Multiplicidad de puntos críticos

La multiplicidad del punto crítico de una función suave es la dimensión del llamado álgebra local del mapeo de gradiente de esta función en el punto bajo consideración. ${\displaystyle C^{\infty ))$ $f:\mathbb{R} ^{n}\to \mathbb{R}$

Definición

Sea una función suave de variables , que tiene su punto crítico. El mapeo de gradiente correspondiente viene dado por la fórmula Introduzcamos la siguiente notación: $f:\mathbb{R} ^{n}\to \mathbb{R}$ ${\displaystyle C^{\infty ))$ $norte$ $x_{1},\ldots,x_{n}$ $O\en \mathbb {R} ^{n}$ ${\displaystyle \nabla f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n))$ $(x_{1},\ldots,x_{n})\mapsto (\parcial f/\parcial x_{1},\ldots,\parcial f/\parcial x_{n}).$

$\mathbb {R} [[x_{1},\ldots,x_{n}]]$ es el álgebra de series de potencias formales en variables centradas en $x_{1},\ldots,x_{n}$ ${\ estilo de visualización O.}$
$I_{\nabla f}=(\parcial f/\parcial x_{1},\ldots,\parcial f/\parcial x_{n})$ es un ideal en el álgebra de funciones suaves generadas por generadores $\parcial f/\parcial x_{1},\ldots,\parcial f/\parcial x_{n}.$

Asociando cada función suave con su serie formal de Taylor, obtenemos una incrustación en el álgebra . El álgebra local del mapeo de gradientes en un punto se llama álgebra del cociente , y su dimensión se llama la multiplicidad de la función en el punto ${\displaystyle I_{\nabla f))$ $\mathbb {R} [[x_{1},\ldots,x_{n}]]$ $O$ $\mathbb {R} [[x_{1},\ldots,x_{n}]]/I_{\nabla f},$ ${\displaystyle \mu =\dim \,\mathbb {R} [[x_{1},\ldots,x_{n}]]/I_{\nabla f))$ $F$ ${\ estilo de visualización O.}$

En el caso de que las funciones tengan gradientes linealmente independientes en el punto (esta condición es equivalente al hecho de que la hessiana de la función es distinta de cero), la multiplicidad y el punto crítico se denominan no degenerados . También es conveniente poner en el caso de un punto no crítico. ${\displaystyle \parcial f/\parcial x_{1},\ldots,\parcial f/\parcial x_{n))$ $O$ $F$ $\mu=1$ $O$ $\mu=0$

Funciones de una sola variable

En este caso , y la multiplicidad del punto crítico puede ser determinada por la condición: $n=1$ $\mu$ $O$

{\frac {d^{i}f}{dx^{i}}}(O)=0\quad (\forall i=1,\ldots,\mu ),\quad {\frac {d ^{\mu +1}f}{dx^{\mu +1}}}(O)\neq 0,

el valor corresponde a un punto no crítico. De hecho, dado que en este caso la serie de potencias de la función comienza con un término, cualquier elemento puede representarse como , donde y es un polinomio de grado dado por los coeficientes, es decir $\mu=0$ ${\displaystyle \nabla f={\f parcial}/{\x parcial))$ ${\ estilo de visualización x ^ {\ mu},}$ $g\in \mathbb {R} [[x]]$ $g=p_{\mu -1}+\alpha \cdot \nabla f$ ${\ estilo de visualización \ alfa \ en \ mathbb {R} [[x]]}$ $p_{\mu-1}$ ${\ estilo de visualización \ mu-1,}$ $\mu$ $\dim \,\mathbb {R} [[x]]/I_{\nabla f}=\mu .$

El teorema de Toujron en este caso toma una forma trivial: en una vecindad de un punto crítico de multiplicidad finita , hay coordenadas en las que la función tiene la forma $\mu$

f(x)=x^{\mu+1}.

Funciones de varias variables

En este caso, una característica importante del punto crítico es el rango de la matriz hessiana en el punto . $O$ $r$ ${\ estilo de visualización H (f)}$ $O$

Si , entonces (según el lema de Morse ) en una vecindad del punto , la función , eligiendo coordenadas locales suaves, se reduce a la forma ${\ estilo de visualización r = n}$ $O$ $f(x)$

\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}x_{i}^{2},\quad \alpha_{i}=\pm 1.

Si , entonces en una vecindad del punto la función se reduce a la forma eligiendo coordenadas locales suaves ${\ estilo de visualización r = n-1}$ $O$ $f(x)$

\sum _{i=1}^{n-1}\alpha _{i}x_{i}^{2}+g(x_{n}),\quad \alpha _{i}=\ pm1,

y, si la multiplicidad de la función es , entonces se reduce a la forma

{\ estilo de visualización g (x_ {n})}

\mu </infty

\sum_{i=1}^{n-1}\alpha_{i}x_{i}^{2}+x_{n}^{\mu +1},\quad \alpha_{ i}=\pm 1,\quad 2\leq \mu <\infty .

Si , entonces en una vecindad del punto la función se reduce a la forma eligiendo coordenadas locales suaves ${\ estilo de visualización r = n-2}$ $O$ $f(x)$

\sum _{i=1}^{n-2}\alpha _{i}x_{i}^{2}+g(x_{n-1},x_{n}),\quad \ alfa _ {i} = \ pm 1,

donde la serie de Taylor de la función comienza con monomios de grado

{\ estilo de visualización g (x_ {n-1}, x_ {n})}

{\ estilo de visualización \ geq 3.}

Si la parte cúbica de una función tiene tres raíces diferentes (reales o complejas), entonces se reduce a la forma ${\ estilo de visualización g (x_ {n-1}, x_ {n})}$ $f(x)$

\sum_{i=1}^{n-2}\alpha_{i}x_{i}^{2}+x_{n-1}x_{n}^{2}\pm x_{ n}^{3},\quad \alpha _{i}=\pm 1.

