Función homogénea

Una función de grado homogéneo es una función numérica tal que para cualquiera del dominio de la función y para cualquier , la igualdad es verdadera: $q$ $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ $\mathbf {v} \in \mathbb {R} ^{n}$ ${\ estilo de visualización f}$ ${\ estilo de visualización \ lambda \ en \ mathbb {R}}$

f(\lambda \mathbf {v} )=\lambda ^{q}f(\mathbf {v} ).\qquad \qquad (*)

El parámetro se denomina orden de homogeneidad . Se da a entender que si se incluye en el dominio de la función, todos los puntos de vista también se incluyen en el dominio de la función. $q$ $\mathbf {v} \in \mathbb {R} ^{n}$ ${\ estilo de visualización \ lambda \ mathbf {v}}$

también hay

funciones positivamente homogéneas para las que la igualdad se cumple sólo para $(*)$ $\lambda$ ${\ estilo de visualización (\ lambda> 0),}$
funciones absolutamente homogéneas para las que se cumple la igualdad
$f(\lambda \mathbf {v} )=|\lambda |^{q}f(\mathbf {v} ),$
funciones homogéneas acotadas , para las cuales la igualdad se cumple solo para algunos valores distinguidos $(*)$ ${\ estilo de visualización \ lambda,}$
funciones homogéneas complejas para las que la igualdad es cierta para y o (así como para exponentes complejos ). $f:\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C}$ $(*)$ $\mathbf {v} \in \mathbb {C} ^{n}$ ${\ estilo de visualización \ lambda \ en \ mathbb {R}}$ ${\ estilo de visualización \ lambda \ en \ mathbb {C}}$ $q\en \mathbb {C}$

Definición alternativa de una función homogénea

En algunas fuentes matemáticas, las funciones se denominan homogéneas, que son la solución de la ecuación funcional

F ( λ v ) = gramo ( λ ) F ( v ) {\displaystyle f(\lambda \mathbf {v} )=g(\lambda )f(\mathbf {v} )}

f(\lambda \mathbf {v} )=g(\lambda )f(\mathbf {v} )

con una función predeterminada y solo entonces se prueba que la unicidad de la solución requiere una condición adicional de que la función no es idénticamente igual a cero y que la función pertenece a una cierta clase de funciones (por ejemplo, era continua o era monótona) . Sin embargo, si una función es continua al menos en un punto con un valor distinto de cero de la función, entonces debe ser una función continua para todos los valores y, por lo tanto, para una amplia clase de funciones el caso es el único posible.

{\ estilo de visualización g (\ lambda)}

{\ estilo de visualización g (\ lambda) = \ lambda ^ {q}.}

{\displaystyle g(\lambda )=\lambda ^{q))

{\ estilo de visualización f (\ mathbf {v})}

{\ estilo de visualización g (\ lambda)}

{\ estilo de visualización f (\ mathbf {v})}

{\ estilo de visualización g (\ lambda)}

{\ estilo de visualización \ lambda,}

{\ estilo de visualización f (\ mathbf {v})}

{\displaystyle g(\lambda )\equiv \lambda ^{q))

Razón fundamental:

Una función idénticamente igual a cero satisface la ecuación funcional para cualquier elección de función, pero este caso degenerado no es de particular interés. $f(\lambda \mathbf {v} )=g(\lambda )f(\mathbf {v} )$ ${\ estilo de visualización g (\ lambda),}$

Si en algún momento el valor es entonces: ${\mathbf {v}}_{0}$ $f(\mathbf {v} _{0})\neq 0,$

$g(\lambda_{1}\lambda_{2})f(\mathbf {v}_{0})=f(\lambda_{1}\lambda_{2}\mathbf {v} _ {0}) = g (\ lambda _ {1}) f (\ lambda _ {2} \ mathbf {v} _ {0}) = g (\ lambda _ {1}) g (\ lambda _ {2} })f(\mathbf{v} _{0})$ , dónde: ∀ λ una , λ 2 : gramo ( λ una λ 2 ) = gramo ( λ una ) gramo ( λ 2 ) ; {\ Displaystyle \ para todos \ lambda _ {1}, \ lambda _ {2}: g (\ lambda _ {1} \ lambda _ {2}) = g (\ lambda _ {1}) g (\ lambda _ {2}) 2});} ${\ Displaystyle \ para todos \ lambda _ {1}, \ lambda _ {2}: g (\ lambda _ {1} \ lambda _ {2}) = g (\ lambda _ {1}) g (\ lambda _ {2}) 2});}$
${\ Displaystyle g (\ lambda _ {1} \ lambda _ {2}) = g (\ lambda _ {1}) g (\ lambda _ {2}) \ Leftrightarrow G (\ mu _ {1} + \ mu _ {2}) = G (\ mu _ {1}) + G (\ mu _ {2}),}$ dónde $\mu =\log \lambda ,G(\mu )=\log g(\exp(\mu )).$

La ecuación funcional de Cauchy tiene una solución en forma de función lineal: además, para una clase de funciones continuas o monótonas, esta solución es única. Por lo tanto, si se sabe que una función continua o monótona, entonces ${\ estilo de visualización G (\ mu _ {1} + \ mu _ {2}) = G (\ mu _ {1}) + G (\ mu _ {2})}$ $G(t)=q\cdot t,$ ${\ estilo de visualización g (\ lambda)}$ $g(\lambda )\equiv \lambda ^{q}.$

Prueba de la unicidad de la solución de la ecuación funcional de Cauchy 1. Con los racionales , es verdadero porque:

{\ estilo de visualización t = m / n}

G(t\mu )=t\cdot G(\mu ),

a) eso es

G(2\mu )=G(\mu +\mu )=G(\mu )+G(\mu )=2G(\mu ),

G(2\mu )=2G(\mu );

b) eso es

2G(\mu /2)=G(\mu /2)+G(\mu /2)=G(\mu /2+\mu /2)=G(\mu ),

G(\mu /2)=(1/2)G(\mu );

etc.; 2. Dado que los números irracionales, que pueden "apretar" arbitrariamente entre dos números racionales, para funciones continuas o monótonas, la relación también debe satisfacerse para números irracionales

G(t\mu )=t\cdot G(\mu )

{\ estilo de visualización t;}

3. El último paso: se debe establecer la proporción

G(t\mu )=t\cdot G(\mu )

{\ estilo de visualización \ mu = 1.}

Nota: para clases más amplias de funciones, la ecuación funcional en consideración también puede tener otras soluciones muy exóticas (consulte el artículo "Base de Hamel" ). Prueba de continuidad si es continua al menos en un punto

{\ estilo de visualización g (\ lambda),}

{\ estilo de visualización f (\ mathbf {v})}

Sea la función continua en un punto fijo y considere la identidad ${\ estilo de visualización f (\ mathbf {v})}$ ${\ estilo de visualización \ mathbf {v} _ {0},}$ $f(\mathbf {v} _{0})\neq 0.$

f((1+\varepsilon)\lambda_{0}\mathbf {v}_{0})=g((1+\varepsilon)\lambda_{0})f(\mathbf {v} _ {0}) = g (\ lambda _ {0}) f ((1 + \ varepsilon) \ mathbf {v} _ {0}).

Cuando el valor tiende a debido a la continuidad de la función en el punto Ya que entonces esto significa que tiende a , es decir que la función es continua en el punto Como cualquiera puede elegirla, entonces es continua en todos los puntos . ${\ estilo de visualización \ varepsilon \ a 0}$ $f((1+\varepsilon)\mathbf {v} _{0})$ ${\ estilo de visualización f (\ mathbf {v} _ {0})}$ ${\ estilo de visualización f (\ mathbf {v})}$ ${\ estilo de visualización \ mathbf {v} _ {0}.}$ $f(\mathbf {v} _{0})\neq 0,$ $g((1+\varepsilon)\lambda _{0})$ ${\ estilo de visualización g (\ lambda _ {0}),}$ ${\ estilo de visualización g (\ lambda)}$ ${\ estilo de visualización \ lambda _ {0}.}$ $\lambda _{0}$ ${\ estilo de visualización g (\ lambda)}$

Corolario: si una función homogénea es continua en un punto, entonces también será continua en todos los puntos de la forma (incluso cuando ). ${\ estilo de visualización f (\ mathbf {v})}$ ${\ estilo de visualización \ mathbf {v} _ {0},}$ ${\ estilo de visualización f (\ mathbf {v})}$ ${\ estilo de visualización \ lambda \ mathbf {v} _ {0}}$ ${\ estilo de visualización f (\ mathbf {v} _ {0}) = 0}$

Propiedades

Si son funciones homogéneas del mismo orden, entonces su

combinación lineal con coeficientes constantes será una función homogénea del mismo orden

{\ estilo de visualización f_ {1}, f_ {2}, \ puntos}

q,

q.

Si son funciones homogéneas con orden, entonces su producto será una función homogénea con orden

{\ estilo de visualización f_ {1}, f_ {2}, \ puntos}

q_{1},q_{2},\puntos,

q=q_{1}+q_{2}+\puntos .

Si es una función de orden homogéneo, entonces su enésima potencia (no necesariamente entero), si tiene sentido (es decir, si es un número entero, o si el valor es positivo), será una función de orden homogéneo en el dominio correspondiente. En particular, si es una función homogénea de orden , entonces será una función homogénea de orden y el dominio de definición en los puntos donde está definido y no es igual a cero.

