El pequeño teorema de Fubini

El pequeño teorema de Fubini es un teorema de diferenciación término por término para una serie de funciones monótonas que dice:

En todas partes series convergentes de funciones monótonas (no decrecientes):

admite la diferenciación término por término en casi todas partes:

Prueba

Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que todas las funciones son no negativas e iguales a cero para ; de lo contrario, puede reemplazar con . La suma de una serie de funciones no decrecientes es, por supuesto, una función no decreciente.

Considere un conjunto de medida completa en el que todos y existen . Para y cualquiera tenemos:

Como los términos de la izquierda no son negativos, para cualquier

Pasando al límite en , obtenemos:

de donde, atendiendo y teniendo en cuenta que todos son no negativos, encontramos:

Demostremos que, de hecho, para casi todos , el signo de igualdad se cumple aquí. Encontremos para una suma parcial dada de la serie (1), para la cual:

Dado que la diferencia

 es una función no decreciente, entonces para todo

y, en consecuencia, una serie de funciones no decrecientes

converge (incluso uniformemente) en todo el segmento .

Pero entonces, por lo que se ha demostrado, la serie de derivadas también converge en casi todas partes. El término común de esta serie tiende a cero en casi todas partes y, por lo tanto, en casi todas partes . Pero si la desigualdad (2) tuviera el signo , entonces ninguna sucesión de sumas parciales podría tener un límite . Por tanto, en la desigualdad (2), casi para cada , debe darse el signo de igualdad, que es lo que hemos afirmado.