Superficie K3

Una superficie K3 es una superficie compleja compacta conectada , simplemente conectada (es decir, una variedad compleja de dimensión dos compleja) que admite una forma diferencial holomorfa de grado dos degenerada en ninguna parte . En geometría algebraica , donde las variedades se consideran sobre campos que no sean números complejos , una superficie K3 es una superficie algebraica con un paquete canónico trivial que no admite formas algebraicas 1. [una]

Cuártico en $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{3}$

Uno de los ejemplos más simples de superficies K3 está dado por superficies lisas de cuarto grado en un espacio proyectivo complejo . Sin embargo, para probar que estas superficies satisfacen la definición de una superficie K3, se requiere cierta familiaridad con la teoría de haces de líneas.

Es decir, desde el punto de vista de los paquetes de líneas, las funciones homogéneas de grado en un espacio proyectivo son secciones de un paquete de líneas , el -ésimo grado de un paquete tautológico . Si es algún haz de líneas, y es su sección, además, su nivel cero es una subvariedad suave, entonces su diferencial determina en cada punto un mapeo cuyo núcleo es exactamente . Así, teniendo en cuenta la suavidad de , tenemos un isomorfismo de paquetes . Este factor se denomina cesta normal ; en particular, vemos que el paquete normal a un cuarto suave es isomorfo a . $norte$ $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{m}$ ${\mathfrak{O}}(n)$ $norte$ ${\mathfrak{O}}(1)$ ${\ estilo de visualización L \ a X}$ ${\ Displaystyle s \ en \ Gamma (L)}$ $Y=\{x\in X\colon s(x)=0\}$ $ds$ $y\en y$ $T_{y}X\a L_{y}$ $T_{y}Y$ $Y$ $TX|_{Y}/TY{\xrightarrow {ds}}L|_{Y}$ $TX|_{Y}/TY=\nu _{Y/X}$ ${\displaystyle Y=Y_{4}\subconjunto \mathbb {C} \mathrm {P} ^{3))$ ${\mathfrak{O}}(4)|_{Y}$

Por otro lado, el paquete normal encaja en la secuencia exacta . Dualizando, obtenemos la sucesión exacta , y, calculando la mayor potencia externa y usando sus propiedades funcionales, tenemos un isomorfismo de haces de líneas , o, por dualidad, (esta fórmula se llama fórmula de adjunción ). Aplicando la fórmula de la adjunción al caso cuando (cuyo haz canónico es isomorfo según la secuencia exacta de Euler ), tenemos . En particular, cuando es una hipersuperficie suave de grado , su paquete canónico es trivial. De esto se sigue que una curva cúbica suave en el plano es una curva elíptica , pues esto implica la presencia de una forma 2 holomorfa que no desaparece en ninguna parte sobre una superficie de grado cuatro en el espacio proyectivo (en general, se sigue de esto que una hipersuperficie lisa de grado c es una variedad de Calabi-Yau ). $0\a TY\a TX|_{Y}\a \nu _{Y/X}$ $0\a \nu _{Y/X}^{*}\a T^{*}X|_{Y}\a T^{*}Y\a 0$ $K_{X}|_{Y}\cong K_{Y}\otimes \nu_{Y/X}^{*}$ $K_{Y}\cong K_{X}|_{Y}\otimes \nu _{Y/X}$ ${\displaystyle X=\mathbb {C} \mathrm {P} ^{m))$ ${\mathfrak{O}}(-m-1)$ ${\mathfrak {O}}(-m-1)=K_{Y}\otimes \nu _{Y/\mathbb {C} \mathrm {P} ^{m}}^{*}$ $Y$ $m+1$ $metro=2$ $metro=3$ $m+1$ $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{m}$