F

q,

metro

metro

F

{\ estilo de visualización mq}

F

q

1/f

{\ estilo de visualización (-q)}

F

Si es una función de orden homogénea y son funciones de orden homogéneas, entonces la superposición de funciones será una función de orden homogénea

f\left(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\right)

pags,

h_{k}\left(y_{1},y_{2},\dots,y_{m}\right)

q,

F\left(y_{1},y_{2},\dots ,y_{m}\right)=f\left(h_{1},h_{2},\dots ,h_{n}\ Correcto)

pág.

Si es una función homogénea de variables de grado y el hiperplano pertenece a su dominio de definición, entonces la función de variables será una función homogénea de grado

f\left(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\right)

norte

pags,

x_{1}=x_{2}=\puntos =x_{j}=0

{\ estilo de visualización \ izquierda (nj \ derecha)}

g\left(x_{j+1},x_{j+2},\dots ,x_{n}\right)=f\left(0,\dots ,0,x_{j+1}, \puntos,x_{n}\derecha)

pags.

El logaritmo de una función homogénea de orden cero o el logaritmo del módulo de una función homogénea de orden cero es una función homogénea de orden cero. El logaritmo de una función homogénea o el logaritmo del módulo de una función homogénea es una función homogénea si y sólo si el orden de homogeneidad de la función misma es cero.

El módulo de una función homogénea o el módulo de una función absolutamente homogénea es una función absolutamente homogénea. El módulo de una función homogénea o el módulo de una función positivamente homogénea es una función positivamente homogénea. El módulo de una función homogénea de orden cero es una función homogénea de orden cero. Una función absolutamente homogénea de orden cero es una función homogénea de orden cero, y viceversa.

Una función arbitraria de una función homogénea de orden cero es una función homogénea de orden cero.

Si son funciones de orden positivamente homogéneas donde a es una función de orden positivamente homogénea, entonces la función será una función de orden positivamente homogénea en todos los puntos en los que el sistema de ecuaciones , ..., tenga solución. Si, además, es un número entero impar, entonces la homogeneidad positiva puede ser reemplazada por homogeneidad ordinaria. Corolario: si hay una función continua o monótona , y es una función homogénea o positivamente homogénea, donde es una función homogénea o positivamente homogénea de orden distinto de

cero , entonces es una función potencia en todos los puntos en los que la ecuación tiene solución. En particular, es la única función monótona o continua de una variable que es una función de orden homogénea . (La prueba duplica los argumentos de la sección "Definición alternativa de una función homogénea" de este artículo. Además, si eliminamos la restricción de que la función es continua o monótona, entonces puede haber otras soluciones muy exóticas para , consulte el artículo "Base de Hamel" .)

h_{k}\left(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\right)

pags,

p\neq 0,

f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)=g\left(h_{1},h_{2},\dots ,h_{m}\ Correcto)

q,

g\left(y_{1},y_{2},\dots,y_{m}\right)

{\ estilo de visualización q/p}

y

y_{1}=h_{1}\left(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\right)

y_{m}=h_{m}\left(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\right)

{\ estilo de visualización p}

{\ estilo de visualización g (y)}

g\left(f\left(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\right)\right)

f\left(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\right)

{\displaystyle g(y)=cy^{m))

y

y=f\left(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\right)

{\ Displaystyle f (x) = cx ^ {q}}

q

{\ estilo de visualización g (y)}

{\ estilo de visualización g (y)}

Si una función es un

polinomio en variables, entonces será una función homogénea de grado si y sólo si es un polinomio homogéneo de grado En particular, en este caso el orden de homogeneidad debe ser un número natural o cero. (Para la prueba, uno debe agrupar los monomios del polinomio con los mismos órdenes de homogeneidad , sustituir el resultado en la igualdad y usar el hecho de que las funciones de potencia con diferentes exponentes, incluidos los no enteros, son linealmente independientes). puede generalizarse al caso de combinaciones lineales de monomios de la forma con índices no enteros.

F

norte

q

F

q.

q

cx_{1}^{{i_{1}}}x_{2}^{{i_{2}}}\cdots x_{n}^{{i_{n}}}

{\displaystyle k_{j}=i_{1}+i_{2}+\puntos +i_{n))

(*)

\lambda ^{k_{1)),\lambda ^{k_{2)),\puntos

cx_{1}^{{i_{1}}}x_{2}^{{i_{2}}}\cdots x_{n}^{{i_{n}}}

Si el producto finito de polinomios es una función homogénea, entonces cada factor es un polinomio homogéneo . (En aras de la prueba, elegimos monomios en cada factor con los órdenes mínimo y máximo de homogeneidad . Dado que después de la multiplicación el polinomio resultante debe consistir en

monomios con el mismo orden de homogeneidad, entonces para cada factor los órdenes mínimo y máximo de homogeneidad debe ser el mismo número). La afirmación se puede generalizar al caso de combinaciones lineales de monomios de la forma con índices no enteros.

cx_{1}^{{i_{1}}}x_{2}^{{i_{2}}}\cdots x_{n}^{{i_{n}}}

{\displaystyle k=i_{1}+i_{2}+\puntos +i_{n))

cx_{1}^{{i_{1}}}x_{2}^{{i_{2}}}\cdots x_{n}^{{i_{n}}}

Si el numerador y el denominador de una función racional fraccionaria son

polinomios homogéneos , la función será homogénea con un orden de homogeneidad igual a la diferencia entre los órdenes de homogeneidad del numerador y del denominador. Si una función racional fraccionaria es homogénea, su numerador y denominador, hasta un factor común, son polinomios homogéneos . La afirmación puede generalizarse al caso de una relación fraccionario-racional de combinaciones lineales de monomios de la forma con índices no enteros.

f={\frac {P_{n}(x_{1},\dots,x_{n})}{Q_{m}(x_{1},\dots,x_{m)))))

cx_{1}^{{i_{1}}}x_{2}^{{i_{2}}}\cdots x_{n}^{{i_{n}}}

Una función homogénea de grado distinto de cero en cero es igual a cero si está definida allí: (Se obtiene sustituyendo el valor en la igualdad o, en el caso de un grado de homogeneidad negativo, el valor ) Una función homogénea de grado cero, si se define en cero, puede tomar cualquier valor en este punto.

{\ estilo de visualización f (\ mathbf {0}) = 0.}

(*)

{\ estilo de visualización \ lambda = 0}

{\ estilo de visualización \ mathbf {v} = 0.}

Si una función homogénea de grado cero es continua en cero, entonces es una constante (arbitraria). Si una función homogénea de grado negativo es continua en cero, entonces es idénticamente cero. (Una transformación puede acercar cualquier punto a cero tanto como quieras. Por lo tanto, si la función en cero es continua, entonces puedes expresar el valor de la función en el punto a través de su valor en el punto usando la relación )

\mathbf {v'} =\lambda \mathbf {v}

\mathbf{v}

\mathbf{v}

\mathbf {0}

\lim _{\lambda \to 0}\lambda ^{q}f(\mathbf {v} )=f(\mathbf {0} ).

Una función homogénea de grado positivo en cero tiende a cero en cualquier dirección que entre en su dominio de definición, y una función homogénea de grado negativo tiende a infinito, cuyo signo depende de la dirección, a menos que la función sea idénticamente cero a lo largo de la dirección dada. dirección. Una función homogénea de grado positivo es continua en cero o puede extenderse a continua en cero si su dominio de definición incluye una vecindad de cero. Una función homogénea de grado cero puede ser discontinua o continua en cero, y si discontinua es una constante dependiente de la dirección a lo largo de cada rayo con un vértice en el origen, si la dirección está dentro de su dominio de definición. (Se obtiene sustituyendo el valor en la igualdad )

\varepsilon

(*)

{\ estilo de visualización \ lambda \ a 0.}

Si una función homogénea en cero es

analítica (es decir, se expande en una serie de Taylor convergente con un radio de convergencia distinto de cero), entonces es un polinomio ( polinomio homogéneo ). En particular, en este caso el orden de homogeneidad debe ser un número natural o cero. (Para demostrarlo, basta con representar la función como una serie de Taylor , agrupar los términos de la serie de Taylor con los mismos órdenes de homogeneidad , sustituir el resultado en la igualdad , y usar esas funciones de potencia con diferentes exponentes, incluidos los no enteros son linealmente independientes.)

F

cx_{1}^{{i_{1}}}x_{2}^{{i_{2}}}\cdots x_{n}^{{i_{n}}}

{\displaystyle k_{j}=i_{1}+i_{2}+\puntos +i_{n))

(*)

\lambda ^{k_{1)),\lambda ^{k_{2)),\puntos

La función , donde es una función de variables, es una función homogénea con el orden de homogeneidad La función donde es una función de variables, es una función absolutamente homogénea con el orden de homogeneidad

f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=x_{1}^{q}\cdot h(x_{2}/x_{1},x_{3 }/x_{1},...,x_{n}/x_{1})

h(t_{2},t_{3},...,t_{n})

{\ estilo de visualización (n-1)}

{\ estilo de visualización q.}

f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=|x|^{q}\cdot h(x_{2}/x_{1},x_{3} /x_{1},...,x_{n}/x_{1}),

h(t_{2},t_{3},...,t_{n})

{\ estilo de visualización (n-1)}

{\ estilo de visualización q.}

Relación de Euler : para funciones homogéneas diferenciables, el producto escalar de su gradiente y el vector de sus variables es proporcional a la función misma con un coeficiente igual al orden de homogeneidad: o, en notación equivalente, Obtenido al diferenciar la igualdad con respecto a

\mathbf {v} \cdot \nabla f(\mathbf {v} )=qf(\mathbf {v} )

\sum x_{k}f'_{x_{k))=qf.

