. - 384 p.
Nguyen Van Hieu. Fundamentos del segundo método de cuantificación. — M .: Energoatomizdat, 1984. — 208 p.
Yu. A. Neretin. "Método de segunda cuantización" Berezin. Una mirada 40 años después .