Extremo condicional

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Extremo condicional : el valor máximo o mínimo que alcanza una función definida en un conjunto y tomando valores reales bajo el supuesto de que los valores de algunas otras funciones con el mismo dominio de definición están sujetos a ciertas condiciones restrictivas (si hay no hay tales condiciones adicionales, entonces hablan de un extremum incondicional ) [1] . $GRAMO$

En particular, el conjunto puede ser un subconjunto de un espacio vectorial aritmético, y las restricciones anteriores, a su vez, pueden darse como igualdades o desigualdades . A continuación consideramos el clásico problema del extremo condicional , en el que todas las condiciones están dadas en forma de igualdades, así como el problema de Lagrange , uno de los problemas clásicos del cálculo de variaciones [1] . $GRAMO$ $\mathbb{R} ^{n},$

Enunciado del problema clásico para un extremo condicional

Sea un conjunto abierto , y las funciones están dadas en él. Sea ${G\subconjunto \mathbb {R} ^{n))$ $y_{i}=f_{i}({\vec {x))),\;i=1,2,\dots,m.$ $E=\lbrace \,{\vec {x}}\in G:\,f_{i}({\vec {x}})=0\;\;\forall \,i=1,2 ,\puntos,m\,\rbraza .$

ecuaciones

(*)\qquad f_{i}({\vec {x)))=0

se denominan ecuaciones de restricción (la terminología se toma prestada de la mecánica ).

Definamos también una función on: Un punto se llama punto de un extremo condicional de una función dada con respecto a las ecuaciones de restricción, si es un punto del extremo habitual (incondicional) de una función sobre un conjunto (modificación de la definición de un extremum se reduce al hecho de que en lugar de las vecindades en , es decir , se consideran en él vecindades en , entonces tienen ) [2] . $GRAMO$ $y=f_{0}({\vec{x))).$ ${\ estilo de visualización {\ vec {x}} _ {0} \ en E}$ ${\ estilo de visualización (*),}$ ${\ Displaystyle f_ {0}}$ $mi$ $GRAMO$ $U_{G}({\vec{x}}_{0})$ $mi$ $U_{E}({\vec {x}}_{0})=U_{G}({\vec {x}}_{0})\bigcap E$

Método de los multiplicadores de Lagrange para resolver el problema del extremo condicional

Teorema

Supongamos que todas las funciones que aparecen en la formulación del problema clásico para el extremo condicional son continuamente diferenciables , y sea el punto del extremo condicional de la función cuando se satisfacen las ecuaciones de restricción, entonces en este punto los gradientes son linealmente dependiente , es decir, e. pero [3] . ${\vec{x}}_{0}$ ${\ Displaystyle f_ {0}}$ ${\ estilo de visualización (*).}$ $\nabla f_{i},\,i=0,1,\dots,m$ $\existe \,\lambda _{i},\,i=0,1,\dots,m\,\dos puntos \;\sum _{i=0}^{m}|\lambda _{i} }|\neq 0,$ $\sum _{i=0}^{m}\lambda _{i}\nabla f_{i}=0$

Los números se denominan multiplicadores de Lagrange y se definen hasta la multiplicación por una constante arbitraria distinta de cero. De mayor interés es el caso cuando (entonces, al multiplicar todo por una constante adecuada distinta de cero, puede hacer que el factor sea igual y, por lo tanto, excluirlo por completo de la consideración). En tal situación, en lugar del teorema recién formulado, se utiliza el siguiente corolario [4] . ${\ estilo de visualización \ lambda _ {i}, \, i = 0,1, \ puntos, m}$ ${\ estilo de visualización \ lambda _ {0} \ neq 0}$ $\lambda _{{i}}$ ${\ estilo de visualización \ lambda _ {0}}$ $una$

Consecuencia

Si es un punto del extremo condicional de la función con respecto a las ecuaciones de restricción y los gradientes en él son linealmente independientes , entonces tal que en un punto dado En forma de coordenadas, esta igualdad vectorial es equivalente al cumplimiento de las igualdades ${\vec{x}}_{0}$ ${\ Displaystyle f_ {0}}$ ${\ estilo de visualización (*),}$ ${\ estilo de visualización \ nabla f_ {i}, i = 1, \ puntos, m}$ ${\displaystyle \existe \,\lambda _{1},\dots,\lambda _{m))$ $\nabla f_{0}+\lambda_{1}\nabla f_{1}+\dots +\lambda_{m}\nabla f_{m}=0.$

