Teoría de colas

La teoría de las colas , o teoría de las colas, es una sección de la teoría de la probabilidad , cuyo propósito es la elección racional de la estructura del sistema de colas y el proceso del servicio basado en el estudio del flujo de los requisitos del servicio que entran y salen del sistema, el tiempo de espera y longitudes de cola [1] . La teoría de colas utiliza métodos de la teoría de la probabilidad y las estadísticas matemáticas .

Historia

La teoría del flujo de eventos homogéneos , que formó la base de la teoría de las colas, fue desarrollada por el matemático soviético A. Ya. Khinchin [2] .

Los primeros problemas en la teoría de colas ( QMT ) fueron considerados por el científico de la compañía telefónica de Copenhague Agner Erlang entre 1908 y 1922. La tarea era agilizar el trabajo de la central telefónica y calcular de antemano la calidad del servicio al cliente en función de la cantidad de dispositivos utilizados.

Hay un nodo telefónico ( dispositivo de servicio ), donde los operadores telefónicos de vez en cuando conectan números de teléfono individuales entre sí. Los sistemas de colas (QS) pueden ser de dos tipos: con espera y sin espera (es decir, con pérdidas). En el primer caso, una llamada ( demanda, solicitud ), que llegó a la estación en el momento en que la línea requerida está ocupada, debe esperar el momento de la conexión. En el segundo caso, "sale del sistema" y no requiere la atención del QS.

Los sistemas de colas son una herramienta matemática eficaz para estudiar una amplia gama de procesos socioeconómicos [3] y demográficos reales [4] .

Flujo

Flujo uniforme

El flujo de solicitudes es homogéneo si:

todas las aplicaciones son iguales
sólo se consideran los momentos de la recepción de las solicitudes, es decir, los hechos de las solicitudes sin especificar los detalles de cada solicitud en particular.

Flujo sin repercusión

Un flujo sin repercusión , si el número de eventos en cualquier intervalo de tiempo ( , ) no depende del número de eventos en cualquier otro intervalo de tiempo que no se cruce con el nuestro ( , ). $t$ $t+x$ $t$ $t+x$

Flujo estacionario

El flujo de solicitudes es estacionario si la probabilidad de ocurrencia de n eventos en el intervalo de tiempo ( , ) no depende del tiempo , sino que depende únicamente de la longitud de esta sección. $t$ $t+x$ $t$ $X$

El flujo más simple

Un flujo estacionario homogéneo sin efectos secundarios es el flujo de Poisson más simple .

El número de eventos de tal flujo que cae en el intervalo de longitud se distribuye de acuerdo con la Ley de Poisson : $norte$ $X$

P(n,x)={\frac {(\lambda x)^{n}e^{-\lambda x}}{n!}}.

El flujo de solicitudes de Poisson es conveniente para resolver problemas de TMT. Estrictamente hablando, los flujos más simples son raros en la práctica, pero muchos flujos simulados pueden considerarse como los más simples.

Flujo normal

Un flujo estacionario sin efectos secundarios, para el cual los intervalos entre eventos se distribuyen de acuerdo con la ley normal, se denomina flujo normal [5] : . $f(t)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma _{t}}}\exp {-{\frac {1}{2}}\left({ \frac {t-m_{t}}{\sigma _{t}}}\right)^{2}}$

Corriente de Erlang

Un flujo de Erlang de orden th es un flujo estacionario sin efectos secundarios, en el que los intervalos entre eventos son la suma de variables aleatorias independientes distribuidas de manera idéntica según una ley exponencial con un parámetro [6] . Cuando el flujo de Erlang es el flujo más simple. $k$ $k+1$ $\lambda$ $k=0$

La densidad de distribución del valor aleatorio del intervalo T entre dos eventos vecinos en el flujo de Erlang de orden th es: , . $k$ ${\displaystyle f_{k}(t)={\frac {\lambda (\lambda t)^{k)){\Gamma (\alpha )))\exp {-\beta t))$ ${\ estilo de visualización t> 0, \ alfa \ geqslant 1}$

Flujo gamma

Un flujo gamma es un flujo estacionario sin efectos secundarios, en el que los intervalos entre eventos son variables aleatorias sujetas a una distribución gamma con parámetros y : , , donde [7] . $\alfa$ $\beta$ $f(t)={\frac {\beta ^{\alpha }t^{\alpha -1}}{k!}}\exp {-\lambda t}$ $t>0$ $\Gamma (\alpha )=\int _{0}^{\infty }x^{\alpha -1}\exp {-x}dx$