Si la parte cúbica de una función tiene dos raíces diferentes (una de ellas es múltiplo), entonces, bajo la condición adicional de posición general, la función se reduce a la forma ${\ estilo de visualización g (x_ {n-1}, x_ {n})}$ $f(x)$

\sum_{i=1}^{n-2}\alpha_{i}x_{i}^{2}+x_{n-1}x_{n}^{2}\pm x_{ n}^{\mu +1},\quad \alpha _{i}=\pm 1,\quad 3\leq \mu <\infty .

Teorema de la división

Sea una función suave de la variable , que tiene como punto crítico un punto de multiplicidad finita en la variable , es decir $f:\mathbb {R} ^{n+1}\to \mathbb {R}$ $n+1$ ${\displaystyle x,y_{1},\ldots,y_{n))$ $0\in \mathbb {R} ^{n+1}$ ${\ estilo de visualización \ mu \ geq 0}$ $X$

${\frac {\parcial ^{i}f}{\parcial x^{i))}(0)=0\quad (\forall i=1,\ldots,\mu ),\quad {\ frac {\parcial ^{\mu +1}f}{\parcial x^{\mu +1))}(0)\neq 0.\quad \ (*)$

Entonces, en una vecindad del punto , la función se puede representar de la forma ${\ estilo de visualización 0}$ $F$

$f(x,y_{1},\ldots,y_{n})=\varphi (x,y_{1},\ldots,y_{n})\cdot {\Bigl (}x^{\ mu +1}+\sum _{i=0}^{\mu }a_{i}(y_{1},\ldots ,y_{n})x^{\mu -i}{\Bigr )}, \patio\(**)$

donde y son funciones suaves de sus argumentos, no desaparece para todos . $\varphi$ $ai}}$ ${\ estilo de visualización \ varphi (x, y_ {1}, \ ldots, y_ {n})}$ $a_{i}(0,\ldots,0)=0$ ${\ estilo de visualización i <\ mu}$

Este teorema fue probado por primera vez por Weierstrass para funciones holomorfas de variables complejas [1] (el teorema de la división de Weierstrass ). El análogo real dado anteriormente a menudo se llama el teorema de la división de Malgrange o Mather .

Puntos críticos de mapeos

La multiplicidad del punto crítico de una aplicación suave es la dimensión del álgebra local de la aplicación dada. ${\displaystyle C^{\infty ))$ $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n},$ ${\ estilo de visualización n> 1,}$

Sea un mapeo suave que tenga su punto crítico. El mapeo viene dado por un conjunto de funciones sobre variables . ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n))$ ${\displaystyle C^{\infty ))$ $O\en \mathbb {R} ^{n}$ $F$ $norte$ ${\displaystyle f_{1},\ldots,f_{n))$ $norte$ $x_{1},\ldots,x_{n}$

Introduzcamos la siguiente notación:

$\mathbb {R} [[x_{1},\ldots,x_{n}]]$ es el álgebra de series de potencias formales en variables centradas en $x_{1},\ldots,x_{n}$ ${\ estilo de visualización O.}$
$I_{f}=(f_{1},\ldots,f_{n})$ es un ideal en el álgebra de funciones suaves generadas por generadores $f_{1},\ldots,f_{n}.$

Asociando cada función suave con su serie formal de Taylor, obtenemos una incrustación en el álgebra . El álgebra local de una aplicación en un punto se denomina álgebra del cociente y su dimensión se denomina multiplicidad de la aplicación en un punto . ${\ Displaystyle I_ {f}}$ $\mathbb {R} [[x_{1},\ldots,x_{n}]]$ $O$ $\mathbb {R} [[x_{1},\ldots,x_{n}]]/I_{f},$ ${\displaystyle \mu =\dim \,\mathbb {R} [[x_{1},\ldots,x_{n}]]/I_{f))$ $F$ ${\ estilo de visualización O.}$

Véase también

Lema de Morse. teorema de toujron

Literatura

Arnold V. I., Varchenko A. N., Gusein-Zade S. M. Singularidades de asignaciones diferenciables, — Cualquier edición.
Brecker T., Lander L. Gérmenes diferenciables y catástrofes, - Cualquier edición.
Golubitsky M., Guillemin V. Mapeos estables y sus singularidades, - M.: Mir, 1977.
Hormander L. Introducción a la teoría de funciones de varias variables complejas, - M .: Mir, 1968.
Colección de artículos: Características de los mapeos diferenciables, - M.: Mir, 1968.
Palamodov V.P. Sobre la multiplicidad de un mapeo holomorfo, Funkts. análisis y sus aplicaciones, 1:3 (1967), págs. 54–65.
Arnold, VI, Una nota sobre el teorema preparatorio de Weierstrass, Funktsional. análisis y sus aplicaciones, 1:3 (1967), págs. 1–8.
Pavlova N.G., Remizov A.O. Una introducción a la teoría de la singularidad . - M. : MIPT, 2022. - 181 p. - ISBN 978-5-7417-0794-4 .

Notas

↑ Weierstrass K. Einige auf die Theorie der analytischen Functionen mehrerer Veränderlichen sich beziehende Sätze. — Mathematische Werke, V. II, Mayer und Müller, Berlín, 1895, 135–188.