Función de potencia

Una función de potencia es una función , donde ( exponente ) es un número real [1] [2] . Una función de la forma , donde es algún coeficiente (distinto de cero) [3] , también suele denominarse función de potencia . También hay una generalización compleja de la función de potencia . $y=x^{a}$ $a$ $y=kx^{a}$ $k$

La función de potencia es un caso especial de un polinomio . En la práctica, el exponente es casi siempre un número entero o un número racional .

Función real

Alcance

Para exponentes enteros positivos, la función de potencia se puede considerar en la recta numérica entera , mientras que para los negativos , la función no está definida en cero (el cero es su punto singular ) [4] . $a$ $a$

Para los racionales , el dominio de definición depende de la paridad y del signo , ya que : $a={\frac {p}{q}}\ (q>0)$ $q$ $pags.$ $x^{a}={\sqrt[{q}]{x^{p))}.$

Si y es impar , entonces se define en la recta numérica entera. $q$ $p>0$ ${\ Displaystyle x^{p/q}}$
Si y es impar , entonces se define en toda la recta numérica, excepto el cero. $q$ ${\ estilo de visualización pag <0}$ ${\ Displaystyle x^{p/q}}$
Si y es par , entonces se define para no negativo $q$ $p>0$ ${\ Displaystyle x^{p/q}}$ $X.$
Si y es par , entonces se define para positivo $q$ ${\ estilo de visualización pag <0}$ ${\ Displaystyle x^{p/q}}$ $X.$

Para un exponente real , la función exponencial , en términos generales, se define solo para Si , entonces la función también se define en cero [4] . $a$ $x^{un}$ ${\ estilo de visualización x> 0.}$ $a>0,$

Exponente entero

Gráficos de una función de potencia con un exponente entero : $y=x^{n}$ $norte$

Parábolas de orden n : $n=0$ $n=1$ $n=2$ $n=3$ $n=4$ $n=5$
Hipérbolas de orden n : $n=-1$ $n=-2$ $n=-3$

Si es impar , las gráficas son centralmente simétricas con respecto al origen , donde tiene un punto de inflexión . Cuando par , la función de potencia es par : su gráfico es simétrico respecto al eje y [5] . $norte$ $norte$ ${\ estilo de visualización (-x) ^ {n} = x ^ {n},}$

Los gráficos de una función de potencia con un exponente natural se llaman parábolas de orden . Para even , la función es en todas partes no negativa (ver gráficos). Cuando se obtiene una función , se llama función lineal o relación proporcional directa [3] [5] . $n>1$ $norte$ $norte$ $n=1$ $y=kx$

Las gráficas de funciones de la forma , donde es un número natural, se llaman hipérbolas de orden . Cuando es impar , los ejes de coordenadas son las asíntotas de las hipérbolas. Para incluso , las asíntotas son el eje x y la dirección positiva del eje y (ver gráficos) [6] . Con el exponente , se obtiene una función , llamada dependencia proporcional inversa [3] [5] . ${\displaystyle y=x^{-n}={\frac{1}{x^{n))))$ $norte$ $norte$ $norte$ $norte$ $-una$ $y={\frac{k}{x}}$

Cuando la función degenera en una constante: $un=0$ ${\ estilo de visualización y = 1.}$

Exponente racional

Gráficos de funciones de potencia con exponente racional
Parábolas semicúbicas $y=ax^{3/2}$

La elevación a una potencia racional está determinada por la fórmula: $p/q$

x^{p/q}={\sqrt[{q}]{x^{p))}.

Si , entonces la función es la raíz aritmética del grado : $pag=1$ $q$

y=x^{1/q}={\sqrt[{q}]{x)).

Ejemplo : de la tercera ley de Kepler se sigue directamente que el período de revolución de un planeta alrededor del Sol está relacionado con el semieje mayor de su órbita por la razón: ( parábola semicúbica ). $T$ $A$ $T=kA^{{3/2}}$

Propiedades

Monotonía

En el intervalo , la función crece monótonamente en y decrece monótonamente en Los valores de la función en este intervalo son positivos [3] . $(0,\infty)$ $a>0$ $a<0.$

Propiedades analíticas

La función es continua e infinitamente diferenciable en todos los puntos alrededor de los cuales se define [4] .

