Variedad Kahleriana

Una variedad kahleriana es una variedad con tres estructuras mutuamente compatibles: una estructura compleja , una métrica riemanniana y una forma simpléctica .

Nombrado en honor al matemático alemán Erich Köhler .

Definiciones

Como una variedad simpléctica: Una variedad Kähleriana es una variedad simpléctica con una estructura integrable casi compleja que es consistente con la forma simpléctica . ${\ estilo de visualización (K, \ omega)}$

Como una variedad compleja: una variedad kähleriana es una variedad hermitiana con una forma hermitiana cerrada. Tal forma hermítica se llama Kähleriana.

Conexión entre definiciones

Sea una forma hermítica , sea una forma simpléctica y sea una estructura casi compleja . La consistencia significa que la forma : $h$ $\omega$ $j$ $\omega$ $j$

g(u,v)=\omega(u,Jv)

es riemanniano; es decir, definido positivo. La conexión entre estas estructuras se puede expresar mediante la identidad:

h=gi\omega .

Potencial de Kähler

En una variedad compleja , cada función estrictamente pluriarmónica genera una forma de Kähler $k$ $\rho \in C^{\infty}(K;\mathbb {R} )$

\omega ={\frac {i}{2}}\parcial {\bar {\parcial}}\rho .

En este caso, la función se llama potencial de Kähler de la forma . $\rho$ ${\ estilo de visualización \ omega}$

Lo contrario es cierto localmente. Más precisamente, para cada punto de una variedad Kähleriana existe una vecindad y una función tal que $pags$ ${\ estilo de visualización (K, \ omega)}$ $U\ni p$ $\rho \in C^{\infty}(U,\mathbb {R} )$

\omega \vert _{U}=i\parcial {\bar {\parcial}}\rho

Esto se llama el potencial local de Kähler de la forma . $\rho$ ${\ estilo de visualización \ omega}$

Ejemplos

Espacio euclidiano complejo con forma hermítica estándar. $\mathbb{C}^n$
Toda métrica riemanniana sobre una superficie orientable define una variedad kähleriana ya que el cierre es trivial en la dimensión real dos. $\omega$
Espacio proyectivo complejo con la métrica de Fubini-Study . $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{n}$
Métrica inducida en una subvariedad compleja en una variedad Kähleriana.
- En particular, cualquier variedad de Stein y cualquier variedad algebraica proyectiva .
- Por el teorema de incrustación de Kodaira , una variedad de Kähler que admite un paquete positivo con una fibra lineal está incrustada en un espacio proyectivo.
Superficies K3
Una subclase importante de las variedades de Kähler son las variedades de Calabi-Yau .

Véase también

Variedad casi compleja

Literatura

P. Deligne , Ph. Griffiths, J. Morgan, D. Sullivan. Teoría de la homotopía real de las variedades de Kähler // Invent. Matemáticas. - 1975. - T. 29 . — Pág. 245–274 . -doi : 10.1007/ BF01389853.
E.Kahler . Über eine bemerkenswerte Hermitesche Metrik // Abh. Matemáticas. Sem. Universidad Hamburgo. - 1933. - T. 9 . — S. 173–186 . -doi : 10.1007/ BF02940642.
R. Hartshorne. Geometría Algebraica. - Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , 1977. - ISBN 978-0-387-90244-9 .
Alan Huckleberry y Tilman Wurzbacher, eds. Múltiples de Kähler de dimensión infinita (2001), Birkhauser Verlag, Basilea ISBN 3-7643-6602-8 .
A. Moroianu. Conferencias sobre la geometría de Kahler. - Cambridge University Press , 2007. - V. 69. - (Textos para estudiantes de la London Mathematical Society). — ISBN 978-0-521-68897-0 .
A. Bien . Introducción a l'étude des variétés kählériennes. — 1958.