Queda por demostrar que la cuarta es simplemente conexa. Para hacer esto, considere una incrustación en un sistema lineal , con respecto al cual las secciones de hiperplano cortan exactamente cero niveles de polinomios homogéneos de grado cuatro en la imagen (por lo tanto, nuestra cuártica es una sección hiperplana adecuada de la imagen bajo tal incrustación). Por el teorema de la sección del hiperplano de Lefschetz , establece un isomorfismo de grupos fundamentales , y se sabe que el grupo fundamental de un espacio proyectivo complejo es trivial. Por lo tanto, un cuártico liso también es simplemente conexo y, por lo tanto, es una superficie K3. ${\mathfrak{O}}(4)$ ${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{3}\a \mathbb {C} \mathrm {P} ^{34))$ $Y$ $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{3}$ $\pi _{1}(Y)\a \pi _{1}(\mathbb {C} \mathrm {P} ^{3})$ $Y$

En lo anterior, la única propiedad fundamental es que el haz dual al haz canónico tiene una sección cuyo nivel cero es una superficie lisa. Cualquier triple tridimensional de Fano tiene la misma propiedad , por ejemplo . En este caso, el paquete anticanónico se restringe a cada uno de los factores como su propio paquete anticanónico, es decir , de modo que cada divisor anticanónico corta cada uno de estos "ejes de coordenadas" en dos puntos. Por lo tanto, tal superficie K3 tendrá tres involuciones : permutando los puntos de intersección con el primer, segundo y tercer factor. También hay un par similar de involuciones en la curva de , que interseca dos veces a ambos factores. Como se sabe, es biholomorfa a la cuádrica en , y tal curva es una curva elíptica que se encuentra sobre la cuádrica. Estas dos involuciones en este caso generarán la acción de un grupo , un producto libre , isomorfo al grupo infinito del diedro . Así, o bien las órbitas de esta acción sobre la curva elíptica son densas, o bien esta acción pasa por un factor finito (es decir, algún grupo diédrico de orden finito), y todas sus órbitas son finitas. Esta afirmación tiene una encarnación en la geometría elemental conocida como el porismo de Poncelet . En el caso de una superficie K3, tres involuciones dan lugar a un producto triple libre mucho más complicado , que es interesante desde el punto de vista de la dinámica holomorfa . $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{3}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}\times \mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}\times \mathbb {C} \mathrm {P} ^{1))$ ${\mathfrak {O}}_{\mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}}(2)$ ${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}\times \mathbb {C} \mathrm {P} ^{1))$ ${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}\times \mathbb {C} \mathrm {P} ^{1))$ $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{3}$ $\mathbb {Z} /2*\mathbb {Z} /2$ $\mathbb {Z} /2*\mathbb {Z} /2*\mathbb {Z} /2$

Superficies métricas Ricci-flat y Kummer K3

Todas las superficies K3 son Kählerianas (esto fue probado por Sioux ). Como tienen una forma holomorfa de mayor grado que no desaparece en ningún lado, se les aplica el teorema de Calabi-Yau , es decir, para cada clase representada como una forma simpléctica de la métrica de Kähler , hay una métrica de curvatura de Ricci cero en esta clase . Al mismo tiempo, esta métrica no puede escribirse explícitamente: el teorema de Calabi-Yau es solo un teorema de existencia , pero de ninguna manera una construcción explícita. ${\ estilo de visualización [\ omega _ {g}]}$ $gramo$

El único caso en el que existe al menos alguna aproximación es el caso de las denominadas superficies de Kummer. Sea un toro complejo, es decir, un factor , donde es una red de rango cuatro. Considere la variedad del cociente . La forma 2 holomorfa estándar en (que desciende de ) es invariante ante la multiplicación por , por lo que desciende a un lugar geométrico no singular en el factor. Las singularidades tienen la forma ; la explosión en tal singularidad es localmente el paquete cotangente a , y la forma 2 holomorfa estándar se puede extender a tal explosión. Las singularidades son exactamente dos puntos de torsión en un toro de cuatro dimensiones, hay algunos de ellos. Entonces, ampliando estas singularidades cuadráticas, se puede obtener una superficie con una clase canónica trivial. Es fácil ver que simplemente está conectado. Tal superficie K3 se denomina superficie Kummer K3 asociada con un toro complejo . A diferencia de los ejemplos anteriores, dicha superficie ya no puede estar incrustada en un espacio proyectivo si el toroide original no era proyectivo . $A$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {2}/\ Lambda}$ $\lambda$ $A/\{x\sim-x\}$ ${\ estilo de visualización dz \ cuña dw}$ $A$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {2}}$ $-una$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}/\{\pm 1\))$ $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}$ $A/\{\pm 1\}$ ${\ estilo de visualización 2 ^ {4} = 16}$ $dieciséis$ $A$ $A$