(*)

\lambda

{\ estilo de visualización \ lambda = 1.}

Si es una función homogénea derivable con el orden de homogeneidad , entonces sus primeras derivadas parciales con respecto a cada una de las variables independientes son funciones homogéneas con el orden de homogeneidad . Para probarlo, basta con diferenciar en los lados derecho e izquierdo de la identidad y obtener la identidad

f(x_{1},x_{2},...,x_{n})

q

f'_{x_{k}}(x_{1},x_{2},...,x_{n})

q-1

x_k

f(\lambda x_{1},\lambda x_{2},\ldots,\lambda x_{n})=\lambda ^{q}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})

f'_{x_{k))(\lambda x_{1},\lambda x_{2},\ldots,\lambda x_{n})=\lambda ^{q-1}f'_{ x_{k}}(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}).

Si es una función homogénea con el orden de homogeneidad , entonces su integral (con la condición de que tal integral exista) sobre cualquier variable independiente a partir de cero son funciones homogéneas con el orden de homogeneidad . Demostración: (aquí el reemplazo de la variable de integración se hace ).

f(x_{1},x_{2},...,x_{n})

q

F(x_{1},x_{2},...,x_{n})=\int _{0}^{x_{1}}f(t,x_{2},... ,x_{n})dt

{\ estilo de visualización q+1.}

F(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})=

\int _{0}^{\lambda x_{1}}f(t,\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})dt=

\lambda \int _{0}^{x_{1}}f(\lambda t',\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})dt'=

\lambda ^{q+1}\int_{0}^{x_{1}}f(t',x_{2},...,x_{n})dt'=

{\displaystyle\lambda^{q+1}F(x_{1},x_{2},...,x_{n})}

t=\lambda t'

Si es una función homogénea con el orden de homogeneidad , entonces su

derivada fraccionaria ( diferente integral ) de orden , calculada como para cualquier variable independiente a partir de cero (siempre que exista la integral correspondiente, para lo cual se requiere elegir ) son funciones homogéneas con el orden de homogeneidad Considere la función . Entonces (aquí se hace el cambio de la variable de integración ). Después de la diferenciación con respecto a la variable, la función de orden homogéneo se convierte en una función homogénea con el orden de homogeneidad .

f(x_{1},x_{2},...,x_{n})

q

\alfa

G(x_{1},x_{2},...,x_{n})={\frac {1}{\Gamma (n-\alpha))){\frac {d^{n }}{dx_{1}^{n}}}\int _{0}^{x_{1}}(x_{1}-t)^{n-\alpha -1}f(t,x_{2 },...,x_{n})\,dt

{\ estilo de visualización n> \ alfa}

{\ estilo de visualización q-\ alfa.}

H(x_{1},x_{2},...,x_{n})=\int _{0}^{x_{1}}(x_{1}-t)^{n- \alpha -1}f(t,x_{2},...,x_{n})\,dt

H(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})=

\int _{0}^{\lambda x_{1}}(\lambda x_{1}-t)^{n-\alpha -1}f(t,\lambda x_{2},.. .,\lambda x_{n})\,dt=

\lambda \int _{0}^{x_{1}}(\lambda x_{1}-\lambda t')^{n-\alpha -1}f(\lambda t',\lambda x_ {2},...,\lambda x_{n})\,dt'=

\lambda ^{q+n-\alpha }\int _{0}^{x_{1}}(x_{1}-t')^{n-\alpha -1}f(t', x_{2},...,x_{n})dt'=

\lambda ^{q+n-\alpha }H(x_{1},x_{2},...,x_{n})

t=\lambda t'

norte

x_{1}

H(x_{1},x_{2},...,x_{n})

{\ estilo de visualización q + n- \ alfa}

{\ Displaystyle q-\ alfa}

Si es una función homogénea con el orden de homogeneidad , entonces su convolución -dimensional con un núcleo abeliano generalizado, calculado como (bajo la condición de que exista la integral correspondiente) es una función homogénea con el orden de homogeneidad . Prueba: , donde se realiza el cambio de variables de integración . (Nota: solo se puede reducir una parte de las variables).

f(x_{1},x_{2},...,x_{n})

q

norte

H(x_{1},x_{2},...,x_{n})=\int _{0}^{x_{1}}\dots \int_{0}^{x_{ n}}(x_{1}^{k_{1}}-t_{1}^{k_{1}})^{\izquierda(\mu _{1}-1\derecha)/k_{1}} \puntos (x_{n}^{k_{n}}-t_{n}^{k_{n}})^{\left(\mu _{n}-1\right)/k_{n}}f (t_{1},...,t_{n})\,dt_{1}\puntos dt_{n}

{\displaystyle q+\mu _{1}+\puntos +\mu _{n))

H(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})=

\int_{0}^{\lambda x_{1}}\dots \int_{0}^{\lambda x_{n}}(\lambda ^{k_{1}}x_{1}^ {k_{1}}-t_{1}^{k_{1}})^{\left(\mu _{1}-1\right)/k_{1}}\dots (\lambda ^{k_{ n}}x_{n}^{k_{n}}-t_{n}^{k_{n}})^{\left(\mu _{n}-1\right)/k_{n}}f (t_{1},...,t_{n})\,dt_{1}\puntos dt_{n}=

\lambda ^{n}\int _{0}^{x_{1}}\dots \int _{0}^{x_{n}}(\lambda ^{k_{1}}x_{1 }^{k_{1}}-\lambda ^{k_{1}}t_{1}'^{k_{1}})^{\left(\mu _{1}-1\right)/k_{ 1}}\puntos (\lambda ^{k_{n}}x_{n}^{k_{n}}-\lambda ^{k_{n}}t_{n}'^{k_{n}})^ {\left(\mu _{n}-1\right)/k_{n}}f(\lambda t_{1}',...,\lambda t_{n}')\,dt_{1}' \puntos dt_{n}'=

\lambda ^{q+\mu _{1}+\dots +\mu _{n}}\int _{0}^{x_{1}}\dots \int _{0}^{x_{ n}}(x_{1}^{k_{1}}-t_{1}'^{k_{1}})^{\izquierda(\mu _{1}-1\derecha)/k_{1} }\puntos (x_{n}^{k_{n}}-t_{n}'^{k_{n)))^{\left(\mu _{n}-1\right)/k_{n} }f(t_{1}',...,t_{n}')\,dt_{1}'\puntos dt_{n}'=

\lambda ^{q+\mu _{1}+\dots +\mu _{n}}H(x_{1},x_{2},...,x_{n})

t_{k}=\lambda t_{k}'

teorema _ Cualquier función homogénea con un orden de homogeneidad se puede representar en la forma $q$

f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=x_{1}^{q}\cdot h(x_{2}/x_{1},x_{3 }/x_{1},...,x_{n}/x_{1}),

donde es alguna función de variables. Cualquier función absolutamente homogénea con el orden de homogeneidad se puede representar como $h(t_{2},t_{3},...,t_{n})$ ${\ estilo de visualización (n-1)}$ $q$

f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=|x|^{q}\cdot h(x_{2}/x_{1},x_{3} /x_{1},...,x_{n}/x_{1}),

donde es alguna función de variables. $h(t_{2},t_{3},...,t_{n})$ ${\ estilo de visualización (n-1)}$

Prueba.

Considere una función homogénea de grado cero. Entonces, al elegir, obtenemos una versión particular de la relación requerida: $g(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ ${\ estilo de visualización \ lambda = 1/x_{1}}$

g(x_{1},x_{2},...,x_{n})=g(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n })=g(1,x_{2}/x_{1},...,x_{n}/x_{1})=h(x_{2}/x_{1},...,x_{ n}/x_{1}).

Para una función homogénea de grado , la función resultará ser una función homogénea de grado cero. Por lo tanto _ $f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ ${\ estilo de visualización q \ neq 0,}$ $g(x_{1},x_{2},...,x_{n})=f(x_{1},x_{2},...,x_{n})/x_{1 }^{q}$ $g(x_{1},...,x_{n})=h(x_{2}/x_{1},...,x_{n}/x_{1})$ $f(x_{1},...,x_{n})=x_{1}^{q}\cdot h(x_{2}/x_{1},...,x_{n} /x_{1}).$

Consecuencia. Cualquier función de grado homogéneo (función de grado absolutamente homogéneo ) se puede representar en la forma $q$ $q$

f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=\phi (x_{1},x_{2},...,x_{n})\cdot h (\phi _{1}(x_{1},x_{2},...,x_{n}),\phi _{2}(x_{1},x_{2},...,x_ {n}),...,\phi _{n-1}(x_{1},x_{2},...,x_{n})),

donde es alguna función apropiada de variables, es una función homogénea fija de grado (una función fija absolutamente homogénea de grado ), y , ..., son funciones fijas homogéneas funcionalmente independientes de grado cero. Para una elección fija de funciones, esta representación define una correspondencia uno a uno entre funciones de grado homogéneo de variables y funciones de variables. $h(t_{1},t_{2},...,t_{n-1})$ ${\ estilo de visualización (n-1)}$ ${\ estilo de visualización \ phi (x_{1},x_{2},...,x_{n})}$ $q$ $q$ ${\ estilo de visualización \ phi _ {1} (x_ {1}, x_ {2},..., x_ {n}),}$ ${\ estilo de visualización \ phi _ {2} (x_ {1}, x_ {2},..., x_ {n}))}$ ${\ estilo de visualización \ phi _ {n-1} (x_ {1}, x_ {2},..., x_ {n}))}$ ${\ estilo de visualización \ phi , \ phi _ {1}, \ phi _ {2},..., \ phi _ {n-1}}$ $f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ $q$ $norte$ $h(t_{1},t_{2},...,t_{n-1})$ $(n-1)$

Teorema de Euler para funciones homogéneas . Para que una función diferenciable sea una función homogénea con el orden de homogeneidad , es necesario y suficiente que se cumpla la relación de Euler $f(x_1,x_2,...,x_n)$ ${\ estilo de visualización q,}$

\sum x_k f'_{x_k}(x_1,x_2,...,x_n) = qf(x_1,x_2,...,x_n).

