Functor Hom

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En la teoría de categorías , los conjuntos Hom (es decir, conjuntos de morfismos entre dos objetos) permiten definir funtores importantes en la categoría de conjuntos . Estos funtores se denominan funtores Hom y tienen numerosas aplicaciones en la teoría de categorías y otras áreas de las matemáticas.

Definición

Sea C una categoría localmente pequeña de . Entonces para cualquiera de sus objetos A , B se definen los siguientes dos funtores:

Hom( A ,-) : C → Conjunto	Hom(-, B ) : C → Establecer
Este es un funtor covariante definido de la siguiente manera: Hom( A ,-) asigna cada objeto X de categoría C al conjunto de morfismos Hom( A , X ) Hom( A ,-) mapea cada morfismo f : X → Y en una función Hom( A , f ) : Hom( A , X ) → Hom( A , Y ) dado como $g\mapsto f\circ g$ para cada g en Hom( A , X ).	Este es un funtor contravariante definido de la siguiente manera: Hom(-, B ) asigna cada objeto X de categoría C al conjunto de morfismos Hom( X , B ) Hom(-, B ) mapea cada morfismo h : X → Y en una función Hom( h , B ) : Hom( Y , B ) → Hom( X , B ) dado por $g\mapsto g\circ h$ para cada g en Hom( Y , B ).

El funtor Hom(-, B ) también se llama funtor puntual del objeto B .

También es posible definir un bifuntor Hom(-,-) de C × C a Set que sea contravariante en el primer argumento y covariante en el segundo. O, de manera equivalente, un funtor

Hom(-,-) : C op × C → Establecer

donde C op es la categoría dual de C .

Funtor interno Hom

En algunas categorías, es posible definir un funtor que es similar al funtor Hom, pero cuyos valores se encuentran en la propia categoría. Tal funtor se llama funtor interno Hom y se denota

{\text{hom}}(-,-):C^{{op}}\times C\to C

Las categorías que permiten un funtor Hom interno se denominan categorías cerradas . Dado que en una categoría cerrada (aquí I es la unidad de la categoría cerrada), esto se puede reescribir como $A\cong hom(I,A)$

{\text{Hom}}(Yo,{\text{hom}}(-,-))\simeq {\text{Hom}}(-,-)

En el caso de una categoría monoidal cerrada, esto se puede extender al llamado curry , es decir, un isomorfismo

{\text{Hom}}(X,Y\Rightarrow Z)\simeq {\text{Hom}}(X\otimes Y,Z)

donde esta _ $Y\Flecha derecha Z$ ${\text{hombre}}(Y,Z)$

Definiciones relacionadas

Un funtor de la forma Hom(-, C) : C op → Set es un presheaf ; en consecuencia, Hom(C, -) puede llamarse copresheaf.
Un funtor F : C → Conjunto naturalmente isomorfo a Hom(X, -) para algún objeto C se llama funtor representable .
Hom(-, -) : C op × C → Set es un profunctor , es decir, el profunctor identidad . ${\text{id}}_{C}\dos puntos C\nflecha derecha C$
El funtor interno Hom conserva los límites ; es decir, lleva los límites a los límites y los límites a los colímites. En cierto sentido, esto puede considerarse como la definición de un límite o colímite. ${\text{hom}}(X,-):C\a C$ ${\text{hom}}(-,X):C^{{\text{op}}}\to C$
El funtor Hom es un ejemplo de un funtor exacto izquierdo.

Véase también

Notas

S. McLane. Categorías para un matemático en activo, - M . : FIZMATLIT, 2004. - 352 p. — ISBN 5-9221-0400-4 .
Goldblatt, R. Topoi. Análisis categórico de la lógica, - M. : Mir, 1983. - 487 p.
Nathan Jacobson . Álgebra básica (indefinida) . — 2do. - Dover, 2009. - Vol. 2. - ISBN 978-0-486-47187-7 .