La métrica plana de Ricci sobre el espacio total del fibrado cotangente holomorfo k es bastante conocida: es la métrica de Calabi-Eguchi-Hanson. La pregunta analítica difícil es cómo pegarlo con una métrica plana en la parte suave del factor toro cuando se introducen nuevas curvas racionales. Para hacer esto, ambas métricas deben cambiarse globalmente. Esta cuestión fue estudiada por Donaldson . [2] En su óptica, se ocupa de cuestiones sobre la construcción de variedades con holonomía especial (como las variedades G2 ), que, a diferencia de las superficies K3, no tienen una descripción algebraica-geométrica. $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}$

Topología de superficies K3

La topología de las superficies Kummer K3 es especialmente clara. Entonces, su segundo número de Betty es igual a : proviene del toroide de cuatro dimensiones original, y - de dieciséis curvas sopladas. Por lo tanto, su característica de Euler es igual a . $b_{2}$ ${\ estilo de visualización 6 + 16 = 22}$ $6$ $dieciséis$ ${\ estilo de visualización 1+22+1=24}$

Resulta que lo mismo es cierto para cualquier otra superficie K3: todas las superficies K3 son difeomorfas. Además, son lo que se denomina equivalente de deformación : dos estructuras complejas cualesquiera de una superficie K3 pueden estar conectadas por un camino continuo en el espacio de todas las estructuras complejas. La red con su forma de intersección nativa es isomorfa a , donde es una red E8 y es una red hiperbólica estándar. En particular, la firma de la segunda celosía de cohomología es . $H_{2}(K3,\mathbb {Z} )$ ${\displaystyle E_{8}(-1)^{\oplus 2}\oplus U^{\oplus 3))$ $E_8$ $tu$ ${\ estilo de visualización (3,19)}$

Dado que todas las superficies K3 son kählerianas, tiene sentido hablar de sus números de Hodge : para todas las superficies K3 son iguales a , . A partir de aquí, usando el teorema del índice de Hodge, es fácil deducir la afirmación sobre la firma. ${\ estilo de visualización h^{2,0}=h^{0,2}=1}$ ${\ estilo de visualización h ^ {1,1} = 20}$

Superficies elípticas K3

La geometría de las superficies K3, en las que existe una curva elíptica , es bastante notable . Es decir, sea una superficie K3 y sea una curva elíptica. De la fórmula adjunta (ver arriba) sabemos que . Pero el fibrado canónico tanto para una superficie K3 como para una curva elíptica es trivial. Por lo tanto, el paquete normal de una curva elíptica también es trivial. Esto significa que una curva elíptica sobre una superficie K3 admite una familia de deformaciones que no intersecan esta curva (y entre sí). Estas deformaciones (incluidas las degeneradas) estarán parametrizadas por una curva racional , es decir, una curva elíptica en la superficie K3 define un mapeo cuyas fibras son y sus deformaciones. Esta familia se denomina gavilla de Lefschetz o haz elíptico . Tal superficie K3 en sí misma se llama una superficie K3 elíptica . $X$ $E\subconjunto X$ $K_{E}\cong K_{X}|_{E}\otimes \nu _{E/X}$ $E\subconjunto X$ ${\displaystyle X\to \mathbb {C} \mathrm {P} ^{1))$ $mi$