Prueba.

La necesidad se obtiene de la diferenciación de la igualdad para Para probar la suficiencia, tomamos la función para “congelada” Diferenciémosla con respecto a $(*)$ ${\ estilo de visualización \ lambda = 1.}$ $\varphi (\lambda)=\lambda ^{-q}f(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})$ ${\ estilo de visualización x_{1},x_{2},...,x_{n}.}$ ${\ estilo de visualización \ lambda:}$

\varphi '(\lambda )=-q\lambda ^{-q-1}f(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})+ \lambda ^{-q}\sum f'_{x_{k}}(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})x_{k}.

En virtud de la condición, obtenemos y la Constante se determina a partir de la condición Como resultado $\sum (\lambda x_{k})\cdot f'_{x_{k))(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n}) =qf(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})$ ${\ estilo de visualización \ varphi '(\ lambda) = 0}$ $\varphi (\lambda)=c=const.$ $C$ $\varphi (1)=f(x_{1},x_{2},...,x_{n}).$ $\lambda ^{q}\varphi (\lambda )=f(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})=\lambda ^{q} f(x_{1},x_{2},...,x_{n}).$

Consecuencia. Si la función es diferenciable y en cada punto del espacio la relación de homogeneidad es válida en un cierto rango de valores , entonces es válida para todos $(*)$ $\lambda \in \left[\lambda _{0}-\varepsilon,\lambda _{0}+\varepsilon \right]\subset \left[0,\infty \right),$ $\lambda>0.$

Prueba.

Diferenciar la relación con respecto al punto $(*)$ $\lambda$ ${\ estilo de visualización \ lambda = \ lambda _ {0}:}$

\sum x_{k}f'_{x_{k))(\lambda_{0}x_{1},\lambda_{0}x_{2},...,\lambda_{0 }x_{n})=q\lambda _{0}^{q-1}f(x_{1},x_{2},...,x_{n})={\frac {q}{\ lambda _{0}}}f(\lambda _{0}x_{1},\lambda _{0}x_{2},...,\lambda _{0}x_{n}).

Esto significa que la relación de Euler se cumple en el punto y, debido a la arbitrariedad del punto , el punto también es arbitrario. Repitiendo la prueba anterior del teorema de Euler sobre una función homogénea, obtenemos que la relación de homogeneidad se cumple en un punto, y para un punto arbitrario , uno puede elegir un punto tal que el punto coincida con cualquier punto preasignado en el espacio. Por lo tanto, en cada punto del espacio, la relación se cumple para cualquier ${\displaystyle y_{k}=\lambda _{0}x_{k))$ ${\ estilo de visualización (x_{1},x_{2},...,x_{n})}$ ${\ estilo de visualización (y_{1},y_{2},...,y_{n})}$ ${\ estilo de visualización (y_{1},y_{2},...,y_{n})}$ ${\ estilo de visualización \ lambda > 0.}$ ${\ estilo de visualización (x_{1},x_{2},...,x_{n})}$ ${\ estilo de visualización (y_{1},y_{2},...,y_{n})}$ $(*)$ ${\ estilo de visualización \ lambda > 0.}$

Funciones homogéneas lambda

Dado un vector, una función de variables se llama -homogénea con el orden de homogeneidad si para cualquier y cualquier la identidad $\mathbf {\lambda } =(\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{n}).$ $norte$ $f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ $\lambda$ $q$ $t>0$ ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},...,x_{n})\in {\mathbb {R} }^{n))$

f(t^{\lambda _{1}}x_{1},t^{\lambda _{2}}x_{2},...,t^{\lambda _{n}}x_ {n})=t^{q}f(x_{1},x_{2},...,x_{n}).

Porque las funciones homogéneas se convierten en funciones homogéneas ordinarias. A veces, en lugar del orden de homogeneidad , se introduce el grado de homogeneidad , que se determina a partir de la relación ${\ estilo de visualización \ lambda _ {k} = 1}$ $\lambda$ $q$ $metro$

f(t^{\lambda _{1}}x_{1},t^{\lambda _{2}}x_{2},...,t^{\lambda _{n}}x_ {n})=t^{m{\frac {|\mathbf {\lambda} |}{n))}f(x_{1},x_{2},...,x_{n}),

donde Para funciones homogéneas ordinarias, el orden de homogeneidad y el grado de homogeneidad son iguales. $|\mathbf {\lambda } |=\suma |\lambda _{k}|.$ $q$ $metro$

Si las derivadas parciales son continuas en , entonces para funciones -homogéneas la relación que generaliza la

relación de Euler y se obtiene diferenciando la identidad para -homogeneidad en el punto es verdadera :

f'_{x_{k}}(x_{1},x_{2},...,x_{n})

\mathbb{R} ^{n}

\lambda

\lambda

t=1

\sum \lambda _{x}x_{k}f'_{x_{k}}(x_{1},x_{2},...,x_{n})=qf(x_{1 },x_{2},...,x_{n}).

Como en el caso de las funciones homogéneas ordinarias, esta relación es necesaria y suficiente para que la función sea una función -función homogénea con vector y orden de homogeneidad $f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ $\lambda$ ${\ estilo de visualización (\ lambda _ {1}, \ lambda _ {2},..., \ lambda _ {n})}$ $q.$ $\varphi (t)=t^{-q}f(t^{\lambda_{1}}x_{1},t^{\lambda_{2}}x_{2},... ,t^{\lambda _{n}}x_{n})$ ${\ estilo de visualización \ varphi (t) \ equivalente \ varphi (1).}$

Si es -función homogénea con vector y orden de homogeneidad , entonces también es -función homogénea con vector y orden de homogeneidad (sigue de la sustitución en identidad por -homogeneidad del nuevo parámetro ). Por esto, al considerar funciones -homogéneas, basta con limitarnos al caso En particular, la normalización puede elegirse de tal manera que el orden de homogeneidad sea igual a un valor prefijado. Además, sin pérdida de generalidad, podemos suponer que $f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ $\lambda$ $\mathbf {\lambda } =(\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{n})$ $q$ $\lambda$ $\mathbf {\lambda } =(\alpha \lambda _{1},\alpha \lambda _{2},...,\alpha \lambda _{n})$ ${\ estilo de visualización \ alfa q}$ $\lambda$ ${\displaystyle t'\to t^{\alpha ))$ $\lambda$ $\sum |\lambda _{k}|=const.$ ${\ estilo de visualización \ suma | \ lambda _ {k} |}$ $q$ ${\ estilo de visualización \ lambda _ {k} \ neq 0.}$

Al cambiar de variable, una función homogénea con un vector y un orden de homogeneidad se transforma en una función homogénea ordinaria con un orden de homogeneidad . De ello se deduce que la representación general para funciones -homogéneas con vector y orden de homogeneidad es: $x_{k}=y_{k}^{\lambda_{k))$ $\lambda$ $f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ $\mathbf {\lambda } =(\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{n})$ $q$ $g(y_{1},y_{2},...,y_{n})$ $q$ $\lambda$ $\mathbf {\lambda } =(\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{n})$ $q$

f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=x_{1}^{q/\lambda _{1}}\cdot h(x_{2}^{ 1/\lambda_{2}}/x_{1}^{1/\lambda_{1}},x_{3}^{1/\lambda_{3}}/x_{1}^{1/ \lambda _{1}},\ldots,x_{n}^{1/\lambda _{n}}/x_{1}^{1/\lambda _{1}}),

donde es alguna función de variables. $h(t_{2},t_{3},...,t_{n})$ ${\ estilo de visualización (n-1)}$

Fuente: Ya. S. Bugrov, S. M. Nikolsky, Matemáticas superiores: un libro de texto para universidades (en 3 volúmenes), V.2: Cálculo diferencial e integral ( http://www.sernam.ru/lect_math2.php Copia de archivo con fecha de octubre 1, 2012 en Wayback Machine ), sección 8.8.4.

Operador de Euler

Operador diferencial

{\displaystyle x_{1}{\frac {\parcial f}{\parcial x_{1))}+x_{2}{\frac {\parcial f}{\parcial x_{2))}+\ldots + x_{n}{\frac {\parcial f}{\parcial x_{n))))

a veces llamado operador de Euler, por analogía con la identidad de Euler para funciones homogéneas. Del teorema de Euler para funciones homogéneas, dado anteriormente, se sigue que las funciones propias de este operador son funciones homogéneas y solo ellas, y el valor propio para tal función es su orden de homogeneidad.