En , el flujo gamma es un flujo de Erlang del orden th. ${\ estilo de visualización \ alfa = k + 1}$ $k$

Densidad instantánea

La densidad instantánea ( intensidad ) del flujo es igual al límite de la relación entre el número medio de eventos por intervalo de tiempo elemental ( , ) y la longitud del intervalo ( ), cuando este último tiende a cero. $t$ $t+x$ $X$

\lambda (t)=\lim _{{x\to 0}}\left({\frac {M(t+x)-M(t)}{x}}\right)

o, para el flujo más simple,

\lambda ={\frac {M(x)}{x)),

donde es igual a la expectativa matemática del número de eventos en el intervalo . $M(x)$ $X$

Fórmula de Little

N^{*}=\lambda T.

El número promedio de solicitudes en el sistema es igual al producto de la intensidad del flujo de entrada y el tiempo promedio de residencia de la solicitud en el sistema.

Véase también

Notas

↑ Teoría de colas // Diccionario enciclopédico matemático. - M .: "Enciclopedia soviética", 1988, págs. 327-328
↑ Diccionario de cibernética / Editado por el académico V. S. Mikhalevich . - 2do. - Kyiv: Edición principal de la Enciclopedia soviética ucraniana que lleva el nombre de MP Bazhan, 1989. - S. 486. - 751 p. - (C48). — 50.000 copias. - ISBN 5-88500-008-5 .
↑ Afanasyeva L. G., Rudenko I. V. Sistemas de servicio GI|G|∞ y sus aplicaciones al análisis de modelos de transporte // Teoría de la probabilidad y su aplicación. - 2012. T. 57 Edición. 3.- S. 427-452.
↑ Nosova M. G. Sistema autónomo de colas no markovianas y su aplicación en problemas demográficos: dis. … cand. física.matemáticas Ciencias: 13.05.18. - Tomsk, 2010. - S. 204.
↑ Ovcharov, 1969 , pág. 22
↑ Ovcharov, 1969 , pág. 24
↑ Ovcharov, 1969 , pág. 40

Literatura

Ivchenko G.I., Kashtanov V.A., Kovalenko I.N. Teoría de colas. — Libro de texto para universidades. - M. : Escuela superior, 1982. - 256 p. — 20.000 copias.
Kleinrock L. Teoría de las colas. Por. De inglés. / por I. I. Grushko; edición VI Neiman. - M. : Mashinostroenie, 1979. - 432 p. — 10.000 copias.
Matveev VF, Ushakov VG Sistemas de colas. - M. : MGU, 1984. - 240 p.
Diccionario Enciclopédico Matemático / Cap. edición Yu. V. Prokhorov. - M. : Enciclopedia soviética, 1988. - 847 p.
Lifshits A. L., Malts E. A. Modelado estadístico de sistemas de colas / Prefacio. miembro correspondiente Academia de Ciencias de la URSS N. P. Buslenko . - M . : Sov. Radio, 1978. - 248 págs.
Ventzel E. S. , Ovcharov L. A. Teoría de la probabilidad (Capítulo 10. Procesos de Markov. Flujos de eventos. Teoría de colas). - M. : "Ciencia". Editorial Principal de Literatura Física y Matemática, 1969. - 368 p. — 100.000 copias.
Borovkov AA Procesos probabilísticos en la teoría de las colas. - M. : "Ciencia". Editorial Principal de Literatura Física y Matemática, 1972. - 368 p. - (Teoría de la Probabilidad y Estadística Matemática). - 13.000 copias.
Ovcharov L. A. Problemas aplicados de la teoría de las colas. - M. : Mashinostroenie, 1969. - 323 p. - 7500 copias.
Gnedenko B. V. , Kovalenko I. N. Introducción a la teoría de las colas. - M .: Editorial "Nauka", Edición principal de literatura física y matemática, 1966. - 432 p. - 12000 copias.

diccionarios y enciclopedias

En catálogos bibliográficos
BNF : 12647707b TIERRA : 4255044-0 J9U : 987007553435905171 LCCN : sh85109832 NDL : 00567524 NKC : ph276803