Matriz de Toeplitz

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La matriz de Toeplitz ( matriz diagonalmente constante ) es una matriz en la que todas las diagonales paralelas a la principal tienen elementos iguales:

A={\begin{bmatrix}a_{0}&a_{-1}&a_{-2}&\ldots &\ldots &a_{-n+1}\\a_{1}&a_{0}&a_{ -1}&\ddots &&\vdots \\a_{2}&a_{1}&\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &a_{-1}&a_ {-2}\\\vpuntos &&\dpuntos &a_{1}&a_{0}&a_{-1}\\a_{n-1}&\lpuntos &\lpuntos &a_{2}&a_{1}&a_{0} \end{bmatriz}}

es decir, se cumple la siguiente relación:

{\displaystyle a_{i,\,j}=a_{i-1,\,j-1))

Nombrado en honor al matemático alemán Otto Toeplitz .

Ejemplo

Matriz 4×5:

M={\begin{pmatrix}4&5&6&7&8\\3&4&5&6&7\\2&3&4&5&6\\1&2&3&4&5\\\end{pmatrix))

Propiedades

Se pueden agregar dos matrices Toeplitz en las operaciones. La matriz de Toeplitz se puede multiplicar por un vector en operaciones, y la multiplicación de matrices de Toeplitz se puede realizar en operaciones. $En)$ $O(n\log n)$ $O(n^{2})$

El sistema de ecuaciones lineales de Toeplitz , es decir, el sistema de la forma , donde es la matriz de Toeplitz, se puede resolver por el método de Levinson en el tiempo [1] [2] . $hacha=b$ $A$ $O(n^{2})$

Las matrices de Toeplitz también están relacionadas con las series de Fourier : el operador de multiplicación por un polinomio de senos o cosenos , proyectado en un espacio de dimensión finita , puede representarse mediante una matriz de este tipo.

Véase también

Notas

↑ Krishna, H.; Wang, Y. The Split Levinson Algorithm is Weakly Stable (inglés) // SIAM Journal on Numerical Analysis : journal. - 1993. - vol. 30 , núm. 5 . - Pág. 1498-1508 . -doi : 10.1137/ 0730078 .
↑ Blahut R. E. // Algoritmos rápidos para el procesamiento de señales digitales / Per. De inglés. I. I. Grushko. — M .: Mir, 1989. — 448 p. — ISBN 5-09-001009-2 .

Enlaces

Matrices Tyrtyshnikov E. E. Toeplitz, algunos de sus análogos y aplicaciones / Editor ejecutivo Corr. URSS VV Voevodin. - M. : VINITI, 1989. - 184 p. - 150 copias. Archivadoel 26 de agosto de 2017 enWayback Machine

robert m gris Toeplitz y Matrices Circulantes: Una Revisión . - California, EE.UU.: nowpublishers.com, 2000. - 98 p.

Babenko, K. I. Sobre las matrices de Toeplitz y Hankel // Avances en Ciencias Matemáticas. - 1986. - T. 41, N° 1 (247). - S. 171-178.

Iokhvidov IS Gankel y Toeplitz matrices y formas: Algebraich. teoría _ — M .: Nauka, 1974. — 263 p.

Matrices Pustylnikov L. D. Toeplitz y Hankel y sus aplicaciones // Uspekhi matematicheskikh nauk. - 1984. - T. 39, N° 4 (238). - S. 53-84.