En consecuencia, las funciones que convierten al operador de Euler en una constante son los logaritmos de funciones homogéneas y sólo ellos. Las funciones que anulan el operador de Euler son las funciones homogéneas de orden cero y sólo ellas ( el logaritmo de la función homogénea de orden cero es en sí mismo una función homogénea de orden cero).

De manera similar, para el operador diferencial

{\displaystyle \lambda_{1}x_{1}{\frac {\parcial f}{\parcial x_{1))}+\lambda_{2}x_{2}{\frac {\parcial f}{ \parcial x_{2))}+\ldots +\lambda _{n}x_{n}{\frac {\parcial f}{\parcial x_{n))))

las funciones propias son funciones -homogéneas con un vector y sólo ellos, y el valor propio es el orden de homogeneidad de la función -homogénea. Este operador diferencial se convierte en una constante por los

logaritmos de -funciones homogéneas con el vector y ninguna otra función.

\lambda

{\ estilo de visualización (\ lambda _ {1}, \ lambda _ {2}, \ ldots, \ lambda _ {n})}

\lambda

\lambda

{\ estilo de visualización (\ lambda _ {1}, \ lambda _ {2}, \ ldots, \ lambda _ {n})}

Otra generalización del operador de Euler es el operador diferencial

\lambda_{1}x_{1}^{\mu_{1}}{\frac {\parcial f}{\parcial x_{1}}}+\lambda_{2}x_{2} ^{\mu _{2}}{\frac {\parcial f}{\parcial x_{2}}}+\ldots +\lambda _{n}x_{n}^{\mu _{n}}{ \frac {\f parcial}{\x_ parcial{n}}},

que se reduce al operador de Euler por el cambio de at También todos los operadores diferenciales de la forma se reducen al operador de Euler por el cambio ${\displaystyle y_{1}{\frac {\parcial f}{\parcial y_{1))}+y_{2}{\frac {\parcial f}{\parcial y_{2))}+\ldots + y_{n}{\frac {\parcial f}{\parcial y_{n))))$ $y_{k}=\exp \left({\frac {x^{1-\mu _{k))}{\lambda _{k}\left(1-\mu _{k}\right )}}\Correcto)$ ${\ estilo de visualización \ mu _ {k} \ neq 1;}$ $y_{k}=x^{1/\lambda _{k))$ ${\ estilo de visualización \ mu _ {k} = 1.}$ $y_{k}=\exp \left(\int _{a_{k))^{x}{\frac {dt}{h_{k}(t)))\right)$ $h_{1}(x_{1}){\frac {\parcial f}{\parcial x_{1))}+h_{2}(x_{2}){\frac {\parcial f}{ \parcial x_{2))}+\ldots +h_{n}(x_{n}){\frac {\parcial f}{\parcial x_{n))}.$

Fuente: Chi Woo, Igor Khavkine, teorema de Euler sobre funciones homogéneas Archivado el 2 de agosto de 2012 en Wayback Machine ( PlanetMath.org )

Funciones homogéneas acotadas

Se dice que una función es homogénea acotada con un exponente de homogeneidad con respecto al conjunto de números reales positivos (llamado conjunto de homogeneidad) si la identidad se cumple para todos y para todos $f(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}):\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ $q$ $\lambda$ ${\vec {x}}\en \mathbb {R} ^{n}$ ${\ estilo de visualización \ lambda \ en \ Lambda}$

f(\lambda {\vec {x)))=\lambda ^{q}f({\vec {x))).

El conjunto de homogeneidad siempre contiene la unidad. El conjunto de homogeneidad no puede incluir un segmento continuo arbitrariamente pequeño ; de lo contrario, una función homogénea acotada resulta ser una función homogénea ordinaria (consulte la sección "Algunas ecuaciones funcionales relacionadas con funciones homogéneas" a continuación). Por lo tanto, son de interés aquellas funciones homogéneas acotadas para las cuales y para las cuales el conjunto de homogeneidad es puramente discreto. $\lambda$ $\lambda$ $\lambda \in \left[\lambda _{0}-\varepsilon,\lambda _{0}+\varepsilon \right]$ ${\ estilo de visualización \ Lambda \ neq \ {1 \}}$ $\lambda$

Ejemplo 1. La función es homogénea acotada con un exponente de homogeneidad con respecto al conjunto donde son números enteros. $f(x)=x^{q}\sin(\log |x|)$ $q$ $\Lambda =\{e^{2\pi m}\},$ $metro$

Ejemplo 2. La función es homogénea acotada con un exponente de homogeneidad con respecto al conjunto donde son números enteros. $f(x,y,z)=(x^{2}+2y^{2}+3z^{2})^{q/2}\cos(\log {\sqrt {x^{2 }-xy+y^{2}}})$ $q$ $\Lambda =\{e^{2\pi k}\},$ $k$

Teorema. Para que una función definida en sea acotadamente homogénea con el orden de homogeneidad , es necesario y suficiente que tenga la forma $f(x_{1},x_{2},...,x_{n}),$ ${\ estilo de visualización x_ {1}> 0,}$ $q,$

f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=x_{1}^{q}\cdot H(\log x_{1},x_{2}/x_ {1},x_{3}/x_{1},\ldots,x_{n}/x_{1}),

donde es una función que es

periódica en una variable con al menos un periodo independiente de En este caso, el conjunto de homogeneidad está formado por números donde son los periodos de la función independientes de

H(y,t_{2},t_{3},\ldots,t_{n})

y

t_{2},t_{3},\ldots,t_{n}.

\lambda

\{e^{Y_{k))\},

Y_{k}

H(y,t_{2},t_{3},\ldots,t_{n}),

t_{2},t_{3},\ldots,t_{n}.

Prueba. La suficiencia se verifica directamente, la necesidad debe probarse. Hagamos un cambio de variable

x_{1},x_{2},...,x_{n}\to x_{1},t_{2},...,t_{n},

dónde

t_{k}=x_{k}/x_{1},

entonces si ahora consideramos la función entonces de la condición de homogeneidad obtenemos para todo admisible la igualdad $f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=g(x_{1},t_{2},...,t_{n}).$ $h(x_{1},t_{2},...,t_{n})=g(x_{1},t_{2},...,t_{n})/x_{1 }^{q},$ $x_{1}$

h(\lambda x_{1},t_{2},...,t_{n})=h(x_{1},t_{2},t_{3},...,t_{ norte}),

que será válido cuando Si solo el conjunto no consta de solo uno, luego de la sustitución , la función ${\ estilo de visualización \ lambda \ en \ Lambda.}$ $\lambda$ $x_{1}=\exp(y)$

H(y,t_{2},...,t_{n})=H(\log x_{1},t_{2},...,t_{n})=h(x_{ 1},t_{2},...,t_{n})

resulta periódica en una variable con periodo distinto de cero para cualquiera elegido de forma fija, ya que la igualdad anterior implica la relación $y$ ${\ estilo de visualización \ registro \ lambda}$ ${\ estilo de visualización \ lambda \ en \ Lambda,}$

H(\log x_{1}+\log \lambda ,t_{2},...,t_{n})=H(\log x_{1},t_{2},..., Tennesse}).

Obviamente, el valor fijo elegido será el período de la función a la vez para todos ${\ estilo de visualización \ registro \ lambda}$ $H(y,t_{2},...,t_{n})$ $t_{2},...,t_{n}.$

Consecuencias:

Si existe el período positivo más pequeño independiente de entonces el conjunto de homogeneidad tiene la forma donde son números enteros arbitrarios. (Si es el período positivo más pequeño de la función, entonces todos son sus períodos, por lo que los números se incluirán en el conjunto de homogeneidad. Si existe tal valor de homogeneidad, algo resultará ser un período positivo, independientemente del cual ser menor que ) ${\ estilo de visualización Y> 0,}$ $t_{2},t_{3},\ldots,t_{n},$ $\lambda$ $\{e^{mY}\},$ $m=0,\pm 1,\pm 2,\puntos$ $Y$ $H(y,...),$ $Y_{m}=mY$ $\{e^{mY}}\}$ $\lambda _{*}=e^{Y_{*)),$ $e^{mY}<e^{Y_{*}}<e^{(m+1)Y},$ $Y_{*}-mY$ $t_{2},...,t_{n},$ ${\ estilo de visualización Y.}$
Si una función es una constante con respecto a una variable, entonces no tiene el período positivo más pequeño (cualquier número positivo es su período). En este caso, no depende de la variable y la función es una función ordinaria positivamente homogénea (al menos). El conjunto de homogeneidad en este caso es todo el semieje positivo (al menos). $H(y,\ldots)$ ${\ estilo de visualización y,}$ $H(y,\ldots)$ ${\ estilo de visualización y,}$
$f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=x_{1}^{q}\cdot H(x_{2}/x_{1},x_{3 }/x_{1},\ldots,x_{n}/x_{1})$
$\lambda$ ${\ estilo de visualización \ lambda > 0}$
Son posibles casos exóticos cuando una función periódica no tiene el período positivo más pequeño, pero al mismo tiempo no es una constante. Por ejemplo, la

función de Dirichlet , igual a 1 en los puntos racionales e igual a 0 en los puntos irracionales, tiene un período de cualquier número racional. En este caso, el conjunto de homogeneidad puede tener una estructura bastante compleja. Sin embargo, si para cada conjunto de valores la función periódica tiene un límite en la variable al menos en un punto, esta función tiene el período positivo más pequeño (y todos los demás períodos son múltiplos del período positivo más pequeño) o es una constante en la variable

{\ estilo de visualización H (y,...)}

\lambda

{\displaystyle t_{2},t_{3},\ldots,t_{n))

{\ estilo de visualización H (y,...)}

{\ estilo de visualización y}

y.

