Campo local

Un campo local es un tipo específico de campo con una topología , que a menudo aparece como campos completos .

Definición

Un campo topológico localmente compacto con topología no discreta se denomina local .

Tipos

Hay dos tipos principales de campos locales: aquellos en los que el valor absoluto es arquimediano y aquellos en los que no lo es. Los primeros se denominan campos locales de Arquímedes , mientras que los segundos se denominan campos locales no de Arquímedes .

Cualquier campo local es isomorfo (como un campo topológico) a uno de los siguientes campos:

Campos locales de Arquímedes (la característica es cero): el campo de los números reales y el campo de los números complejos . $\matemáticas {R}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {C}}$
Campos locales no arquimedianos de característica cero: números p -ádicos y sus extensiones finitas . $\Q_p$
Campos locales de característica no arquimedianos : series formales de Laurent sobre un campo finito y sus extensiones finitas . ${\ estilo de visualización p \ neq 0}$ $\mathbb {F} _{p^{n}}$

Propiedades

Propiedades generales

El grupo aditivo de un campo local, como cualquier grupo topológico localmente compacto , tiene una medida de Haar única (hasta la multiplicación por un número positivo) μ.
En cualquier campo local , puede ingresar un valor absoluto tal que $k$ $|un|$ $|a|={\frac {\mu (aX)}{\mu (X)))$

para algún (y por lo tanto cualquier) subconjunto medible con una medida de Haar finita distinta de cero.

{\ estilo de visualización X \ subconjunto K}

Campos no arquimedianos

En un campo local no arquimediano con valor absoluto , se pueden dar las siguientes definiciones: $k$ ${\ estilo de visualización |{*}|}$
- anillo de enteros ${\mathcal {O}}=\{a\in K:|a|\leqslant 1\}.$
  - Forma un anillo normado discreto y una bola compacta en . ${\ estilo de visualización (K, | {*} |)}$
- Las unidades en el anillo de los enteros se definen como . ${\mathcal {O}}^{\times }=\{a\in K:|a|=1\}$
  - Forman un grupo y una esfera unitaria en . ${\ estilo de visualización (K, | {*} |)}$
- El único ideal primo distinto de cero en el anillo de los enteros es la bola unitaria abierta $\mathfrak{m}$ ${\ estilo de visualización \ {a \ en K: | a | <1 \},}$

y su elemento formador se denomina elemento uniformizador .

\omega \in {\mathfrak {m))

k

El campo restante es finito porque es compacto y discreto . $k={\mathcal {O}}/{\mathfrak {m}}$
En este caso , donde está la potencia del campo de residuos . $|\omega |={\tfrac{1}{|k|}}$ ${\ estilo de visualización | k |}$ $k$

Cada elemento distinto de cero se puede escribir como , donde es un elemento de identidad, es un número entero determinado únicamente por . $a \ en K$ $a=\omega ^{n}\cdot u$ $tu$ $norte$ $a$
- En particular $|a|=|k|^{-n}=|\omega |^{n}.$

Véase también

campo mundial