Función matricial

En matemáticas , una función matricial es una función que asigna una matriz a otra matriz.

Extendiendo una función escalar a una función matricial

Existen varios métodos para convertir una función de una variable real en una función de una matriz cuadrada que conservan las interesantes propiedades de esta función. Todos los métodos a continuación dan la misma función de matriz, pero sus dominios pueden diferir.

Serie de potencia

Si una función real se puede representar como una serie de Taylor $F$

f(x)=f(0)+f'(0)\cdot x+f''(0)\cdot {\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots

entonces la función matricial se puede definir reemplazando con una matriz: las potencias se convierten en matriz , la suma se convierte en la suma de matrices y la multiplicación se convierte en la multiplicación de una matriz por un número. Si una serie real converge en , entonces la serie matricial correspondiente converge para las matrices A que satisfacen la condición en alguna norma matricial que satisface la desigualdad . $X$ ${\ estilo de visualización | x | <r}$ ${\ estilo de visualización \|A\|<r}$ $\|\cdot \|$ $\|AB\|\leq \|A\|\cdot \|B\|$

Descomposición de Jordan

Deje que la matriz A se reduzca a una forma diagonal, es decir, podemos encontrar una matriz P y una matriz diagonal D tal que . Aplicando la definición en términos de series de potencias a esta expansión, obtenemos lo que está determinado por la expresión $A=P\cdot D\cdot P^{-1}$ $fa)$

f(A)=P{\begin{bmatrix}f(d_{1})&\dots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\dots &f(d_{n})\end {bmatriz}}P^{-1},

donde denota los elementos diagonales de la matriz D . ${\displaystyle d_{1},\puntos,d_{n))$

Cualquier matriz se puede reducir a la forma normal de Jordan , donde la matriz J consta de celdas de Jordan . Considere estos bloques por separado y aplique el método de la serie de potencias a cada celda de Jordan: $A=P\cdot J\cdot P^{-1}$

Esta definición se puede utilizar para ampliar el dominio de una función matricial más allá del conjunto de matrices cuyo radio espectral es menor que el radio de convergencia de la serie de potencias original. También notamos la conexión con las diferencias divididas .

Un concepto relacionado es la descomposición de Jordan-Chevalley , que representa una matriz como la suma de una parte diagonalizable y una nilpotente .

Matrices hermitianas

De acuerdo con el teorema espectral , una matriz hermítica tiene solo valores propios reales y siempre puede reducirse a su forma diagonal mediante una matriz unitaria P. En este caso, la definición jordana es natural. Además, esta definición continúa las desigualdades estándar para funciones reales:

Si para todos los valores propios de la matriz , entonces . (Por convención, es una matriz semidefinida positiva ). La prueba se sigue directamente de la definición. ${\ Displaystyle f (a) \ leq g (a)}$ $A$ $f(A)\preceq g(A)$ $X\preceq Y\Leftrightarrow YX$

Integral de Cauchy

La fórmula integral de Cauchy del análisis complejo también se puede utilizar para generalizar funciones escalares a funciones matriciales. La fórmula integral de Cauchy dice que para cualquier función analítica f definida en un conjunto D ⊂ℂ, tenemos

f(x)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {f(z)}{zx}}\,\mathrm {d} z

donde C es una curva cerrada dentro del dominio D que encierra el punto x . Reemplacemos ahora x con la matriz A y consideremos el contorno C que se encuentra dentro de D y encierra todos los valores propios de la matriz. Uno de los posibles contornos C es un círculo que incluye el origen , con radio , que excede una norma arbitraria . Entonces está determinada por la expresión ${\ estilo de pantalla \ estilo de script \|A\|}$ ${\ estilo de pantalla \ estilo de script \|\ cdot \|}$ $fa)$

f(A)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{f(z)(zI-A)^{-1}}\,\mathrm {d} z~.

Esta integral se puede calcular numéricamente usando el método trapezoidal , que en este caso converge exponencialmente. Esto significa que la precisión del resultado se duplica cuando se duplica el número de nodos.

Esta idea, aplicada a operadores lineales acotados en espacios de Banach , que pueden considerarse sin matrices de dimensión infinita, conduce a un cálculo funcional holomorfo .