Las funciones homogéneas acotadas definidas en tienen la forma con una función periódica elegida apropiadamente en la variable

{\ estilo de visualización x <0,}

f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=(-x_{1})^{q}\cdot H(\log(-x_{1}), x_{2}/x_{1},x_{3}/x_{1},\ldots,x_{n}/x_{1})

H(y,t_{2},t_{3},\ldots,t_{n}),

y.

Las funciones homogéneas acotadas definidas en todo el eje real menos el punto tienen la forma con una función periódica adecuadamente elegida en la variable (donde la notación enfatiza que para el intervalo de valores y para el intervalo de valores , en términos generales, diferentes funciones periódicas se eligen, cada uno con un dominio de definición , pero necesariamente con el mismo período).

x=0,

f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=|x_{1}|^{q}\cdot H_{\pm }(\log |x_{1} |,x_{2}/x_{1},x_{3}/x_{1},\ldots,x_{n}/x_{1}),

H_{\pm }(y,t_{2},t_{3},\ldots,t_{n}),

y

H_{\pm }(\ldots)

x_{1}>0

{\displaystylex_{1}<0}

{\ estilo de visualización H (y)}

y\in (-\infty,+\infty)

La fórmula es universal, pero no refleja la igualdad de todas las variables. Es posible representar la función como donde el período de la función es igual al factor de normalización no depende y la función se elige fija. Con tal notación , las funciones homogéneas acotadas toman la forma

f(x_{1},...,x_{n})=x_{1}^{q}\cdot H(\log |x_{1}|,x_{2}/x_{1} ,\ldots,x_{n}/x_{1}),

H(y,t_{2},\dots,t_{n}\ldots)

G\left(w\cdot y+\log W(t_{2},\dots,t_{n}),t_{2},\dots,t_{n}\right),

G\left(t,t_{2},\dots,t_{n}\right)

{\ estilo de visualización 2 \ pi,}

{\ estilo de visualización w}

t_{2},\puntos,t_{n},

{\ estilo de visualización W (t_ {2}, \ puntos, t_ {n})}

f(x_{1},...,x_{n})=F(\log Q(x_{1},\ldots,x_{n}),x_{1},\ldots,x_{ norte}),

F(y,x_{1},x_{2},\ldots,x_{n})

q

{\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots,x_{n))

{\ estilo de visualización 2 \ pi}

{\ estilo de visualización y,}

Q(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}),

w

x_{1},x_{2},\ldots,x_{n},

\Lambda =\{e^{2\pi m/w}\},

m=0,\pm 1,\pm 2,\puntos

Expandiendo la función periódica del párrafo anterior a una serie de Fourier, podemos obtener la expresión Esta fórmula es la forma más general de escribir para funciones homogéneas acotadas continuas por tramos con un orden de homogeneidad y un conjunto de homogeneidad En particular, reemplazar una función fija con un conjunto de funciones homogéneas arbitrarias no agregará generalidad a esta fórmula, pero sólo diversificar la forma de representación para la misma función acotadamente homogénea.

F(y,x_{1},\ldots,x_{n})

A_{0}(x_{1},\ldots,x_{n})+\sum A_{k}(x_{1},\ldots,x_{n})\cos k\log Q(x_ {1},\ldots,x_{n})+B_{k}(x_{1},\ldots,x_{n})\sin k\log Q(x_{1},\ldots,x_{n} ),

A_{k}(x_{1},\ldots,x_{n})

B_{k}(x_{1},\ldots,x_{n})

{\ estilo de visualización q,}

Q(x_{1},\ldots,x_{n})

{\ estilo de visualización w,}

\Lambda =\{e^{mY}\},

\Lambda =\{e^{2\pi m/w}\},

metro

q

{\displaystyle\Lambda =\{e^{2\pi m/w}\}.}

Q(x_{1},\ldots,x_{n})

Q_{k}(x_{1},\ldots,x_{n})

Bibliografía: Konrad Schlude, Bemerkung zu beschränkt homogeneen Funktionen . - Elemento der Mathematik 54 (1999).

Fuente de información: J.Pahikkala. Función homogénea acotada. Archivado el 23 de agosto de 2012 en Wayback Machine ( PlanetMath.org ).

Funciones homogéneas asociadas

[sección aún no escrita]

Fuente: I. M. Gelfand, Z. Ya. Shapiro. Funciones homogéneas y sus aplicaciones. Avances en Ciencias Matemáticas, volumen 10 (1955) no. 3, págs. 3-70.

Funciones mutuamente homogéneas

[sección aún no escrita]

Fuente: I. M. Gelfand, Z. Ya. Shapiro. Funciones homogéneas y sus aplicaciones. Avances en Ciencias Matemáticas, volumen 10 (1955) no. 3, págs. 3-70.

Algunas ecuaciones funcionales relacionadas con funciones homogéneas

1. Deja

f\left(\lambda x_{1},\lambda x_{2},\dots ,\lambda x_{n}\right)=C\left(\lambda \right)f\left(x_{1 },x_{2},\puntos,x_{n}\derecha)

para alguna función en el intervalo ¿Cuál debería ser la función ${\ estilo de visualización C \ izquierda (\ lambda \ derecha)}$ $\lambda \in \left[\lambda _{0}-\varepsilon,\lambda _{0}+\varepsilon \right].$ $f\left(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\right)?$

Solución. Diferenciar ambos lados de esta relación con respecto a Obtenemos ${\ estilo de visualización \ lambda.}$

x_{1}{\frac {\parcial f(\lambda x_{1},\dots ,\lambda x_{n})}{\parcial (\lambda x_{1)))))+x_{ 2 }{\frac {\parcial f(\lambda x_{1},\dots ,\lambda x_{n})}{\parcial (\lambda x_{2)))))+\dots +x_{n} {\ frac {\parcial f(\lambda x_{1},\dots,\lambda x_{n})}{\parcial (\lambda x_{n)))))={\frac {\parcial C\left (\lambda \right)}{\parcial \lambda }}f(x_{1},\dots,x_{n}).

Diferenciamos ambos lados de una misma relación con respecto para obtener las relaciones ${\ estilo de visualización x_ {k},}$

\lambda {\frac {\parcial f(\lambda x_{1},\dots ,\lambda x_{n})}{\parcial (\lambda x_{k)))))=C\left( \ lambda \right){\frac {\parcial f(x_{1},\dots,x_{n})}{\parcial x_{k))}.

De aquí

{\frac {1}{f(x_{1},\dots,x_{n)))))\left(x_{1}{\frac {\parcial f(x_{1},\dots , x_{n})}{\parcial x_{1))}+\puntos +x_{n}{\frac {\parcial f(x_{1},\puntos,x_{n})}{\parcial x_ { n}}}\right)={\frac {\lambda}{C\left(\lambda \right)}}{\frac {\parcial C\left(\lambda \right)}{\parcial \lambda } } .

El lado derecho depende solo del lado izquierdo depende solo de Por lo tanto, ambos son iguales a la misma constante, que denotamos por Se deduce de las condiciones y condiciones que Por lo tanto, es una función homogénea con un parámetro de homogeneidad . se consideran por separado y no tienen ningún interés. ${\ estilo de visualización \ lambda,}$ $x_{1},x_{2},\puntos,x_{n}$ $q.$ ${\frac {\lambda }{C\left(\lambda \right)}}{\frac {\parcial C\left(\lambda \right)}{\parcial \lambda }}=q$ ${\ estilo de visualización C \ izquierda (1 \ derecha) = 1}$ $C\left(\lambda \right)=\lambda ^{q}.$ $f\left(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\right)$ $q.$ $C\left(\lambda \right)\equiv 0$ $f\left(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\right)\equiv 0$

Nota. No es necesario utilizar una condición , generalmente hablando, no especificada originalmente, y también obligar a que la función se considere fuera del intervalo . De la igualdad ${\ estilo de visualización C \ izquierda (1 \ derecha) = 1,}$ ${\ estilo de visualización C \ izquierda (\ lambda \ derecha)}$ $\lambda \in \left[\lambda _{0}-\varepsilon,\lambda _{0}+\varepsilon \right].$

{\frac {1}{f))\left(x_{1}{\frac {\parcial f}{\parcial x_{1))}+x_{2}{\frac {\parcial f} {\parcial x_{2))}+\puntos +x_{n}{\frac {\parcial f}{\parcial x_{n))}\right)=q

de acuerdo con el teorema de Euler sobre las funciones homogéneas, también se sigue que es una función homogénea con un parámetro de homogeneidad , por lo tanto, en particular, se sigue que si la relación de homogeneidad es válida para un cierto intervalo, entonces es válida para todo $f\left(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\right)$ $q.$ $\lambda \in \left[\lambda _{0}-\varepsilon,\lambda _{0}+\varepsilon \right],$ $\lambda>0.$

2. Deja

f\left(\lambda x_{1},\lambda x_{2},\dots ,\lambda x_{n}\right)=Cf\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\derecho)

para algunos valores fijos y arbitrarios ¿Cuál debería ser la función $C\neq 0,$ ${\ estilo de visualización \ lambda \ neq 1}$ $x_{1},x_{2},\puntos,x_{n}.$ $f\left(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\right)?$

Solución. Si entonces el problema se reduce a una ecuación funcional de menor dimensión ${\ estilo de visualización x_ {1} = 0,}$

f\left(0,\lambda x_{2},\dots,\lambda x_{n}\right)=Cf\left(0,x_{2},\dots,x_{n}\right) ,

hasta que se reduce al caso con una respuesta obvia Por lo tanto, podemos considerar solo el caso $f\left(0,0,\dots,0\right)=Cf\left(0,0,\dots,0\right)$ ${\ estilo de visualización f \ izquierda (0,0, \ puntos, 0 \ derecha) = 0.}$ $x_{1}\neq 0.$

Hacemos un cambio de variables, entonces la ecuación funcional también toma la forma ${\ estilo de visualización x_ {1} = y,}$ $x_{2}=t_{2}\cdot y,$ $x_{3}=t_{3}\cdot y,$ $x_{n}=t_{n}\cdot y.$ $f(x_{1},x_{2},\puntos,x_{n})\a F(y,t_{2},\puntos,t_{n})$

F\left(\lambda y,t_{2},\dots,t_{n}\right)=CF\left(y,t_{2},\dots,t_{n}\right).

