Coplanaridad

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Complanarity ( lat. com - compatibilidad, lat. planus - flat, even) es una propiedad de tres (o más) vectores que, reducidos a un origen común, se encuentran en el mismo plano [1] .

Propiedades

Si al menos uno de los tres vectores es cero, entonces los tres vectores también se consideran coplanares. Un triple de vectores que contiene un par de vectores colineales es coplanar.

El producto mixto de vectores coplanares es igual a cero, esta propiedad es el criterio principal para la coplanaridad de tres vectores. El criterio equivalente para la complanaridad es la dependencia lineal de los vectores coplanares: hay números reales y tales que para coplanares , y excepto para los casos o . $\lambda _{1}$ $\lambda _{2}$ ${\vec {a}}=\lambda _{1}{\vec {b}}+\lambda _{2}{\vec {c}}$ ${\ vec {a}}$ ${\ vec {b}}$ ${\ vec {c}}$ ${\ vec {b}}={\ vec {0}}$ ${\ estilo de visualización {\ vec {c}} = {\ vec {0}}}$

En el espacio tridimensional, tres vectores no coplanares y forman una base . Es decir, cualquier vector se puede representar como: . Entonces serán las coordenadas en la base dada. ${\ vec {a}}$ ${\ vec {b}}$ ${\ vec {c}}$ ${\vec {d}}\en \mathbb {R} ^{3}$ ${\vec {d}}=x_{1}{\vec {a}}+x_{2}{\vec {b}}+x_{3}{\vec {c}}$ ${\ estilo de visualización \;\{x_{1},x_{2},x_{3}\))$ ${\ vec {d}}$

Generalizaciones

Los criterios de congruencia nos permiten definir este concepto para vectores entendidos no en el sentido geométrico, sino, por ejemplo, como elementos de un espacio vectorial arbitrario .

A veces, esos puntos (u otros objetos) que se encuentran en (pertenecen a) el mismo plano se denominan coplanares . Los 3 puntos definen un plano y por lo tanto son siempre (trivialmente) coplanares. Los 4 puntos son, en general (en posición general ), no coplanares.

Es posible extender el concepto de congruencia a líneas en el espacio. Entonces , las líneas paralelas o que se cortan serán coplanares, pero las líneas oblicuas no.

Notas

↑ Vygodsky M. Ya. Manual de matemáticas superiores. M., Ciencia, 1975, § 115