Un haz elíptico en una superficie K3 siempre tiene fibras singulares (porque la característica de Euler de una superficie K3 es , mientras que la de una curva elíptica es cero). Si todas las capas son lo más simples posible, es decir, solo hojas cartesianas con la característica de Euler , entonces debería haber capas especiales (en términos generales, habrá menos). En la base fuera de los puntos, cuyas hojas son singulares, hay una conexión plana , llamada conexión Liouville-Arnold . La monodromía de tal conexión radica en el grupo . Considere el grupo obtenido como una preimagen en la cobertura universal . Esta es una extensión central con . Denote el generador de este subgrupo cíclico como . Resulta que hay un homomorfismo tal que . Un análogo del teorema de Gauss-Bonnet , probado por Kontsevich y Soibelman , establece que si hay una conexión plana con monodromía en una superficie con pinchazos , entonces se cumple la igualdad , donde hay monodromía alrededor del pinchazo . En particular, si todos son iguales a uno, obtenemos todos los mismos veinticuatro pinchazos. [3] ${\ estilo de visualización 24}$ $una$ ${\ estilo de visualización 24}$ $\mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )$ ${\widetilde {\mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )}}$ $\mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )\subconjunto \mathrm {SL} (2,\mathbb {R} )$ $\mathrm {SL} (2,\mathbb {R} )$ $\mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )$ $\pi _{1}(\mathrm {SL} (2,\mathbb {R} )\cong \mathbb {Z}$ $tu$ $i\colon {\widetilde {\mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )))\to \mathbb {Z}$ ${\ estilo de visualización i (u) = 12}$ $S$ $norte$ $x_{1},\puntos,x_{n}$ $\mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )$ $\sum _{k=1}^{n}i(\gamma _{k})=12\chi (S)$ $\gamma _{k}$ $x_k$ ${\ estilo de visualización i (\ gamma _ {k})}$

Teorema de Torelli

Si hay una familia holomorfa de superficies K3 sobre el disco unitario, entonces el conjunto de su segunda cohomología se trivializa mediante la conexión de Gauss-Manin . Sin embargo, como variación de las estructuras de Hodge , ya no será trivial (si la familia misma no fuera trivial).

Una estructura de Hodge del tipo de la segunda cohomología K3 está determinada únicamente por la línea generada por la clase de la forma 2 holomorfa . Dado que existe una forma de volumen de una métrica plana de Ricci, a se multiplica por sí mismo por cero, esta línea es isotrópica con respecto a la forma de intersección. Por lo tanto, solo puede estar en alguna cuádrica suave en . La condición destaca algún subconjunto abierto en esta cuádrica. Se puede describir como un espacio homogéneo de la siguiente manera . $H^{2,0}\subconjunto H^{2}(K3,\mathbb {C} )$ $\Omega$ $\Omega \cuña {\bar {\Omega ))$ $\Omega \cuña \Omega =0$ $\mathrm {P} (H^{2}(K3,\mathbb {C} ))$ $\Omega \cuña {\bar {\Omega}}>0$

Consideremos un espacio bidimensional . Es invariante bajo conjugación compleja y, por lo tanto, es una complejización de algún subespacio real bidimensional . Definimos un operador real en él como multiplicación por a lo largo y por a lo largo . En el plano real , este operador actúa como una rotación y define así una orientación. De la relación se sigue que la forma de la intersección en este plano es definida positiva. Por el contrario, si existe tal plano, entonces hay exactamente dos líneas isotrópicas en la complejización, y elegir solo una de ellas proporciona la orientación requerida. Por lo tanto, el subconjunto abierto requerido en la cuádrica es el mismo que el conjunto de planos bidimensionales orientados con un producto escalar definido positivo en el espacio de firma . El grupo de isometría de tal espacio actúa transitivamente sobre tales planos con un estabilizador . Por lo tanto, este factor se llama espacio de período . Este, como se desprende de la descripción como subconjunto abierto en la cuádrica, es una variedad compleja (lo mismo se desprende de la descripción real, identificando el plano bidimensional orientado con el plano de Argand , es decir, simplemente por complejo números - la equivalencia de estas descripciones es un ejercicio fácil). Asociado con cada familia de superficies K3 sobre un disco hay un mapa holomorfo desde el disco hasta este espacio de período, llamado mapa de período . El teorema local de Torelli establece que una familia de superficies K3 sobre un disco pequeño se puede recuperar de forma única a partir de su mapa de período. $\mathrm {span} \{[\Omega ],[{\bar {\Omega }}]\}\subset H^{2}(K3,\mathbb {C} )$ $U_{\Omega }\subconjunto H^{2}(K3,\mathbb {R} )$ ${\ sqrt {-1}}$ ${\ estilo de visualización [\ Omega]}$ ${\ estilo de visualización - {\ sqrt {-1))}$ $[{\bar {\Omega}}]$ ${\ Displaystyle U_ {\ Omega}}$ $90^{\círculo}$ $\Omega \cuña {\bar {\Omega}}>0$ ${\ estilo de visualización (3,19)}$ $\mathrm {SO} (3,19)$ $\mathrm {SO} (2)\times \mathrm {SO} (1,19)$ ${\frac {\mathrm {SO} (3,19)}{\mathrm {SO} (2)\times \mathrm {SO} (1,19)))$