Deberíamos considerar por separado los casos y y y Let y Entonces, después de tomar el logaritmo de ambas partes de la igualdad y el reemplazo, obtenemos la condición $C>0$ ${\ estilo de visualización C <0,}$ ${\ estilo de visualización \ lambda > 0}$ ${\ estilo de visualización \ lambda <0,}$ $y>0$ ${\ estilo de visualización y <0.}$ ${\ estilo de visualización C> 0,}$ ${\ estilo de visualización \ lambda > 0}$ ${\ estilo de visualización y> 0.}$ ${\ estilo de visualización \ log y \ to t,}$ $\log F(y,\dots )\to \Phi (t,\dots )$

\Phi \left(t+\log \lambda ,\dots \right)=\log C+\Phi \left(t,\dots \right)

de donde se sigue que tiene la forma donde es una función que es periódica en una variable con un período . ${\ estilo de visualización \ Phi \ izquierda (t, \ puntos \ derecha)}$ $\Omega \left(t,\dots \right)+{\frac {\log C}{\log \lambda }}t,$ $\Omega \left(t,\dots \right)$ $t$ ${\ estilo de visualización \ registro \ lambda.}$

f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)=\Omega \left(\log x_{1},{\frac {x_{2}}{ x_{1}}},\puntos {\frac {x_{n}}{x_{1}}}\right)\exp \left({\frac {\log C\cdot \log x_{1}}{ \log \lambda}}\derecho),

donde es una función que es periódica en una variable con un período y satisface la relación funcional requerida para $\Omega \left(t,\dots \right)$ $t$ ${\ estilo de visualización \ registro \ lambda,}$ ${\ estilo de visualización x_ {1}> 0.}$

Se usa un reemplazo para el semieje y, después de un razonamiento similar, obtenemos la respuesta final: ${\displaystylex_{1}<0}$ ${\ estilo de visualización \ log (-y) \ to t}$

a) si entonces

{\ estilo de visualización x_ {1}> 0}

f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)=\Omega _{+}\left(\log(+x_{1}),x_{2 }/x_{1},\dots x_{n}/x_{1}\right)\exp \left({\frac {\log C\cdot \log(+x_{1})}{\log \lambda }}\Correcto),

b) si entonces

{\displaystylex_{1}<0}

f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)=\Omega _{-}\left(\log(-x_{1}),x_{2 }/x_{1},\dots x_{n}/x_{1}\right)\exp \left({\frac {\log C\cdot \log(-x_{1})}{\log \lambda }}\Correcto),

o, en forma abreviada

f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)=\Omega _{\pm }\left(\log |x_{1}|,{\frac {x_{2}}{x_{1}}},\puntos {\frac {x_{n}}{x_{1}}}\right)\exp \left({\frac {\log C\cdot \ registro |x_{1}|}{\registro \lambda }}\derecho),

donde la notación enfatiza que por y para estos son, en términos generales, dos funciones periódicas diferentes y , cada una con un dominio de definición y valores diferentes para este dominio, pero a la vez con el mismo período. $\Omega _{\pm }\left(\log |x_{1}|,\dots \right)$ $x_{1}>0$ ${\displaystylex_{1}<0}$ $\Omega _{+}\left(t,\dots \right)$ $\Omega _{-}\left(t,\dots \right)$ $t\in (-\infty,+\infty)$

El caso se simplifica por el hecho de que de la cadena de relaciones ${\ estilo de visualización C <0,}$ ${\ estilo de visualización \ lambda > 0}$

F\left(\lambda ^{2}y,t_{2},\dots,t_{n}\right)=CF\left(\lambda y,t_{2},\dots,t_{n }\derecha)=C^{2}F\izquierda(y,t_{2},\puntos,t_{n}\derecha)

sigue el caso que ya hemos considerado. Entonces la función se puede escribir como $f\left(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\right)$

f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)=\Omega _{\pm }\left(\log |x_{1}|,{\frac {x_{2}}{x_{1}}},\puntos {\frac {x_{n}}{x_{1}}}\right)\exp \left({\frac {\log |C|\ cdot \log |x_{1}|}{\log \lambda }}\right),

donde es alguna función que es periódica en una variable con un período Sustituyendo esta expresión en la ecuación original muestra que no es solo una función periódica con un período, sino una función antiperiódica con un período $\Omega _{\pm }\left(t,\dots \right)$ $t$ ${\ estilo de visualización 2 \ registro \ lambda.}$ $\Omega _{\pm }\left(t,\dots \right)$ ${\ estilo de visualización 2 \ registro \ lambda,}$ ${\ estilo de visualización \ registro \ lambda:}$

\Omega _{\pm }\left(t+\log \lambda ,\dots \right)=-\Omega _{\pm }\left(t,\dots \right)

(Obviamente, anti-periodicidad con periodo implica periodicidad con periodo ). Lo contrario es obvio: la fórmula indicada con una función antiperiódica satisface la ecuación funcional requerida. ${\ estilo de visualización \ registro \ lambda}$ ${\ estilo de visualización 2 \ registro \ lambda}$ $\Omega _{\pm }\left(t,\dots \right)$

El caso tiene la característica adicional de que los semiejes y los semiejes se afectan entre sí. Considere el caso Entonces de la cadena de relaciones ${\ estilo de visualización \ lambda <0}$ ${\ estilo de visualización y <0}$ $y>0$ ${\ estilo de visualización y> 0.}$

F\left(\lambda ^{2}y,t_{2},\dots,t_{n}\right)=CF\left(\lambda y,t_{2},\dots,t_{n }\derecha)=C^{2}F\izquierda(y,t_{2},\puntos,t_{n}\derecha)

se sigue que para , la función debe tener la forma $x_{1}>0$ $f\left(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\right)$

f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)=\Omega \left(\log |x_{1}|,{\frac {x_{2} }{x_{1}}},\puntos {\frac {x_{n}}{x_{1}}}\right)\exp \left({\frac {\log |C|\cdot \log |x_ {1}|}{\registro |\lambda |}}\derecho),

donde es una función que es periódica en una variable con un periodo y un dominio de definición, desde entonces, cada punto positivo es uno a uno con un punto negativo con el valor de la función igual a . Como resultado, teniendo en cuenta la periodicidad de la función , la función se calcula como $\Omega \left(t,\dots \right)$ $t$ $2\log |\lambda |$ $t\in (-\infty,+\infty).$ ${\ estilo de visualización \ lambda <0,}$ $x_{1}>0$ ${\displaystyle\lambda x_{1}<0}$ $Cf\left(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\right).$ $\Omega \left(t,\dots \right)$ $f\left(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\right)$

a) en

{\ estilo de visualización x_ {1}> 0:}

f(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})=\Omega \left(\log |x_{1}|,{\frac {x_{2}}{x_{ 1}}},\dots {\frac {x_{n}}{x_{1}}}\right)\exp \left({\frac {\log |C|\cdot \log |x_{1}| }{\registro |\lambda |}}\derecha),

b) cuando

{\ estilo de visualización x_ {1} 0:}

f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=signo(C)\cdot \Omega \left(\log |x_{1}|+\log |\lambda | ,{\frac {x_{2}}{x_{1}}},\dots {\frac {x_{n}}{x_{1}}}\right)\exp \left({\frac {\log |C|\cdot \log |x_{1}|}{\log |\lambda |}}\right),

donde es una función periódica en una variable con periodo Es fácil comprobar que la función así definida para el caso realmente satisface la ecuación funcional deseada tanto para $\Omega \left(t,\dots \right)$ $t$ $2\log |\lambda |.$ $f(x_{1},x_{2},\puntos,x_{n})$ ${\ estilo de visualización \ lambda <0}$ ${\ estilo de visualización x_ {1}> 0,}$ $x_{1}<0.$

Nota. Si alguna función satisface la ecuación funcional especificada para algunos , entonces es fácil ver que satisface la misma ecuación funcional para otros conjuntos de valores Entonces, para el caso, el conjunto de tales pares será para cualquier valor entero distinto de cero donde se elige el entero para que el valor sea el menor periodo positivo para una función Introduciendo la notación para que obtengamos la condición correspondiente a funciones acotadas homogéneas. El reemplazo lleva la representación de funciones homogéneas acotadas a la forma habitual. $C_{0},\lambda _{0},$ ${\ estilo de visualización \ izquierda (C, \ lambda \ derecha).}$ $C_{0}>0,\lambda_{0}>0$ ${\ estilo de visualización \ lambda _ {k} = \ lambda _ {0} ^ {k/m},}$ ${\displaystyle C_{k}=C_{0}^{k/m))$ $k=\pm 1,\pm 2,\puntos,$ $metro$ ${\ estilo de visualización | \ registro \ lambda _ {0} |/m}$ $\Omega _{\pm }\left(t,\dots \right).$ ${\displaystyle q=\log C_{0}/\log \lambda _{0))$ $C_{0}=\lambda _{0}^{q},$ $C_{k}\equiv \left(\lambda _{k}\right)^{q},$ $\exp \left({\frac {\log C\cdot \log x_{1}}{\log \lambda }}\right)\to x_{1}^{q}$

3. Las ecuaciones funcionales adicionales están disponibles en las secciones "Funciones homogéneas asociadas" y "Funciones mutuamente homogéneas" de este artículo.

