Dimensión Krull

La dimensión de Krull es una característica numérica de los anillos conmutativos , la mayor longitud de una cadena de ideales primos anidados de un anillo dado. No necesariamente finito incluso para los anillos de Noether .

La dimensión de Krull nos permite formular una definición puramente algebraica de la dimensión de una variedad algebraica : la dimensión de una variedad algebraica afín dada por un ideal en un anillo polinomial es la dimensión de Krull del anillo cociente . $yo$ $R$ $RHODE ISLAND$

Definición

La longitud de una cadena de ideales primos de la forma:

{\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq {\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq \ldots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{n}

se toma como , es decir, se considera el número de inclusiones estrictas, y no el número de ideales. La dimensión Krull de un anillo es la longitud máxima sobre el conjunto de todas las cadenas de ideales primos . $norte$ $R$ $R$

Para un ideal primo , se puede definir su codimensión (también llamada altura o rango), denotada como la longitud máxima de una cadena de ideales primos de la forma . $\mathfrak{p}$ $\operatorname{codim}(\mathfrak{p})$ $\mathfrak{p}_0\subsetneq \mathfrak{p}_1\subsetneq \ldots \subsetneq \mathfrak{p}_n\subseteq \mathfrak{p}$

Ejemplos

La dimensión de un campo arbitrario es igual a cero, más generalmente, la dimensión del anillo de polinomios k [ x 1 , …, x n ] es igual a n . Además, si R es un anillo noetheriano cuya dimensión es igual a n , entonces la dimensión del anillo R [ x ] es igual a n + 1. Sin la hipótesis de Noether, la dimensión de R [ x ] puede variar de n +1 a 2 n +1.
La dimensión de cualquier anillo ideal principal es 1.
Un anillo integral es un campo si y solo si su dimensión es cero. Los anillos de Dedekind que no son campos tienen dimensión 1.
Un anillo noetheriano es artiniano si y solo si su dimensión es cero.
Una extensión entera de un anillo tiene la misma dimensión que el anillo original.
La dimensión de Krull del anillo R es igual a la dimensión de su espectro como espacio topológico, es decir, la longitud máxima de una cadena de subconjuntos cerrados irreducibles.

Dimensión del módulo

Si R es un anillo conmutativo y M es un módulo R , entonces la dimensión de Krull de M se define como la dimensión de Krull del anillo cociente por el aniquilador del módulo:

\operatorname{dim}_R M := \operatorname{dim}( R/\operatorname{Ann}_R(M))

donde Ann R ( M ) es el núcleo del mapeo natural R → End R (M) (asociando a un elemento del anillo la multiplicación por este elemento).

Altura ideal

La altura de un ideal primo de un anillo conmutativo es el supremo de las longitudes de cadenas de ideales primos contenidas en . Por ejemplo, la altura de un ideal primo que no contiene otros ideales primos es 0. La dimensión de Krull de un anillo se puede definir como el supremo de la altura sobre el conjunto de ideales primos. $\mathfrak p$ $R$ $\mathfrak p$ $R$

En el caso de un anillo conmutativo noetheriano , según el teorema de Krull, la altura de un ideal generado por n elementos no excede de n .

La definición de altura se puede extender a ideales arbitrarios definiendo la altura de un ideal como el mínimo de las alturas de los ideales primos que contienen el ideal dado.

Véase también

Literatura

Atiyah M., McDonald I. Introducción al álgebra conmutativa. - Prensa Factorial, 2003 - ISBN 5-88688-067-4 .
Irving Kaplansky , Anillos conmutativos (edición revisada), University of Chicago Press, 1974, ISBN 0-226-42454-5 . Página 32.
Eisenbud, David (1995), Álgebra conmutativa con miras a la geometría algebraica , vol. 150, Textos de posgrado en matemáticas, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94268-1

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