Lema de Euclides

Se supone que todos los números en este artículo son enteros a menos que se indique lo contrario.

El lema de Euclides es un resultado clásico de la teoría elemental de los números . Está formulado como la oración 30 en el libro VII de los Elementos de Euclides y es la clave para la demostración del teorema fundamental de la aritmética . Formulación moderna [1] :

Si el producto de varios factores es divisible por un número primo , entonces al menos uno de los factores es divisible por . $pags$ $pags$

Ejemplo. 19 es un número primo y divide Por lo tanto, uno de los factores es divisible por 19, a saber: $19019=133\cdot 143.$ $133=19\cdot 7.$

Si no es un número primo, entonces el teorema puede fallar. Ejemplo: divisible por 20, pero ninguno de los factores es divisible por 20. $pags$ $4\cdot 15=60$

Prueba

Sea divisible por , pero no divisible por . Entonces y son coprimos , por lo tanto, hay enteros y tales que $x\cdot y$ $pags$ $X$ $pags$ $X$ $pags$ $tu$ $v$

x\cdot u+p\cdot v=1

( relación de Bezout ).

Multiplicando ambos lados por , obtenemos $y$

(x\cdot y)\cdot u+p\cdot v\cdot y=y.

Ambos términos del lado izquierdo son divisibles por , lo que significa que el lado derecho también es divisible por , etc. [2] $pags$ $pags$

Generalizaciones

Si el producto es divisible por y coprimo , entonces [3] es divisible por $antes de Cristo$ $a$ $a,b$ $C$ $una.$

El lema de Euclides se cumple no solo en el anillo de los números enteros, sino también en otros anillos factoriales , donde el papel de los números primos lo juegan los elementos irreducibles . En particular, es válido en anillos euclidianos [4] , por ejemplo:

Anillo de enteros gaussianos ${\matemáticas{Z}}[i].$
Anillo de polinomios en una variable sobre un campo $k[x]$ $k$

Notas

↑ Vinogradov, 1952 , pág. veinte.
↑ Kaluznin L. A. El teorema fundamental de la aritmética . - M. : Nauka, 1969. - P. 13 (Teorema 4). — 32 s. - ( Clases populares de matemáticas ).
↑ Bukhshtab A. A. Teoría de números. - M. : Educación, 1966. - Pág. 46 (Teorema 41). — 384 pág.
↑ Leng S. Álgebra . - M. : Mir, 1968. - S. 89 -90. — 564 pág.

Literatura

Vinogradov I.M. Fundamentos de la teoría de números. - M. - L. : GITTL, 1952. - 180 p.
Zhikov V. V. Teorema fundamental de la aritmética // Soros Educational Journal . - 2000. - T. 6 , N º 3 . - S. 112-117 .

Enlaces

`* Weisstein, Eric W. Euclid's Lemma (inglés) en el sitio web Wolfram MathWorld .