(**)\qquad {\frac {\parcial f_{0}}{\parcial x_{i}}}({\vec {x}}_{0})+\lambda _{1}{ \frac {\parcial f_{1}}{\parcial x_{i}}}({\vec {x}}_{0})+\dots +\lambda _{m}{\frac {\parcial f_{ m}}{\parcial x_{i}}}({\vec {x}}_{0})=0\,,

donde [3] . ${\ estilo de visualización i = 1, \ puntos, n}$

A las igualdades se les puede dar la siguiente interpretación. Supongamos que estas igualdades son válidas para los números y combínelas en una columna Componga la función de Lagrange : $(**)$ ${\ estilo de visualización \ lambda _ {1}, \ puntos, \ lambda _ {m}}$ ${\vec {\lambda}}_{0}.$

L({\vec {x));{\vec {f)),{\vec {\lambda )))=f_{0}({\vec {x)))+\sum _{i =1}^{m}\lambda _{i}\,f_{i}({\vec {x)))\,,

donde son números arbitrarios. Entonces, para , el punto es un punto estacionario de la función de Lagrange, y las igualdades se pueden escribir como ${\ estilo de visualización \ lambda _ {1}, \ puntos, \ lambda _ {m}}$ ${\vec {\lambda}}={\vec {\lambda}}_{0}$ ${\vec{x}}_{0}$ $(**)$

{\frac {\parcial L}{\parcial x_{1))}\,=\,{\frac {\parcial L}{\parcial x_{2))}\,=\,\dots \ ,=\,{\frac {\parcial L}{\parcial x_{n))}\,=\,0\,;

estas relaciones son las condiciones de estacionariedad del punto Sumándoles las ecuaciones de restricción obtenemos ecuaciones para las incógnitas [5] [6] . ${\vec{x}}_{0}.$ ${\ estilo de visualización (*),}$ $n+m$ $n+m$ ${\displaystyle x_{1},\puntos,x_{n},\lambda _{1},\puntos,\lambda _{m))$

Ejemplo. Encuentre los lados de un rectángulo de área máxima inscrito en un círculo Aquí Composición de la función de Lagrange ${\ estilo de visualización x^{2}+y^{2}=r^{2}.}$ ${\ estilo de visualización n = 2,}$ ${\ estilo de visualización m = 1,}$ $f_{0}(x,y)=4xy,$ $f_{1}(x,y)=x^{2}+y^{2}-r^{2}.$

L(x,y)\,=\,4xy+\lambda (x^{2}+y^{2}-r^{2})

y escribiendo las condiciones para su estacionariedad en el punto extremo condicional

{\frac {\parcial L}{\parcial x))\equiv 4y+2\lambda x\,=\,0\,,\qquad {\frac {\parcial L}{\parcial y)) \equiv 4x+2\lambda y\,=\,0\,,

encontramos: y (el rectángulo de área máxima resultó ser un cuadrado ) [6] . ${\ estilo de visualización \ lambda = -2}$ $x=y=r/{\sqrt {2}}$

Una condición suficiente para un extremo condicional

Si se satisfacen las igualdades para y al mismo tiempo (se supone adicionalmente que en el punto todas las funciones que aparecen en la formulación del problema clásico para un extremo condicional son dos veces diferenciables continuamente) es una forma cuadrática definida negativa (positiva) de las variables, entonces es un punto de un máximo condicional estricto de la función (un mínimo condicional estricto para la forma definida positiva). Si la forma cuadrática considerada no es de signo definido, entonces no hay un extremo condicional [7] . $(**)$ ${\vec {\lambda}}={\vec {\lambda}}_{0}$ ${\vec{x}}_{0}$ ${\rm {d}}^{2}L$ ${\rm {d}}x_{1},\puntos,{\rm {d}}x_{n},$ ${\vec{x}}_{0}$ ${\ Displaystyle f_ {0}}$

