El pequeño teorema de Fubini

El pequeño teorema de Fubini es un teorema de diferenciación término por término para una serie de funciones monótonas que dice:

En todas partes series convergentes de funciones monótonas (no decrecientes):

\sum _{{n=1}}^{\infty}F_{n}(x)=F(x)\qquad (1)

admite la diferenciación término por término en casi todas partes:

\sum _{{n=1}}^{\infty }F_{n}'(x)=F'(x).

Prueba

Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que todas las funciones son no negativas e iguales a cero para ; de lo contrario, puede reemplazar con . La suma de una serie de funciones no decrecientes es, por supuesto, una función no decreciente. $F'(x)$ $x=a$ $F_{n}(x)$ $F_{n}(x)-F_{n}(a)$

Considere un conjunto de medida completa en el que todos y existen . Para y cualquiera tenemos: $mi$ $F_{n}'(x)$ $F'(x)$ $x\subconjunto E$ $\varepsilon$

{\frac {\sum \limits _{{n=1}}^{\infty }[F_{n}(\varepsilon)-F_{n}(x)]}{\varepsilon -x}}={\ fracción {F(\varepsilon)-F(x)}{\varepsilon -x}}.

Como los términos de la izquierda no son negativos, para cualquier $norte$

{\frac {\sum \limits _{{n=1}}^{N}[F_{n}(\varepsilon)-F_{n}(x)]}{\varepsilon -x}}\leqslant {\ fracción {F(\varepsilon)-F(x)}{\varepsilon -x}}.

Pasando al límite en , obtenemos: $\varepsilon \a x$

\sum _{{n=1}}^{N}F_{n}'(x)\leqslant F'(x),

de donde, atendiendo y teniendo en cuenta que todos son no negativos, encontramos: $norte$ $\infty$ $F_{n}'(x)$

\sum _{{n=1}}^{\infty}F_{n}'(x)\leqslant F'(x).\qquad (2)

Demostremos que, de hecho, para casi todos , el signo de igualdad se cumple aquí. Encontremos para una suma parcial dada de la serie (1), para la cual: $X$ $k$ $S_{{nk}}(x)$

0\leqslant F(b)-S_{{nk}}(b)\prec {\frac {1}{2^{k}}}.\quad (k=1,\;2,\;\ldots )

Dado que la diferencia

F(x)-S_{{nk}}(x)=\sum_{{j\succ nk}}F_{j}(x)

es una función no decreciente, entonces para todo

X

0\leqslant F(x)-S_{{nk}}(x)\prec {\frac {1}{2^{k}}}

y, en consecuencia, una serie de funciones no decrecientes

\sum _{{k=1}}^{\infty}[F(x)-S_{{nk}}(x)]

converge (incluso uniformemente) en todo el segmento . $a\leqslant x\leqslant b$

Pero entonces, por lo que se ha demostrado, la serie de derivadas también converge en casi todas partes. El término común de esta serie tiende a cero en casi todas partes y, por lo tanto, en casi todas partes . Pero si la desigualdad (2) tuviera el signo , entonces ninguna sucesión de sumas parciales podría tener un límite . Por tanto, en la desigualdad (2), casi para cada , debe darse el signo de igualdad, que es lo que hemos afirmado. $F'(x)-S_{{nk}}'(x)$ $S_{{nk}}'(x)\to F'(x)$ $<$ $F'(x)$ $X$