Anillo de normalización discreto
Un anillo de valoración discreta es un anillo que se puede obtener como resultado de una valoración discreta de un determinado campo al elegir un subconjunto de elementos con una norma no negativa. Tal anillo se puede definir de muchas formas equivalentes.
Un anillo de valoración discreto es un anillo integral R que satisface una de las siguientes condiciones (equivalentes):
1) R es un dominio
local de ideales principales que no es un campo.
2) R es un
anillo Dedekind local que no es un campo.
3) R es un anillo local
noetheriano cuya
dimensión Krull es igual a uno y cuyo único
ideal maximal es principal.
4) R es un anillo local noetheriano
unidimensional integralmente cerrado .
5) R es el dominio de los ideales principales con un único
ideal primo distinto de cero .
6) R es un
anillo factorial con un solo
elemento indescomponible (hasta tomar
asociado ).
7) Hay
una valoración discreta del campo de fracciones del anillo R tal que R coincide con el conjunto de elementos con norma no negativa.
Ejemplos
- Denotemos el Campo de fracciones de este anillo — todo Descompongamos el numerador y el denominador de un racional arbitrario en simples y lo representemos en la forma con impar , pongamos Entonces — el anillo de valoración discreto correspondiente a . Nótese que es la localización del anillo de Dedekind con respecto al ideal primo . Resulta que la localización de cualquier anillo de Dedekind con respecto a un ideal primo distinto de cero es un anillo de valoración discreta.
![{\displaystyle \mathbb {Z} _{(2)}=\{p/q\;|\;p,q\in \mathbb {Z} ,q\not \vdots \;2\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb03bd61588de1c3506182f5f9ab0f7c2d89e911)
![{\matemáticas Q}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/869719f08f506bf866043442858fb3da1d4b4b5b)
![r](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538)
![{\ estilo de visualización 2^{k} p/q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/917946f531d09f91e6072bf55f5a7a6c2029796c)
![pag q](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/953a97b9fe7d257c9666fb3cf6bf75380295e2cf)
![{\ Displaystyle v (r) = k.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16a01b66686ff5d30c9076aad44fc43bc32189d7)
![{\ estilo de visualización \ mathbb {Z} _ {(2)))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b764927c87cc743cbaca1a2d3ffa2b014091069e)
![v](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e07b00e7fc0847fbd16391c778d65bc25c452597)
![(2)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43f88fdd4acbb57a291f9eb9f23ae23a1e492b30)
- Como ejemplo más geométrico, tomemos el anillo de funciones racionales , cuyo denominador no es igual a cero en cero, es decir, funciones que están definidas en alguna vecindad de cero. Tales funciones forman un anillo de valoración discreto, el único elemento irreductible es la función (hasta tomar asociadas), y la valoración correspondiente de las funciones racionales es el orden de cero (posiblemente cero o negativo) de esta función en cero. Este ejemplo es estándar para estudiar una curva algebraica en un punto no singular; en este caso, la curva algebraica es el eje real.
![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
- Otro ejemplo importante es el anillo de series de potencias formales ; aquí el elemento irreducible es la serie , y la valoración es el grado del primer coeficiente distinto de cero. Si nos limitamos a coeficientes reales o complejos, podemos considerar series que convergen en alguna vecindad de cero; esto sigue siendo un anillo de valoración discreto.
![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
- Anillo de números p-ádicos .
![\mathbb {Z} _{p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbc1df7227ef11fe88dccd2dae3adc7bbdeae5f4)
Topología
Cualquier anillo de valoración discreto es naturalmente un anillo topológico , la distancia entre los elementos x e y se da de la siguiente manera:
(en lugar de 2, puede tomar cualquier número real > 1). Intuitivamente, un elemento es pequeño (cerca de cero) si su norma es grande.
Un anillo de valoración discreto es compacto si y solo si es completo y el campo de residuos R/m ( m es un ideal maximal) es finito.
Literatura
- Atiyah M., McDonald I. Introducción al álgebra conmutativa. - M: Mir, 1972
- Dummit, David S. y Fost2 = Richard M. (2004), ISBN 978-0-471-43334-7