Complejo de cadenas

El complejo de cadena y el concepto dual del complejo cocadena son los conceptos básicos del álgebra homológica .

Estos conceptos se utilizaron originalmente en topología algebraica para estudiar espacios topológicos. En álgebra homológica, se tratan como estructuras algebraicas abstractas, sin tener en cuenta ningún espacio topológico .

Para los complejos de cadena, se definen sus grupos de homología (grupos de cohomología para complejos de cocadena). Los complejos de cadena también se pueden definir en una categoría abeliana arbitraria .

Definiciones

Un complejo de cadena es una secuencia de módulos y homomorfismos , llamados operadores de límite o diferenciales : $(K_\bullet, \parcial_\bullet)$ $\parcial_{n}:K_{n}\a K_{n-1}$

\ldots \xleftarrow{}K_{n-1}\xleftarrow{\partial_{n}}K_{n}\xleftarrow{\partial_{n+1}}K_{n+1}\xleftarrow{}\ldots

tal que Los elementos se denominan cadenas -dimensionales , los elementos del núcleo -ciclos dimensionales , los elementos de la imagen -límites dimensionales . De ello se deduce que ( semiprecisión ). Si además , tal complejo se llama exacto . $\parcial_{n}\parcial_{n+1}=0$ $K_n$ $norte$ $Z_{n}K=\operatorname {Ker} \parcial _{n}$ $norte$ $B_{n}K=\operatorname {Im} \parcial _{n+1}$ $norte$ $\parcial_{n}\parcial_{n+1}=0$ $B_n K \subconjunto Z_n K$ $B_nK = Z_nK$

Los complejos en cadena de módulos sobre un anillo fijo forman una categoría con morfismos , donde es una secuencia de morfismos tal que conmuta con el diferencial, es decir, . $\varphi_{\bullet}\colon (K_{\bullet},\parcial_{\bullet}^{K})\to (L_{\bullet},\parcial_{\bullet}^{L })$ $\varphi_{\bullet}$ $\varphi_{n}\colon K_n \to L_n$ $\varphi_{n}$ $\parcial^{L}_{n}\varphi_{n}=\varphi_{n-1}\parcial^{K}_{n}$

Un complejo de cadena también se puede definir como un módulo graduado equipado con un diferencial de grado −1. ${\ estilo de visualización M_ {*}}$ $\parcial:M_{*}\a M_{*}$

También es posible definir complejos que consisten en objetos de una categoría abeliana arbitraria , como la categoría de haces de grupos abelianos. [una]

Complejo Cochain

Un complejo cochain es un concepto dual a un complejo de cadena. Se define como una secuencia de módulos y homomorfismos tales que $(\Omega^{\bullet}, d^{\bullet})$ $d^n\colon \Omega^n \to \Omega^{n+1}$

re^{n+1} re^n = 0

Un complejo de cocadena, como un complejo de cadena, es una secuencia semiexacta.

\ldots \xrightarrow{} \Omega^{n-1} \xrightarrow{d^{n-1}} \Omega^{n} \xrightarrow{d^n} \Omega^{n+1} \xrightarrow{d ^{n+1}}

Las propiedades y conceptos asociados con los complejos de cocadena son duales a los conceptos y propiedades análogos de los complejos de cadena.

Homología y cohomología

El grupo de homología n-dimensional de un complejo de cadena es su medida de precisión en el término n-ésimo y se define como $H_n$ $(K_\bullet, \parcial_\bullet)$

H_n(K_\bullet, \parcial_\bullet) = B_n(K)/Z_n(K)= \mathrm{Ker}\, \partial_n / \mathrm{Im}\, \partial_{n+1}

. Para el complejo exacto

H_n=0

El grupo de cohomología n-dimensional de un complejo cochain se define de manera similar:

H^{n}(\Omega^\bullet, d^\bullet) = B^n/Z^n = \mathrm{Ker}\, d^n / \mathrm{Im}\, d^{n-1 }

Homomorfismos de cadenas complejas

Un homomorfismo de cadenas complejas es un mapeo tal que el siguiente diagrama resulta ser conmutativo: $(A^\bullet, \delta^\bullet)$ $(B^\bullet, \gamma^\bullet)$ $f\colon A_n \to B_n, \forall n\in \N,$

Un homomorfismo de cadenas complejas induce un homomorfismo de sus grupos de homología.

Producto tensorial de complejos y Hom interno

Si V = V y W = W son complejos en cadena, entonces su producto tensorial es un complejo en cadena cuyos elementos de grado i tienen la forma ${\ estilo de visualización {}_ {*}}$ ${\ estilo de visualización {}_ {*}}$ $V\otimes W$

(V\otimes W)_{i}=\bigoplus_{\{j,k|j+k=i\}}V_{j}\otimes W_{k},

y el diferencial viene dado por la fórmula

\parcial (a\otimes b)=\parcial a\otimes b+(-1)^{\left|a\right|}a\otimes \parcial b,

donde a y b son elementos homogéneos arbitrarios de V y W , respectivamente, y denota el grado del elemento a . ${\ estilo de visualización \ izquierda | una \ derecha |}$

Este producto tensorial permite dotar a la categoría de cadenas complejas de K - módulos (para un anillo conmutativo arbitrario K ) con la estructura de una categoría monoide simétrica . La operación de anudado se da en tensores descomponibles por la fórmula ${\text{Ch}}_{K}$

a\otimes b\mapsto (-1)^{\left|a\right|\left|b\right|}b\otimes a

El signo es necesario para que la operación de anudado sea un homomorfismo de cadenas complejas. Además, en la categoría de cadenas complejas de K -módulos, hay un Hom interno : para cadenas complejas V y W , el Hom interno para V y W , denotado por hom( V , W ), es una cadena compleja cuyos elementos de grado n tienen la forma , y el diferencial dado por la fórmula $\Pi _{i}{\text{Hom}}_{K}(V_{i},W_{i+n})$

(\parcial f)(v)=\parcial (f(v))-(-1)^{\left|f\right|}f(\parcial (v))

Hay un isomorfismo natural.

{\text{Hom}}(A\otimes B,C)\cong {\text{Hom}}(A,{\text{Hom}}(B,C))

Cadena de homotopía

Una homotopía de cadena entre homomorfismos de complejos y es un homomorfismo de complejos de cadena y de grado +1 (es decir, ) para el cual $D\colon X\a Y$ $F$ $gramo$ $(X^\bullet, \parcial^\bullet)$ $(Y^\bullet, \delta^\bullet)$ $D_k \colon X_k \to Y_{k+1}$

\delta D + D \parcial = g - f

\delta_{k+1} D_k + D_{k-1} \parcial_k = g_k - f_k

Para complejos cocadena, el diagrama conmutativo correspondiente tiene la forma

Notas

↑ Complejo // Enciclopedia Matemática .

Literatura

Grothendieck A. Sobre algunas cuestiones de álgebra homológica, - M .: 1961. (B-ka de la colección "Matemáticas").
Dold A. Conferencias sobre topología algebraica, - M. : Mir, 1976.
Cartan A. , Eilenberg S. Álgebra homológica, - M .: Foreign Literature Publishing House, 1960.
McLane S. Homología, - M. : Mir, 1966.