Covariante de Frobenius

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Las covariantes de Frobenius de una matriz cuadrada A son polinomios especiales, a saber, los proyectores A i , asociados a los autovalores y vectores de la matriz A [1] . Las covariantes llevan el nombre del matemático alemán Ferdinand Georg Frobenius .

Cada covariante es una proyección sobre su propio espacio asociado a su propio valor . Las covariantes de Frobenius son los coeficientes de la fórmula de Sylvester , que expresa la función matricial como un polinomio matricial. $\lambda _{i}$ $fa)$

Formal definición

Sea A una matriz de valores propios diagonalizable . ${\ estilo de visualización \ lambda _ {1}, \ puntos, \ lambda _ {k}}$

La covariante de Frobenius para es la matriz $Ai}$ ${\ estilo de visualización i = 1, \ puntos, k}$

A_{i}\equiv \prod_{j=1 \atop j\neq i}^{k}{\frac {1}{\lambda_{i}-\lambda_{j))}( A-\lambda _{j}E)~.

Esencialmente, este es un polinomio de Lagrange con una matriz como argumento. Si el valor propio es simple, entonces, como matriz de proyección que no cambia el espacio unidimensional, tiene una traza unitaria . $\lambda _{i}$ $Ai}$

Cálculo de covariantes

Las covariantes de Frobenius de la matriz A se pueden obtener a partir de cualquier descomposición espectral de la matriz , donde S es no singular y D es una matriz diagonal con . Si A no tiene valores propios múltiples, entonces sea el i -ésimo vector propio derecho de la matriz A , es decir, la i -ésima columna de la matriz S. Sea el i -ésimo vector propio izquierdo de A , es decir, la i -ésima fila . entonces _ $A=SDS^{-1}$ ${\displaystyle D_{i,i}=\lambda _{i))$ $c_{yo}$ $Rhode Island}$ $S^{{-1}}$ $A_{i}=c_{i}r_{i}$

Si A tiene un valor propio múltiple , entonces , donde la suma es sobre todas las filas y columnas asociadas con el valor propio [2] . $\lambda _{i}$ $A_{i}=\sum_{j}{c_{j}r_{j))$ $\lambda _{i}$

Ejemplo

Considere una matriz de dos por dos

A={\begin{bmatrix}1&3\\4&2\end{bmatrix}}.

La matriz tiene dos valores propios, 5 y −2. Por lo tanto, . ${\ estilo de visualización (A-5) (A + 2) = 0}$

La descomposición propia correspondiente es

A={\begin{bmatrix}3&1/7\\4&-1/7\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}5&0\\0&-2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix }} }3&1/7\\4&-1/7\end{bmatriz}}^{-1}={\begin{bmatriz}3&1/7\\4&-1/7\end{bmatriz}}{\begin {bmatrix} }5&0\\0&-2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1/7&1/7\\4&-3\end{bmatrix}}.

Por lo tanto, las covariantes de Frobenius, que son claramente proyecciones, son

{\begin{array}{rl}A_{1}&=c_{1}r_{1}={\begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1 /7&1/7\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3/7&3/7\\4/7&4/7\end{bmatrix}}=A_{1}^{2}\\A_{2} &=c_{2}r_{2}={\begin{bmatrix}1/7\\-1/7\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}4&-3\end{bmatrix}}={\ comenzar{bmatriz}4/7&-3/7\\-4/7&3/7\end{bmatriz}}=A_{2}^{2}~,\end{matriz}}

donde

A_{1}A_{2}=0,\qquad A_{1}+A_{2}=E~.

Tenga en cuenta que , que es obligatorio. $\mathrm {tr} A_{1}=\mathrm {tr} A_{2}=1$

Notas

↑ Horn y Johnson, 1991 , pág. 403,437–8.
↑ Horn y Johnson, 1991 , pág. 521.

Literatura

Roger A. Horn, Charles R. Johnson. Temas en Análisis Matricial . - Prensa de la Universidad de Cambridge, 1991. - ISBN 978-0-521-46713-1 .