Lema de Hansel

El lema de Hansel es un resultado de la aritmética modular , que establece que si una ecuación algebraica tiene una raíz simple módulo un número primo , entonces esta raíz corresponde únicamente a la raíz de la misma ecuación, tomada módulo , que se puede encontrar mediante elevación iterativa en potencias . El nombre de Kurt Hansel . De manera más general, el lema de Hensel también se usa como justificación para los análogos del método de Newton en anillos conmutativos completos (en particular, en números p-ádicos ). $pags$ $p^{k}$ $pags$

Redacción

Hay muchas formulaciones equivalentes del lema de Hansel.

Redacción general

Sea un campo completo con respecto a la valoración discreta , y sea el anillo de campos enteros (es decir, elementos con valoración no negativa). Sea un elemento tal que , denote el campo de residuo que le corresponde como . Sea un polinomio con coeficientes de . Si el polinomio reducido tiene raíz simple (es decir, existe tal que y ), entonces existe un único tal que y [1] . $k$ $v$ ${\mathcal {O}}_{K}$ $k$ ${\ estilo de visualización \ pi \ en K}$ $k$ ${\ estilo de visualización v (\ pi) = 1}$ $k={\mathcal {O}}_{K}/\pi$ $f(X)\in {\mathcal {O}}_{K}[X]$ ${\mathcal {O}}_{K}$ ${\overline {f))(X)\in k[X]$ $k_{0}\in k$ ${\sobrelínea {f}}(k_{0})=0$ ${\overline {f'}}(k_{0})\neq 0$ $a\in {\mathcal {O}}_{K}$ $f(a)=0$ ${\overline {a}}=k_{0}$

Redacción alternativa

En una forma menos general, el lema se formula de la siguiente manera: sea un polinomio con coeficientes enteros (o enteros p-ádicos). Sean también y números enteros tales que . Si es un número entero, tal que $f(x)$ $metro$ $k$ $0<m\leqk$ $r$

f(r)\equiv 0{\pmod {p^{k}}}\quad {\text{u}}\quad f'(r)\not \equiv 0{\pmod {p}},

entonces existe un entero tal que $s$

f(s)\equiv 0{\pmod {p^{k+m}}}\quad {\text{u}}\quad r\equiv s{\pmod {p^{k}}}.

Además, el número tiene un módulo definido de forma única y se puede expresar explícitamente como $s$ ${\ Displaystyle pag^{k+m}}$

s=rf(r)\cdot a,

donde es un entero tal que $a$

a\equiv [f'(r)]^{-1}{\pmod {p^{m))}.

Cabe señalar que, debido a , la condición también se cumple . ${\displaystyle f(r)\equiv 0{\pmod {p^{k))))$ ${\displaystyle s\equiv r{\pmod {p^{k))))$

Ejemplo

Considere la ecuación que define los números de longitud automórficos en notación decimal. Puede verse como un sistema equivalente de dos ecuaciones módulo potencias primas : ${\displaystyle x^{2}\equiv x{\pmod {10^{k))))$ $k$

{\begin{casos}x^{2}\equiv x{\pmod {2^{k}}},\\x^{2}\equiv x{\pmod {5^{k}}} \end{casos}}

Cuando las soluciones de la ecuación son números terminados en , o . Para obtener soluciones para grandes podemos usar el lema de Hansel, suponiendo que . $k=1$ ${\ estilo de visualización 0}$ $una$ $5$ $6$ $k$ $f(x)=x^{2}-x$

De acuerdo con las fórmulas anteriores, la transición de a para se verá así: $p^{k}$ ${\ Displaystyle pag^{k+m}}$ ${\ estilo de visualización m \ leq k}$

{\textstyle s=r-(r^{2}-r)\cdot (2r-1)^{-1}={\frac {r^{2}}{2r-1}}{\pmod {p ^{k+m}}}.}

Véase también

Teorema de Minkowski-Hasse

Notas

↑ Serge Lang, Teoría algebraica de números , Addison-Wesley Publishing Company, 1970, p. 43

Literatura

Eisenbud, David (1995), Álgebra conmutativa , vol. 150, Textos de posgrado en matemáticas, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94269-8
Milne, JG (1980), Étale cohomology , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08238-7