Decremento de oscilación logarítmica

El decremento logarítmico de oscilaciones ( decremento de atenuación ; del latín decrementum - "disminuir, disminuir") es una cantidad física adimensional que describe la disminución en la amplitud del proceso oscilatorio y es igual al logaritmo natural de la relación de dos amplitudes sucesivas de el valor oscilante x en la misma dirección:

\lambda =\ln {\frac {x_{0}}{x_{1}}}.

El decremento logarítmico de las oscilaciones es igual al factor de amortiguamiento β , multiplicado por el período de las oscilaciones T :

{\ estilo de visualización \ lambda = \ beta T.}

Este parámetro se usa, por regla general, para sistemas oscilatorios lineales, ya que en los sistemas no lineales el período de oscilación, en términos generales, depende de la amplitud, y la ley de disminución de la amplitud difiere de la exponencial. En los sistemas lineales, la cantidad fluctuante cambia con el tiempo como

x(t)=Ae^{-\beta t}\cos \omega t,

donde A = x (0) es la amplitud inicial, t es el tiempo, ω = 2π/ T es la frecuencia de oscilación cíclica .

Denotando X n = x ( nT ) , de aquí se obtiene que la razón de X k y X k +1 es igual a

X_{k}/X_{k+1}={\frac {e^{-\beta kT}}{e^{-(k+1)\beta T}}}\cdot {\frac { \cos(2\pi k)}{\cos(2\pi (k+1))))=e^{\beta T}.

El decremento logarítmico es igual al exponente de este exponente:

\lambda =\ln(X_{k}/X_{k+1})=\ln e^{\beta T}=\beta T.

Si la energía del sistema oscilatorio es proporcional a x , entonces su factor de calidad (pérdida de energía relativa durante el aumento de fase en 1 radian) es igual a

Q={\frac {2\pi }{1-e^{-\lambda }}},

y el decremento logarítmico se expresa en términos del factor de calidad como

\lambda =-\ln \left(1-{\frac {2\pi }{Q}}\right).

Para sistemas con un factor de calidad alto (es decir, con amortiguamiento débil) , por lo tanto, al expandir en una serie de Maclaurin en λ , podemos restringirnos a los primeros dos términos y reemplazar en estas fórmulas con lo que conduce a ${\ estilo de visualización \ lambda \ ll 1,}$ $e^{-\lambda}$ $e^{-\lambda}$ ${\ estilo de visualización 1-\ lambda,}$

Q\approx {\frac {2\pi }{\lambda )),\qquad \lambda \approx {\frac {2\pi }{Q)).

Enlaces

Decremento de amortiguamiento // Enciclopedia física : [en 5 volúmenes] / Cap. edición A. M. Projorov . - M .: Enciclopedia soviética , 1988. - T. 1: Aharonov - Efecto Bohm - Largas colas. - S. 578. - 707 pág. — 100.000 copias.