Si queremos considerar solo superficies K3 algebraicas, entonces es razonable fijar la clase de sección del hiperplano , que también es la clase de la forma de Kähler (las superficies K3 con una clase de sección de hiperplano fija se denominan polarizadas ). Como , tenemos una restricción adicional: . Ya que , esto quiere decir que en este caso puede tomar valores solo en un subconjunto del espacio de periodos ordenado como . Es un factor de un grupo por un subgrupo compacto máximo, y por el teorema de Cartan es biholomórfico a algún dominio acotado en un espacio complejo (en este caso, ). Este dominio es similar al dominio de Siegel , y para el género dos está estrechamente relacionado con él: el mapeo de una superficie abeliana a su superficie Kummer K3 produce un mapeo del dominio de Siegel del género dos al dominio del período. Las formas modulares en este dominio proporcionan una conexión interesante entre la teoría de números clásica y la geometría algebraica. ${\ estilo de visualización [\ omega] \ en H ^ {1,1}}$ $\Omega \cuña \omega =0$ ${\displaystyle [\Omega ]\in [\omega ]^{\perp ))$ $\omega \cuña \omega >0$ ${\ estilo de visualización [\ Omega]}$ ${\frac {\mathrm {SO} (2,19)}{\mathrm {SO} (2)\times \mathrm {SO} (19)))$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {1} 9}$

Al mismo tiempo, la acción del grupo ortogonal que conserva la red sobre el espacio de los períodos está muy lejos del hecho de que el factor por esta acción tenga al menos algún significado geométrico. Por lo tanto, la imagen del dominio de Siegel en la comparación anterior es una subvariedad analítica de gran codimensión, pero en este caso, cualquier superficie K3 algebraica puede convertirse en una superficie K3 de Kummer mediante una deformación arbitrariamente pequeña, es decir, los cambios de esta imagen bajo la acción de la red forman un conjunto denso por todas partes. Por lo tanto, para formular una afirmación global, es más razonable hablar no de un isomorfismo de factores, sino de un mapeo holomorfo que conmuta con la acción de un grupo ortogonal entero. $H^{2}(K3,\mathbb {Z} )$

Es decir, considere el conjunto de todas las estructuras complejas de tipo Kähler sobre una superficie K3. Su factor por acción de la componente conexa del grupo de difeomorfismos es una variedad compleja suave, aunque no de Hausdorff (para curvas, el factor análogo resulta ser Hausdorff y es bien conocido como espacio de Teichmüller ). Entonces, el mapa que identifica los puntos que no están separados entre sí por vecindarios que no se intersecan está bien definido, y el cociente de él es una variedad compleja suave mapeada por un mapa de períodos en el espacio de períodos y, además, es biholomórfico. Este enunciado es el teorema global de Torelli.

Degeneraciones de superficies K3

Considere el caso de una familia holomorfa sobre un disco, cuyas fibras, excepto la central, son superficies K3, y la central es un divisor especial con intersecciones normales, cuyos componentes son superficies lisas de multiplicidad uno, y todo el espacio total es liso. Tal familia se llama una buena degeneración . Kodaira estudió una pregunta similar para las curvas elípticas (ver arriba) : mostró que las degeneraciones mínimas (es decir, sin explosión ) de las curvas elípticas tienen un paquete canónico trivial, y dio una clasificación de tales degeneraciones (más o menos en términos de los diagramas de Dynkin ). En el caso de las degeneraciones de la superficie, además de la explosión de la capa central, también existen las llamadas modificaciones, transformaciones birracionales no triviales del espacio total que conservan las capas y son biregulares en cada capa lisa. Vic. Kulikov demostró que, después de algunas modificaciones, el espacio total de degeneración mínima buena de las superficies K3 también tiene un paquete canónico trivial, y que la degeneración se puede reducir mediante una reorganización a uno de los tres casos:

