Diseño de steiner

La construcción de Steiner es una forma de definir una sección cónica no degenerada en el plano proyectivo sobre un campo . Fue propuesta por el matemático suizo Jacob Steiner .

Construcción

Sean dados dos lápices de líneas en los puntos (todas las líneas que contienen y, respectivamente) y un mapeo proyectivo, pero no en perspectiva, de a . Entonces los puntos de intersección de las líneas correspondientes forman una sección cónica proyectiva no degenerada [1] [2] [3] [4] (imagen 1) ${\ estilo de visualización B (U), B (V)}$ ${\ estilo de visualización U, V}$ $tu$ $V$ $\Pi$ ${\ estilo de visualización B (U)}$ ${\ estilo de visualización B (V)}$

Un mapeo de perspectiva de lápiz a paquete es una biyección tal que las líneas correspondientes se cruzan en una línea fija llamada eje de mapeo de perspectiva (imagen 2). $\Pi$ ${\ estilo de visualización B (U)}$ ${\ estilo de visualización B (V)}$ $a$ $\Pi$

Un mapeo proyectivo es una composición de un número finito de mapeos de perspectiva.

Ejemplos de campos de uso común son los números reales , los números racionales y los números complejos . La construcción también trabaja sobre campos finitos , dando ejemplos en planos proyectivos finitos. $\matemáticas {R}$ $\matemáticas {Q}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {C}}$

Observación: el teorema principal para los planos proyectivos establece que un mapeo proyectivo en un plano proyectivo sobre un campo está determinado únicamente por las imágenes de tres líneas. [5] Esto significa que para la construcción de Steiner, además de dos puntos , solo se deben dar las imágenes de tres líneas. Dado que la imagen de una línea está determinada únicamente por el punto de intersección con la imagen, se sigue que una cónica está determinada únicamente por cinco puntos que se encuentran sobre ella. ${\ estilo de visualización U, V}$

Ejemplo

En el siguiente ejemplo se conocen las imágenes de tres líneas (ver imagen 3): . Un mapeo proyectivo es una composición de mapeos de perspectiva : 1) es un mapeo de perspectiva de un lápiz en un punto sobre un lápiz en un punto con el eje . 2) es un mapeo en perspectiva de una viga en un punto sobre una viga en un punto con el eje . Tenemos que comprobar que tiene las siguientes propiedades: . Así, para una línea arbitraria , se puede construir su imagen . Las rectas y contienen sólo los puntos de la cónica y, respectivamente. Por lo tanto, y son tangentes a la cónica construida. ${\ estilo de visualización a, u, w}$ ${\ estilo de visualización \ pi (a) = b, \ pi (u) = w, \ pi (w) = v}$ $\Pi$ ${\ estilo de visualización \ pi _ {b}, \ pi _ {a}}$ ${\ estilo de visualización \ pi _ {b)}$ $tu$ $O$ $b$ $\pi _{a}$ $O$ $V$ $a$ ${\ estilo de visualización \ pi = \ pi _ {a} \ pi _ {b}}$ ${\ estilo de visualización \ pi (a) = b, \ pi (u) = w, \ pi (w) = v}$ $gramo$ ${\ estilo de visualización \ pi (g) = \ pi _ {a} \ pi _ {b} (g)}$ $tu$ $v$ $tu$ $V$ $tu$ $v$

La prueba de que este método permite construir una cónica se hace pasando a un gráfico afín en el que la línea es la línea en el infinito, el punto es el origen y los puntos son puntos en el infinito correspondientes a los ejes x e y , respectivamente. y punto La parte afín de la cónica construida resulta ser una hipérbola . [3] $w$ $O$ ${\ estilo de visualización U, V}$ ${\ estilo de visualización E = (1,1)}$ $y=1/x$

Construcción de Steiner de la cónica dual

Definiciones

Al pasar al plano proyectivo dual, se intercambian las palabras "punto" y "recta" y las operaciones de cruzar líneas y unir puntos. El plano proyectivo dual es también un plano proyectivo y en él se pueden introducir coordenadas homogéneas. Una sección cónica no degenerada en el plano proyectivo dual también se define mediante una forma cuadrática.

La cónica dual se puede construir mediante el método de Steiner dual:

Que se den líneas y un mapeo proyectivo, pero no perspectivo, de a . Luego, las líneas que conectan los puntos correspondientes forman una sección cónica proyectiva dual no degenerada. $tú, v$ $\Pi$ $tu$ $v$

Un mapeo en perspectiva de un conjunto de puntos en una línea en un conjunto de puntos en una línea es una biyección tal que las líneas que conectan los puntos correspondientes se cruzan en un punto fijo , que se llama centro de perspectiva (ver imagen). $\Pi$ $tu$ $v$ $Z$ $\Pi$

Un mapeo proyectivo es una composición de un número finito de mapeos de perspectiva.

En el caso de que el campo principal tenga la característica 2, todas las cónicas tangentes se cortan en un punto llamado nodo (o núcleo ) de la cónica. Por lo tanto, la cónica dual a una cónica no degenerada es un subconjunto de la línea dual y no una curva ovalada (en el plano dual). Entonces, la cónica dual no es degenerada solo si la característica del campo de tierra no es igual a 2.

Ejemplo

En el siguiente ejemplo se conocen las imágenes de tres puntos : . Un mapeo proyectivo se puede representar como una composición de mapeos de perspectiva : ${\ estilo de visualización A, U, W}$ ${\ estilo de visualización \ pi (A) = B, \, \ pi (U) = W, \, \ pi (W) = V}$ $\Pi$ ${\ estilo de visualización \ pi _ {B}, \ pi _ {A}}$

1) es un mapeo en perspectiva de un conjunto de puntos en una línea en un conjunto de puntos en una línea con centro .

{\ estilo de visualización \ pi _ {B}}

tu

o

B

2) es un mapeo en perspectiva de un conjunto de puntos en una línea en un conjunto de puntos en una línea con centro .

{\ estilo de visualización \ pi _ {A}}

o

v

A

Es fácil verificar que el mapeo cumple . Así, para un punto arbitrario , se puede construir su imagen y la línea es un elemento de la cónica dual. ${\ estilo de visualización \ pi = \ pi _ {A} \ pi _ {B}}$ ${\ estilo de visualización \ pi (A) = B, \, \ pi (U) = W, \, \ pi (W) = V}$ $GRAMO$ ${\ estilo de visualización \ pi (G) = \ pi _ {A} \ pi _ {B} (G)}$ ${\overline {G\pi (G)))$

Notas

↑ Coxeter, 1993 , pág. 80.
↑ Merserve, 1983 , pág. sesenta y cinco.
↑ 12 Hartmann , pág. 38.
↑ Vorlesungen über synthetische Geometrie de Jacob Steiner , BG Teubner, Leipzig 1867 Parte II , pág. 96
↑ Hartmann, , pág. 19

Literatura

Coxeter, HSM El plano proyectivo real, Springer Science & Business Media, 1993
Hartmann, Erich , Geometrías circulares planas, una introducción a los planos de Moebius, Laguerre y Minkowski
Merserve, Bruce E. Conceptos fundamentales de geometría, Dover, (1983) [1959], ISBN 0-486-63415-9