El problema de Lagrange

Este problema pertenece al cálculo de variaciones y es una de las posibles generalizaciones del problema clásico para un extremo condicional. En el problema de Lagrange, se requiere encontrar una función continuamente diferenciable dada en un segmento y entregando un extremo (máximo o mínimo) a la función ${\ estilo de visualización {\ vec {x}} = {\ vec {x}} (t),}$ ${\ estilo de visualización [t_{0},t_{1}]}$

J\;=\;\int \limits _{t_{0}}^{t_{1}}F\,(t,{\vec {x}}(t),{\dot {\vec {x}}}(t))\,\,{\rm {d}}t

(el punto denota la operación de diferenciación con respecto a ) bajo condiciones de contorno fijas y el cumplimiento de las ecuaciones de restricción $t$ ${\vec {x}}(t_{0})={\vec {x}}_{0},$ ${\vec {x}}(t_{1})={\vec {x}}_{1}$

f_{i}\,(t,{\vec {x}}(t),{\dot {\vec {x}}}(t))\,=\,0\,,

donde [8] [9] . ${\ estilo de visualización i = 1,2, \ puntos, m}$

En este problema también es aplicable el método de los multiplicadores de Lagrange. Asumiendo que las ecuaciones de restricción son independientes, introducimos funciones desconocidas en consideración y reducimos el problema original a un problema de optimización sin restricciones, reemplazando el integrando con la función $metro$ ${\ estilo de visualización \ lambda _ {1} (t), \ puntos, \ lambda _ {m} (t)}$

\Phi \,=\,F\,(t,{\vec {x}}(t),{\dot {\vec {x}}}(t))\,+\,\sum _ {i=1}^{m}\lambda _{i}(t)\,f_{i}\,(t,{\vec {x}}(t),{\dot {\vec {x}} }(t))\,;

como un análogo de las igualdades (es decir, en el papel de condiciones necesarias para un extremo), ahora actúan las ecuaciones de Euler-Lagrange , que en el caso bajo consideración tienen la forma $(**)$

{\frac {\rm {d}}({\rm {d}}t}}{\frac {\parcial \Phi }{\parcial {\dot {x}}_{k}}}- {\frac {\parcial \Phi }{\parcial x_{k))}\,=\,0\,,

donde A partir de estas ecuaciones diferenciales ordinarias , complementadas con las ecuaciones de restricción, se encuentran (teniendo en cuenta las condiciones de contorno existentes) funciones desconocidas [10] . ${\ estilo de visualización k = 1,2, \ puntos, n.}$ $norte$ $n+m$ $x_{1}(t),\puntos, x_{n}(t),\lambda _{1}(t),\puntos,\lambda _{m}(t)$

Véase también

Notas

↑ 1 2 Vapnyarsky I. B. . Extremo condicional // Enciclopedia matemática. T. 5 / Cap. edición I. M. Vinogradov . - M .: Enciclopedia soviética , 1985. Copia de archivo fechada el 17 de noviembre de 2020 en Wayback Machine - 1248 stb. - Stb. 565-566.
↑ Kudryavtsev, volumen 2, 1981 , pág. 92-93.
↑ 1 2 Kudryavtsev, volumen 2, 1981 , pág. 96.
↑ Alekseev, Tikhomirov, Fomin, 1979 , p. 48.
↑ Kudryavtsev, volumen 2, 1981 , pág. 96-97.
↑ 1 2 Korn y Korn, 1978 , p. 336.
↑ Kudryavtsev, volumen 2, 1981 , pág. 110.
↑ Alekseev, Tikhomirov, Fomin, 1979 , p. 40-41, 80-81.
↑ Korn y Korn, 1978 , pág. 346-349.
↑ Korn y Korn, 1978 , pág. 348-349.

Literatura

Alekseev V. M. , Tikhomirov V. M. , Fomin S. V. . Control óptimo. — M .: Nauka , 1979. — 432 p.
Korn G., Korn T. . Manual de matemáticas para científicos e ingenieros. 4ª ed. — M .: Nauka , 1978. — 832 p.
Kudryavtsev L. D. . Curso de análisis matemático. T. 2. - M. : Escuela Superior , 1981. - 584 p.