Elemento entero

Un elemento entero es un elemento de un anillo conmutativo dado con unidad respecto del subanillo , que es la raíz del polinomio reducido con coeficientes en , es decir, tal para el cual existen coeficientes tales que: $B$ $A\subconjunto B$ $A$ $b$ $a_j \en A$

b^{n}+a_{n-1}b^{n-1}+\cdots +a_{1}b+a_{0}=0

Si cada elemento es un entero sobre , el anillo se denomina entero de extensión (o simplemente un anillo, entero sobre ). $B$ $A$ $B$ $B$ $A$

Si y son campos , los términos "integral sobre..." y "extensión integral" corresponden a los términos "algebraico sobre..." y " extensión algebraica ". Un caso especial, especialmente importante en teoría de números , son los números complejos que son enteros superiores a , llamados enteros algebraicos . $A$ $B$ $\matemáticas {Z}$

El conjunto de todos los elementos enteros sobre , forma un anillo; se llama un cierre entero en . El cierre entero de números racionales en alguna extensión de campo finito se llama el anillo de campos enteros , este objeto es fundamental para la teoría algebraica de números . $B$ $A$ $A$ $B$ $k$ $\matemáticas {Q}$ $k$

Los enteros son los únicos elementos que son enteros sobre (lo que puede explicar el uso del término "entero"). Los enteros gaussianos , como elementos del campo de los números complejos, son enteros sobre . Un cierre entero en un campo circular es . $\matemáticas {Q}$ $\matemáticas {Z}$ $\matemáticas {Z}$ $\matemáticas {Z}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {Q} (\ zeta)}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {Z} [\ zeta]}$

Si es el cierre algebraico del campo , entonces es integral sobre . Si un grupo finito actúa sobre un homomorfismo anillo a anillo , entonces es un número entero sobre el conjunto de elementos que son puntos fijos de la acción del grupo. $\overline{k}$ $k$ $\overline{k}[x_1, \puntos, x_n]$ $k[x_{1},\puntos,x_{n}]$ $GRAMO$ $A$ $A$

Propiedades

La integridad es una relación transitiva: si el anillo es integral sobre e integral sobre , entonces es integral sobre . $C$ $B$ $B$ $A$ $C$ $A$

Hay una serie de afirmaciones que equivalen a decir que un elemento de un anillo es integral sobre : $b$ $B$ $A$

un subanillo de un anillo es un módulo generado finitamente ; ${\ estilo de visualización A [b]}$ $B$ $A$
existe un subanillo del anillo que contiene y , y que es un módulo finitamente generado ; $C$ $B$ $A$ $b$ $A$
existe un módulo finitamente generado del anillo tal que y de él se sigue que . $A$ $METRO$ $B$ ${\ estilo de visualización bM \ subconjunto M}$ $b'M=0$ $b=0$

Es fácil deducir de la tercera propiedad que el conjunto de todos los elementos enteros es un subanillo (cerrado bajo la suma y la multiplicación), se llama cierre entero en . Si la clausura entera coincide con el propio anillo , se dice que está cerrada integralmente . También implica que si el número entero es superior , entonces es la unión (o, de manera equivalente, el límite directo ) de subanillos que se generan finitamente -módulos. $A$ $B$ $A$ $B$ $A$ $A$ $B$ $B$ $A$ $B$ $A$

El teorema de elevación de Cohen-Seidenberg : si es una extensión entera del anillo , entonces para cada ideal primo existe un ideal primo en , que . $S$ $R$ $yo$ $S$ $j$ $R$ $J\cap S=I$

Un anillo integralmente cerrado

Un anillo integralmente cerrado es un anillo integral , integralmente cerrado en su campo de cocientes .

Si es un anillo integralmente cerrado con un campo de cocientes y es una extensión finita de , entonces el elemento es integral sobre si y solo si los coeficientes de su polinomio mínimo pertenecen a : esta es una condición más fuerte que solo una integral, para la cual el la existencia de un polinomio arbitrario con esta propiedad es suficiente. Cualquier anillo factorial es integralmente cerrado. $A$ $k$ $L$ $k$ $L$ $A$ $A$

Si es un anillo integral noetheriano , entonces es integralmente cerrado si y solo si (1) coincide con la intersección de todas las localizaciones con respecto a un ideal primo y (2) la localización con respecto a un ideal primo de altura 1 (es decir, que no contiene otros ideales primos distintos de cero) es el anillo de Dedekind . Además, un anillo noetheriano está integralmente cerrado si y solo si es un anillo Krull . $A$ $A$ $A$ $A$ $A$

Anillo normal

Serre y Grothendieck definen un anillo normal como un anillo cuya localización por cualquier ideal primo es integralmente cerrada. No hay nilpotentes distintos de cero en dicho anillo [1] . Si es un anillo noetheriano cuyas localizaciones con respecto a los ideales maximales son integrales, entonces es un producto finito de anillos integrales. En este caso, si es un anillo normal noetheriano, entonces los dominios en el producto son integralmente cerrados [2] . Por el contrario, el producto directo de anillos integralmente cerrados es normal. $A$ $A$ $A$

Anillo completamente integralmente cerrado

Un elemento del campo cociente de un anillo integral se llama casi entero sobre si existe tal que para cualquier natural . Se dice que un anillo está completamente integralmente cerrado si cualquier elemento casi integral sobre él está contenido en . Los anillos completamente integralmente cerrados están integralmente cerrados. Por el contrario, los anillos integralmente cerrados de Noether están completamente integralmente cerrados. $X$ $k$ $A$ $A$ $d\en A$ $dx^n\en A$ $norte$ $A$ $A$

El anillo de series de potencias formales sobre un anillo completamente integralmente cerrado es completamente integralmente cerrado, mientras que esto no es cierto para anillos arbitrarios integralmente cerrados.

Localidad del predio integralmente cerrado

Las siguientes condiciones para un anillo integral son equivalentes: $A$

$A$ todo cerrado;
la localización con respecto a cualquier ideal primo es integralmente cerrada; $A$
la localización con respecto a cualquier ideal maximal es integralmente cerrada. $A$

Estas propiedades del anillo se denominan propiedades locales . $A$

Notas

↑ Si las localizaciones de un anillo conmutativo sobre todos los ideales maximales no contienen nilpotentes (por ejemplo, son integrales), entonces tampoco los contienen. De hecho, si es un elemento distinto de cero y n = 0, entonces ) (los elementos cuya multiplicación anula ) está contenido en algún ideal maximal . La imagen en la localización w es distinta de cero, ya que de lo contrario para algunos , una contradicción. Por lo tanto, la localización con respecto a contiene un nilpotente distinto de cero. $R$ $R$ $X$ $R$ $X$ $\mathrm {Ana} (x)$ $X$ $\mathfrak{m}$ $X$ $\mathfrak{m}$ $x = 0$ $s \no\en \mathfrak{m}$ $R$ $\mathfrak{m}$
↑ Matsumura 1989, pág. 64

Literatura

Bourbaki, Álgebra conmutativa.
Kaplansky, Irving. Anillos Conmutativos (neopr.) . - University of Chicago Press , 1974. - (Lectures in Mathematics). — ISBN 0-226-42454-5 .
Matsumura, Hideyuki (1989), Teoría del anillo conmutativo, Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas (2.ª ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-36764-6 .