la capa central es una superficie K3 lisa,
la capa central es la unión de superficies lisas , además, la superficie intersecta solo con superficies , todas las intersecciones son curvas elípticas, las superficies son racionales y las superficies son superficies elípticas regladas, ${\displaystyle V_{1}\taza V_{2}\taza \puntos \taza V_{n-1}\taza V_{n))$ $V_i$ $V_{i\pm 1}$ $V_{1}$ $V_{n}$ $V_{2},\puntos V_{n-1}$
la fibra central es la unión de superficies racionales que se cortan a lo largo de curvas racionales; un complejo cuyos vértices son los componentes irreducibles de la capa central, los bordes son las curvas a lo largo de las cuales se cruzan y las caras son los puntos en los que convergen estas curvas, es una triangulación de una esfera bidimensional.

Un ejemplo de degeneración tipo II según Kulikov es la degeneración de una cuártica suave en una unión de dos cuádricas (su intersección es una curva elíptica), y las degeneraciones de tipo III son la degeneración de una cuártica suave en una unión de cuatro planos ( es decir, la superficie de un tetraedro - si los vértices de este tetraedro son reales, la mencionada triangulación será dual a la dada por este tetraedro).

Degeneraciones de métricas planas de Ricci en superficies K3

Las degeneraciones de las superficies K3 se pueden tratar de diferentes maneras. Además de la perspectiva algebraica-geométrica descrita anteriormente, pueden verse desde el punto de vista de la geometría diferencial. Es decir, fijamos una estructura compleja en la superficie K3 y consideramos el cono de Kähler , es decir, el cono de clases tal que para alguna métrica de Kähler . Este es un cono abierto que se encuentra en el cono de clases con y para cualquier curva . Gracias al teorema de Calabi-Yau, cada punto de este cono corresponde a una única métrica Ricci-plana. ¿Y qué sucederá con esta métrica si dirigimos la punta del cono a su límite? $yo$ $X$ ${\mathfrak {C}}_{X}\subconjunto H^{1,1}(X)$ ${\ estilo de visualización [\ omega]}$ $\omega (x,y)=\omega _{g}(x,y)=g(Ix,y)$ $gramo$ ${\ estilo de visualización \ alfa \ cuña \ alfa> 0}$ ${\ estilo de visualización \ int _ {C} \ alfa > 0}$ ${\ estilo de visualización C \ subconjunto X}$

La respuesta depende, por supuesto, del punto de la frontera al que la dirijamos. Por ejemplo, si es una superficie Kummer K3, y es una forma - que surge de la forma en la superficie abeliana con la que está asociada, entonces la clase es numéricamente eficiente (es decir, se encuentra en el cierre del cono Kähler), y (estas clases se denominan clases de volumen ). Al mismo tiempo, no es Kählerian, ya que tenemos , donde se encuentra alguna de las dieciséis curvas excepcionales. En este caso, el límite de la métrica está bien definido (en el sentido del límite de Gromov-Hausdorff , no depende del camino en el cono de Kähler, y converge a la terminación métrica de alguna métrica incompleta de Ricci-flat Kähler definida fuera de dieciséis curvas excepcionales Un resultado general de este tipo (para variedades arbitrarias Calabi-Yau) fue probado por Tosatti , Zhang et al., pero para superficies Kummer K3 fue obtenido por Lebrun [ 4] $X$ $\alfa$ $(1.1)$ $[\alfa]$ ${\ estilo de visualización \ int _ {X} \ alfa \ cuña \ alfa> 0}$ ${\ estilo de visualización \ alfa |_{C} = 0}$ $C$