Funciones homogéneas generalizadas

Las funciones o distribuciones generalizadas se definen como funciones lineales continuas definidas en el espacio de funciones "suficientemente buenas". En el caso de funciones generalizadas homogéneas, es conveniente utilizar el espacio de funciones que tienen derivadas de cualquier orden y decrecen más rápido que cualquier grado como funciones "suficientemente buenas", En este caso, cualquier función ordinariaintegrable en cualquier dominio finito se asocia con el funcional $\mathbb{S}$ ${\ estilo de visualización \ varphi (x) = \ varphi (x_{1}, x_ {2}, \ puntos, x_ {n}),}$ $\left|x\right|\to \infty$ ${\frac {1}{\izquierda|x\derecha|}}.$ $f(x)$

T_{f}\left[\varphi \right]=\int _{-\infty}^{+\infty}f(x)\varphi (x)dx,

definida en el espacio y obviamente lineal y continua. Las funciones generalizadas permiten simplificar la consideración de muchas cuestiones de análisis (por ejemplo, cualquier función generalizada tiene derivadas de cualquier orden, admite una transformada de Fourier, etc.), así como legitimar objetos tan exóticos como la función y sus derivadas. . ${\ estilo de visualización \ varphi \ en \ mathbb {S}}$ $\delta$

Para funciones integrables ordinarias que son homogéneas con un exponente de homogeneidad , la identidad fácilmente verificable se cumple $f(x_{1},\dots,x_{n}),$ $q,$

T_{f}\left[\varphi \left({\frac {x_{1)){\lambda )),{\frac {x_{2)){\lambda )),\dots ,{\ frac {x_{n}}{\lambda }}\right)\right]=\lambda ^{q+n}T_{f}\left[\varphi \left(x_{1},x_{2},\ puntos ,x_{n}\derecha)\derecha].\qquad \qquad \qquad (**)

Esta identidad se toma como la definición de una función homogénea generalizada: una función homogénea generalizada con exponente de homogeneidad (generalmente compleja) es una funcional lineal continua definida en el espacio y que satisface la identidad (**). $q$ ${\ estilo de visualización \ varphi \ en \ mathbb {S}}$

Las funciones generalizadas homogéneas asociadas se definen de manera similar. La función de orden generalizada homogénea asociada con un exponente de homogeneidad es una funcional lineal continua que para cualquiera satisface la relación $T_{k}\left[\varphi\right]$ $k$ $q$ ${\ estilo de visualización \ lambda > 0}$

T_{k}\left[\varphi \left({\frac {x_{1)){\lambda )),{\frac {x_{2)){\lambda )),\dots ,{\ fracción {x_{n}}{\lambda }}\right)\right]=\lambda ^{q+n}T_{k}\left[\varphi \left(x_{1},x_{2},\ puntos ,x_{n}\right)\right]+\lambda ^{q+n}\log \lambda \cdot T_{k-1}\left[\varphi \left(x_{1},x_{2} ,\puntos,x_{n}\derecha)\derecha],

donde es alguna función generalizada homogénea adjunta de orden th con un exponente de homogeneidad $T_{k-1}\left[\varphi\right]$ $(k-1)$ $q.$ $q$ $q.$

Ejemplo. Una función generalizada es una función generalizada homogénea con un exponente de homogeneidad ya que ${\ estilo de visualización \ delta (x_{1}, x_ {2}, \ puntos, x_ {n})}$ ${\ estilo de visualización (-n)}$ $\delta [\varphi ({x_{1}}/\lambda,{x_{2}}/\lambda,\dots,{x_{n}}/\lambda)]=\varphi (0,0 ,\puntos,0)=\delta [\varphi (x_{1},x_{2},\puntos,x_{n})].$

El estudio de las funciones homogéneas generalizadas permite dar significado significativo a las integrales con singularidades singulares que no son integrables en el sentido habitual. Por ejemplo, considere una función generalizada. Esta funcional está definida para y, como es fácil de comprobar, es una función generalizada homogénea con un exponente de homogeneidad . Con una elección fija de la función de prueba , el valor puede considerarse como una función de una variable compleja y, en términos generales, puede continuarse analíticamente fuera del rango dado. Es decir, los lados derecho e izquierdo de la igualdad $T_{q}^{+}\left[\varphi \right]=\int _{0}^{+\infty }x^{q}\varphi (x)dx.$ $Re(q)>-1$ $q.$ ${\displaystyle T_{q}^{+))$ ${\ estilo de visualización \ varphi \ izquierda (x \ derecha)}$ $q$

\int _{0}^{+\infty}x^{q}\varphi (x)dx=\int _{1}^{+\infty}x^{q}\varphi (x)dx+ \int _{0}^{1}x^{q}\left(\varphi (x)-\sum _{k=0,n}x^{k}{\frac {\varphi ^{(k) }(0)}{k!}}\right)dx+\sum _{k=0,n}{\frac {\varphi ^{(k)}(0)}{k!(q+k+1) }},

son analíticos en la variable e idénticamente iguales entre sí para . Sin embargo, el lado derecho de la igualdad tiene sentido y también es analítico para . Debido a esto, el lado derecho de la igualdad es una continuación analítica del lado izquierdo -lado de la igualdad para Como resultado, la igualdad $q$ $Re(q)>-1.$ $Re(q)>-n.$ $Re(q)>-n.$

T_{q}^{+}[\varphi (x)]=\int _{1}^{+\infty}x^{q}\varphi (x)dx+\int _{0}^{ 1}x^{q}\left(\varphi (x)-\sum _{k=0,n}x^{k}{\frac {\varphi ^{(k)}(0)}{k! }}\right)dx+\sum _{k=0,n}{\frac {\varphi ^{(k)}(0)}{k!(q+k+1))),

define un funcional continuo lineal que es una extensión del funcional definido anteriormente hasta valores .Las fórmulas para y para dan el mismo resultado para los mismos valores en los que ambos tienen sentido: esta definición es consistente. La función generalizada ahora definida para todos sigue siendo una función generalizada homogénea, ya que la relación de homogeneidad se conserva bajo la continuación analítica. ${\displaystyle T_{q}^{+))$ $Re(q)>-n.$ $Re(q)>-n$ $Re(q)>-m$ ${\ estilo de visualización q,}$ $T_{q}^{+},$ ${\ estilo de visualización q,}$

Con la ayuda se determinan los valores

regularizados de la integral que tienen sentido para cualquier complejo , a excepción de los valores enteros donde la integral regularizada es singular: la funcional en función de una variable en un punto tiene un polo simple con un residuo

T_{q}^{+}\left[\varphi\right]

\int_{0}^{+\infty}x^{q}\varphi(x)dx,

q.

q=-1,-2,\puntos,-n,\puntos,

T_{q}^{+}\left[\varphi\right]

q

{\ estilo de visualización q = -n}

{\ estilo de visualización \ varphi ^ {(n-1)} (0)/(n-1)!.}

De acuerdo con el mismo esquema, la función homogénea adjunta se puede continuar analíticamente Con su ayuda, se determinan valores regularizados para integrales que tienen sentido en $Re(q)\leq -1$ $T_{p,q}^{+}\left[\varphi \right]=\int_{0}^{+\infty}x^{q}\log ^{p}(x)\varphi (x)dx.$ $\int _{0}^{+\infty}x^{q}\log ^{p}(x)\varphi (x)dx,$ $Re(q)\leq -1.$

De manera similar pero más compleja, se construyen funciones generalizadas homogéneas y funciones generalizadas homogéneas asociadas para el caso de las variables. Los detalles se pueden encontrar en la bibliografía citada aquí. La teoría de funciones generalizadas homogéneas hace posible comprender de manera constructiva, aplicada al espacio de funciones generalizadas, funciones ordinarias que tienen singularidades no integrables: calcular integrales de tales funciones, encontrar su transformada de Fourier, etc. $norte$

Bibliografía: I. M. Gelfand, Z. Ya. Shapiro . Funciones homogéneas y sus aplicaciones. Avances en Ciencias Matemáticas, volumen 10 (1955) no. 3, págs. 3-70.

Función homogénea

Definición alternativa de una función homogénea

Propiedades

Funciones homogéneas lambda

Operador de Euler

Funciones homogéneas acotadas

Funciones homogéneas asociadas

Funciones mutuamente homogéneas

Algunas ecuaciones funcionales relacionadas con funciones homogéneas

Funciones homogéneas generalizadas

Véase también