Derivación integro fraccionada

Derivación integro fraccionada
Tema principal	Cálculo fractal [d]
Fórmula que describe una ley o un teorema	$\mathbb {D} ^{q}f$

La integro-diferenciación fraccionaria en el análisis matemático es un operador combinado de diferenciación / integración , cuyo orden puede ser un número real o complejo arbitrario. Se utiliza en cálculo fraccionario . El operador mismo sirve para denotar la operación de tomar una derivada/integral de orden fraccionario .

El operador generalmente se denota de la siguiente manera: ${\ estilo de visualización \ mathbb {D} _ {t}^{q}.}$

Definiciones

Las tres fórmulas más utilizadas son:

La redacción más simple y más utilizada. Esta fórmula es una generalización a un orden arbitrario de la fórmula de integración iterada de Cauchy .

${}_{a}\mathbb {D} _{t}^{q}\,f(t)$	$={\frac {d^{q}\,f(t)}{d(ta)^{q))}=$
	$={\frac {1}{\Gamma (nq)}}{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\int \limits _{a}^{t}(t -\tau)^{nq-1}f(\tau)\,d\tau,$

donde _

n=\lceil q\rceil

${}_{a}\mathbb {D} _{t}^{q}\,f(t)$	$={\frac {d^{q}\,f(t)}{d(ta)^{q))}=$
	$=\lim _{N\to \infty }\left[{\frac {ta}{N}}\right]^{-q}\sum _{j=0}^{N-1}( -1)^{j}{q \elegir j}f\left(tj\left[{\frac {ta}{N}}\right]\right).$

Formalmente, es similar a la integro-derivación de Riemann-Liouville, pero se extiende a funciones periódicas con integral cero durante el período.

Denotemos la transformada continua de Fourier como : ${\ matemáticas {F}}$

F(\omega )={\mathcal {F}}\{f(t)\}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}\,dt.

En el espacio de Fourier, la diferenciación corresponde al producto:

{\mathcal {F}}\left[\mathbb {D} f(t)\right]={\mathcal {F}}\left[{\frac {df(t)}{dt}}\ derecha]=i\omega {\mathcal {F}}[f(t)].

Es por eso,

\mathbb {D} f(t)={\mathcal {F}}^{-1}\left\{(i\omega){\mathcal {F}}[f(t)]\right\ },

que se reduce a

\mathbb {D} ^{q}\,f(t)={\mathcal {F}}^{-1}\left\{(i\omega )^{q}{\mathcal {F} }[f(t)]\derecha\}.

Bajo la transformada de Laplace , denotada aquí , la diferenciación es reemplazada por la multiplicación $\mathcal{L}$

{\mathcal {L}}\left[{\frac {df(t)}{dt}}\right]=s{\mathcal {L}}[f(t)].

Generalizando para un orden arbitrario de derivación y resolviendo la ecuación para , obtenemos $\mathbb {D} ^{q}f(t)$

\mathbb {D} ^{q}\,f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{s^{q}{\mathcal {L}}[f( t)]\derecha\}.

\mathbb {D} _{t}^{q}\,(f(t)+g(t))=\mathbb {D} _{t}^{q}\,f(t)+ \mathbb {D} _{t}^{q}\,g(t);

\mathbb {D} _{t}^{q}\,(af(t))=a\,\mathbb {D}_{t}^{q}\,f(t).

\mathbb {D} _{t}^{0}\,t=t.

\mathbb {D} _{t}^{q}\;(f(t)g(t))=\sum _{j=0}^{\infty}{q \elegir j}\mathbb {D} _{t}^{j}\,f(t)\,\mathbb {D} _{t}^{qj}g(t).

\mathbb {D} _{t}^{a}\mathbb {D} _{t}^{b}\,f(t)=\mathbb {D} _{t}^{a+b }pie).

generalmente insatisfecho [1] .

↑ ver Propiedad 2.4 (p. 75) en Kilbas AA, Srivastava HM, Trujillo JJ Teoría y aplicaciones de ecuaciones diferenciales fraccionarias. — Elsevier, 2006.

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