Perturbaciones de matriz

La serie de Taylor anterior permite el reemplazo de un escalar con una matriz. Pero esto es inadmisible en el caso general, cuando la descomposición se realiza en términos en una vecindad del punto , salvo los casos en que . Un contraejemplo es una función cuya serie de Taylor contiene un número finito de términos. Vamos a calcularlo de dos maneras. $X$ ${\ estilo de visualización A (\ eta) = A + \ eta B}$ ${\ estilo de visualización \ eta = 0}$ ${\ estilo de visualización [A, B] = 0}$ ${\ estilo de visualización f (x) = x ^ {3))$

Directamente:

f(A+\eta B)=(A+\eta B)^{3}=A^{3}+\eta (A^{2}B+ABA+BA^{2})+\eta ^ {2}(AB^{2}+BAB+B^{2}A)+\eta ^{3}B^{3}

Usando la expansión de Taylor para una función escalar y reemplazando escalares con matrices al final: $f(a+\eta b)$

f(a+\eta b)=f(a)+f'(a){\frac {\eta b}{1!))+f''(a){\frac {(\eta b) ^{2}}{2!}}+f'''(a){\frac {(\eta b)^{3}}{3!}}=a^{3}+3a^{2}( \eta b)+3a(\eta b)^{2}+(\eta b)^{3}\to A^{3}+3A^{2}(\eta B)+3A(\eta B) ^{2}+(\eta B)^{3}

La expresión escalar implica conmutatividad , pero la expresión matricial no, por lo que no se pueden igualar a menos que se cumpla la condición . Para alguna f(x) se puede hacer lo mismo que para la serie escalar de Taylor. Por ejemplo, para : si existe , entonces . Después ${\ estilo de visualización [A, B] = 0}$ $f(x)={\frac {1}{x}}$ $A^{{-1}}$ $f(A+\eta B)=f(E+\eta A^{-1}B)f(A)$

f(E+\eta A^{-1}B)=E-\eta A^{-1}B+(-\eta A^{-1}B)^{2}+\ldots =\sum _ {n=0}^{\infty}(-\eta A^{-1}B)^{n}

Para que esta serie de potencias converja, se requiere que la norma matricial correspondiente sea lo suficientemente pequeña. En el caso general, cuando una función no se puede reescribir de forma que dos matrices conmuten, se debe tener en cuenta el orden de multiplicación de matrices al aplicar la regla de Leibniz . $\Vert \eta A^{-1}B\Vert$

Ejemplos

Clases de funciones matriciales

Usando ordenaciones de matrices semidefinidas ( es una matriz semidefinida positiva y es una matriz definida positiva), algunas clases de funciones escalares pueden extenderse a funciones de matrices hermitianas [1] . $X\preceq Y\Leftrightarrow YX$ $X\prec Y\Leftrightarrow YX$

Monotonicidad del operador

Una función se llama operador monotónico si $F$

$0\prec A\preceq H\Rightarrow f(A)\preceq f(H)$ para todas las matrices autoadjuntas cuyo espectro pertenece al dominio de la función f . Este es el análogo de la función monótona para funciones escalares. ${\ estilo de visualización A, H}$

Operador convexidad/concavidad

Se dice que una función es operador-cóncava si y sólo si $F$

\tau f(A)+(1-\tau )f(H)\preceq f\left(\tau A+(1-\tau )H\right)

para todas las matrices autoadjuntas con espectro en el dominio de la función f y para . Esta definición es similar a las funciones escalares cóncavas . Una función convexa de operador puede ser reemplazando con en la definición anterior. ${\ estilo de visualización A, H}$ ${\ estilo de visualización \ tau \ en [0,1]}$ ${\ estilo de visualización \ preceq}$ $\exitoso$

Ejemplos

El logaritmo matricial es operador monótono y operador cóncavo. El cuadrado de la matriz es operador convexo. El exponente de la matriz no pertenece a ninguna de las clases especificadas. El teorema de Löwner establece que una función en un intervalo abierto es un operador monotónico si y solo si tiene una continuación analítica en los semiplanos complejos superior e inferior, de modo que el semiplano superior se mapea sobre sí mismo. [una]

Véase también

fórmula de Silvestre
Cálculo matricial
Trazar desigualdades

Notas

↑ 1 2 Bhatia, R. Análisis matricial (indefinido) . - Springer, 1997. - V. 169. - (Textos de Grado en Matemáticas).

Literatura

Higham, Nicolás J. (2008). Funciones de teoría de matrices y computación . Filadelfia: Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas. ISBN 9780898717778.