Anillo de normalización discreto

Un anillo de valoración discreta  es un anillo que se puede obtener como resultado de una valoración discreta de un determinado campo al elegir un subconjunto de elementos con una norma no negativa. Tal anillo se puede definir de muchas formas equivalentes.

Un anillo de valoración discreto es un anillo integral R que satisface una de las siguientes condiciones (equivalentes):

1) R  es un dominio local de ideales principales que no es un campo. 2) R  es un anillo Dedekind local que no es un campo. 3) R  es un anillo local noetheriano cuya dimensión Krull es igual a uno y cuyo único ideal maximal  es principal. 4) R  es un anillo local noetheriano unidimensional integralmente cerrado . 5) R  es el dominio de los ideales principales con un único ideal primo distinto de cero . 6) R  es un anillo factorial con un solo elemento indescomponible (hasta tomar asociado ). 7) Hay una valoración discreta del campo de fracciones del anillo R tal que R coincide con el conjunto de elementos con norma no negativa.

Ejemplos

Topología

Cualquier anillo de valoración discreto es naturalmente un anillo topológico , la distancia entre los elementos x e y se da de la siguiente manera:

(en lugar de 2, puede tomar cualquier número real > 1). Intuitivamente, un elemento es pequeño (cerca de cero) si su norma es grande.

Un anillo de valoración discreto es compacto si y solo si es completo y el campo de residuos R/m ( m  es un ideal maximal) es finito.

Literatura