Derivada de funciones : . ${\displaystyle \left(x^{a}\right)^{\prime }=ax^{a-1))$

El cero, en términos generales, es un punto singular. Por lo tanto, si , entonces la -ésima derivada en cero no está definida. Por ejemplo, una función está definida en cero y en su vecindad derecha, pero su derivada en cero no está definida. $un$ $norte$ $y={\sqrt {x}}=x^{1/2}$ $y={\frac {1}{2{\sqrt {x))))$

Integral indefinida [4] :

si , entonces $a\neq -1$ $\int x^{a}dx={\frac {x^{{a+1}}}{a+1}}+C$
Cuando conseguimos: $a=-1$ $\int {\frac{1}{x}}dx=\ln |x|+C$

Tabla de valores de potencias pequeñas

norte	nº 2	nº 3	n4 _	norte 5	n6 _	n 7	norte 8	n9 _	n 10
2	cuatro	ocho	dieciséis	32	64	128	256	512	1024
3	9	27	81	243	729	2187	6561	19 683	59 049
cuatro	dieciséis	64	256	1024	4096	16 384	65 536	262 144	1 048 576
5	25	125	625	3125	15 625	78 125	390 625	1 953 125	9 765 625
6	36	216	1296	7776	46 656	279 936	1 679 616	10 077 696	60 466 176
7	49	343	2401	16 807	117 649	823 543	5 764 801	40 353 607	282 475 249
ocho	64	512	4096	32 768	262 144	2 097 152	16 777 216	134 217 728	1 073 741 824
9	81	729	6561	59 049	531 441	4 782 969	43 046 721	387 420 489	3 486 784 401
diez	100	1000	10,000	100,000	1,000,000	10,000,000	100,000,000	1,000,000,000	10,000,000,000

Función compleja

La función de potencia de una variable compleja en términos generales se define mediante la fórmula [7] : $z$

y=z^{c}=e^{{c\cdot\nombre del operador {Ln}(z)}}

Aquí el exponente es un número complejo. El valor de la función correspondiente al valor principal del logaritmo se llama valor principal del grado. Por ejemplo, el valor es donde es un número entero arbitrario y su valor principal es $C$ $yo^{yo}$ $e^{-(4k+1){\frac {\pi}{2))},$ $k$ $e^{i\ln(i)}=e^{-{\frac {\pi }{2))}.$

La función de potencia compleja tiene diferencias significativas con su contraparte real. Debido a la multivaloración del logaritmo complejo , en términos generales, también tiene infinitos valores. Sin embargo, dos casos importantes en la práctica se consideran por separado.

Con un exponente natural, la función tiene un solo valor y n hojas [8] . $y=z^{n}$
Si el exponente es un número racional positivo , es decir, una fracción (irreducible) , entonces la función tendrá valores diferentes [7] . ${\frac{p}{q))$ $q$

Véase también

Notas

↑ Fikhtengolts G. M. Curso de cálculo diferencial e integral, 1966 , Volumen I, §48: Las clases de funciones más importantes.
↑ Vygodsky M. Ya. Manual de matemáticas elementales. Moscú: Nauka, 1978. Página 312.
↑ 1 2 3 4 Enciclopedia de Matemáticas, 1985 .
↑ 1 2 3 4 BDT .
↑ 1 2 3 Diccionario enciclopédico matemático, 1988 .
↑ Bronstein I. N. , Semendyaev K. A. Manual de matemáticas para ingenieros y estudiantes de instituciones de educación superior . - ed. 13 - M. : Nauka, 1985. - S. 171-172. — 544 pág.
↑ 1 2 Fikhtengolts G. M. Curso de cálculo diferencial e integral, 1966 , Volumen II, págs. 526-527..
↑ Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N. Teoría de funciones de una variable compleja. - M. : Nauka, 1967. - S. 88. - 304 p.

Literatura

Bityutskov VI Función de potencia // Enciclopedia matemática (en 5 volúmenes). - M .: Enciclopedia soviética , 1985. - T. 5. - S. 208-209. — 1248 pág.
Función de potencia // Diccionario enciclopédico matemático . - M. : Enciclopedia Soviética, 1988. - S. 564 -565. — 847 pág.
Fikhtengol'ts G. M. Curso de cálculo diferencial e integral, en tres volúmenes. - ed. 6to. — M .: Nauka, 1966.

Enlaces

Función de potencia // Gran Enciclopedia Rusa : [en 35 volúmenes] / cap. edición Yu. S. Osipov . - M. : Gran Enciclopedia Rusa, 2004-2017.

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