Al mismo tiempo, si la clase no es voluminosa, entonces la degeneración ocurre de manera diferente y el llamado colapso: el espacio límite tiene una dimensión más baja en cierto sentido. Por ejemplo, si es una superficie K3 elíptica y es la imagen inversa de la clase de estudio de Fubini desde la base del lápiz elíptico, entonces . Gross y Wilson investigaron el comportamiento limitante de las métricas planas de Ricci en tal situación . $\alfa$ $X$ $\alfa$ ${\ estilo de visualización \ alfa \ cuña \ alfa = 0}$

Propiedades dinámicas de las superficies K3

Las superficies K3 a menudo admiten automorfismos cuya dinámica es caótica (por ejemplo, en el sentido de que su entropía topológica es positiva y hay una clase propia con un valor propio mayor que ). Por ejemplo, un automorfismo obtenido en una superficie de Kummer asociada a un toro tiene esta propiedad al levantar el automorfismo de Arnold “ okroshka de un gato ” definido por la matriz . La medida de máxima entropía en este caso es absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue; Kanta y DuPont demostraron que en el caso algebraico todas las superficies K3 con un automorfismo de esta propiedad son Kummer (más tarde, Tosatti y Philip extendieron esta afirmación a superficies K3 no algebraicas; usaron este resultado para construir clases en el límite de un Kähler cono, la convergencia de métricas planas de Ricci cuando se esfuerza por lo que tiene propiedades patológicas). ${\ estilo de visualización H ^ {1,1}}$ $una$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}/\{\mathbb {Z} \oplus {\sqrt {-1))\mathbb {Z} \}^{2))$ ${\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}}$

La dinámica holomorfa de la superficie de tres involución descrita anteriormente fue estudiada por Barry Mazur .

Utilizando el teorema de Torelli, McMullen construyó automorfismos de superficies K3 que admiten discos de Siegel —es decir, dominios abiertos conservados por el automorfismo y biholomórficos al producto de dos discos sobre los que actúa el automorfismo conjugado a una rotación , donde son números que no son raíces de unidad _ $(z,w)\mapsto (az,bw)$ ${\ estilo de visualización |a|=|b|=1}$

Historia

Los primeros ejemplos de superficies K3 fueron investigados por Euler en el proceso de resolución de algunas ecuaciones diofánticas (sus ideas fueron desarrolladas posteriormente por Ramanujan ). El enfoque geométrico de las superficies K3 se estableció mucho más tarde, en el trabajo de Cayley , Kummer y Henriquez .

El nombre "superficie K3" fue sugerido en 1958 por André Weil (después de Kummer, Köhler y Kodaira ). También trató de probar el teorema de Torelli para superficies algebraicas K3. Algo más tarde, Kodaira demostró que todas las superficies K3, incluidas las no algebraicas, son equivalentes a la deformación (en particular, difeomorfas). También clasificó las fibras singulares de superficies elípticas K3.

El teorema local de Torelli para superficies algebraicas K3 fue demostrado en 1965 por Tyurina y el global por Pyatetsky-Shapiro y Shafarevich en 1971. El teorema global de Torelli fue extendido a superficies K3 no algebraicas por Burns y Rapoport en 1975. En 1977 , Viktor Kulikov [5] clasificó las degeneraciones de las superficies K3 y describió las superficies K3 con grupos de automorfismos finitos Nikulin [6] .

Notas

↑ Cada superficie K3 compleja algebraica es una superficie K3 en el sentido de la definición geométrica diferencial; lo contrario no es cierto en general.
↑ SK Donaldson. Métricas de Calabi-Yau sobre superficies de Kummer como problema de pegado de modelos , 27 de julio de 2010
↑ Maxim Kontsevich, Yan Soibelman. Estructuras afines y espacios analíticos no arquimedianos , presentado el 28 de junio de 2004
↑ Valentino Tosati. Colapsando variedades de Calabi-Yau , 2020
↑ Vic. S. Kulikov, Degeneraciones de superficies K3 y superficies de Enriques , Izv. Academia de Ciencias de la URSS. Ser. Mat., 41:5 (1977), 1008–1042
↑ V. V. Nikulin, Grupos de automorfismos finitos de superficies de Kähler de tipo K3 , Tr. MMO, 38, Editorial de Moscú. un-ta, M., 1979, 75–137