Extremo

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Extremum ( lat. extremum - extreme) en matemáticas : el valor máximo o mínimo de una función en un conjunto dado . El punto en el que se alcanza el extremo se llama punto extremo . En consecuencia, si se alcanza el mínimo, el punto extremo se llama punto mínimo , y si se alcanza el máximo, se llama punto máximo . En el análisis matemático , también se distingue el concepto de extremo local (respectivamente, mínimo o máximo) .

Los problemas de encontrar un extremum surgen en todas las áreas del conocimiento humano: teoría del control automático , problemas de economía , biología , física , etc. [1]

Definiciones

Sea una función y un punto interior del dominio de definición, entonces $f:M\subconjunto \mathbb{R} \to \mathbb{R} ,$ $x_{0}\en M^{0}$ $F.$

$x_{0}$ se llama punto máximo local de una función si existe una vecindad perforada tal que $F,$ ${\punto {U}}(x_{0})$ $\forall x\in {\dot {U}}(x_{0})\quad f(x)\leqslant f(x_{0});$
$x_{0}$ se llama punto mínimo local de una función si existe una vecindad perforada tal que $F,$ ${\punto {U}}(x_{0})$ $\forall x\in {\dot {U}}(x_{0})\quad f(x)\geqslant f(x_{0}).$

$x_{0}$ se llama punto máximo global (absoluto) si $\forall x\in M\quad f(x)\leqslant f(x_{0});$
$x_{0}$ se llama punto mínimo global (absoluto) si $\forall x\in M\quad f(x)\geqslant f(x_{0}).$

Si las desigualdades anteriores son estrictas, entonces se denomina punto de máximo o mínimo estricto local o global, respectivamente. $x_{0}$

El valor de la función se denomina máximo o mínimo (estricto) local o global, respectivamente. Los puntos que son puntos de un máximo o mínimo (local) se denominan puntos de un extremo (local). $f(x_{0})$

Nota

Una función definida en un conjunto no puede tener ningún extremo local o global. Por ejemplo, $F,$ $METRO,$ $f(x)=x,\;x\in (-1,1).$

Condiciones necesarias para la existencia de extremos locales

Del lema de Fermat [2] se sigue lo siguiente :

Sea el punto un punto extremo de la función definida en alguna vecindad del punto .

x_{0}

F

x_{0}

Entonces, o la derivada no existe, o .

f'(x_{0})

f'(x_{0})=0

Estas condiciones no son suficientes, por lo que la función puede tener derivada cero en un punto, pero este punto puede no ser un punto extremo, sino ser, digamos, un punto de inflexión , como el punto (0,0) de la función . $f(x)=x^{3}$

Condiciones suficientes para la existencia de extremos locales

Sea la función continua en y existan derivadas unilaterales finitas o infinitas . Entonces bajo la condición $f\en C(x_{0})$ $x_{0}\en M^{0},$ $f'_{+}(x_{0}),f'_{-}(x_{0})$

f'_{+}(x_{0})<0,\;f'_{-}(x_{0})>0

$x_{0}$ es un punto de máximo local estricto. Y si

f'_{+}(x_{0})>0,\;f'_{-}(x_{0})<0,

entonces es un punto de mínimo local estricto. $x_{0}$

Nótese que en este caso la función no es necesariamente diferenciable en el punto . $x_{0}$

Sea la función continua y dos veces diferenciable en el punto . Entonces bajo la condición $F$ $x_{0}$

f'(x_{0})=0

{\ estilo de visualización f''(x_{0})<0}

$x_{0}$ es un punto máximo local. Y si

f'(x_{0})=0

{\ estilo de visualización f''(x_{0})>0}

que es un punto mínimo local. $x_{0}$

Sea la función tiempos diferenciables en el punto y , y . $F$ $norte$ $x_{0}$ $f'(x_{0})=f''(x_{0})=\puntos =f^{{(n-1)}}(x_{0})=0$ $f^{{(n)}}(x_{0})\neq 0$

Si y es par , entonces es el punto máximo local. Si y es par , entonces es un punto mínimo local. Si es impar, entonces no hay extremo. $norte$ $f^{{(n)}}(x_{0})<0$ $x_{0}$ $norte$ $f^{{(n)}}(x_{0})>0$ $x_{0}$ $norte$

Véase también

Notas

↑ Trigo, 1969 , p. 7.
↑ Kudryavtsev L. D. Análisis matemático. - 2ª ed. - M. : Escuela Superior , 1973. - T. 1.

Literatura

Trigo B.N. Condiciones necesarias para un extremum. — M .: Nauka, 1969. — 150 p.