Circulante

Una matriz circulante o circulante es una matriz de la forma

C={\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}&\cdots &a_{n}\\a_{n}&a_{1}&\cdots &a_{n-1}\\\vdots & \vdots &\ddots &\vdots \\a_{2}&a_{3}&\cdots &a_{1}\\\end{pmatrix}},

donde todos son números complejos [1] . El circulante también se puede describir brevemente como [2] . Así, una circulante es una matriz en la que cualquier fila (columna) siguiente, a partir de la primera (desde la primera), se obtiene mediante una permutación alfabética cíclica de los elementos de la fila (columna) anterior. Cualquier matriz circulante es, por definición, Toeplitz . $ai}$ $C_{ij}=a_{j-i+1{\pmod {n))},\i,j=1,\ldots,n$

Además, el determinante de dicha matriz a menudo se denomina circulante [3] .

Propiedades

Sean y sean matrices circulantes. Entonces las siguientes propiedades se cumplen [4] . $A$ $B$

${\ estilo de visualización AB = BA}$ y - circulador. $AB$
Las matrices (elemento-sabio complejo conjugado ), ( transpuesto ) y ( hermitiano conjugado ) son circulantes. $\sobrelínea {A}$ $A^{\mathrm {T} }$ $un^{*}$
La matriz es circulante en . $A^{k}$ $k\geqslant0$
Si no es degenerado , entonces es circulante. $A$ $A^{{-1}}$
La matriz es persimétrica y normal . $A$

Determinante

Denotemos la raíz primitiva de la unidad como . Entonces se cumple la siguiente fórmula para el determinante circulante : $\zeta$ $norte$ $C$

\operatorname {det} C=\prod \limits _{k=0}^{n-1}(a_{1}+a_{2}\zeta ^{k}+\ldots +a_{n- 1}\zeta^{k(n-2)}+a_{n}\zeta^{k(n-1)})

Prueba

Denotemos y . Multiplique el circulante de la derecha por el determinante de Vandermonde de la forma : ${\displaystyle f(x)=a_{1}+a_{2}x+\ldots +a_{n}x^{n-1))$ ${\ estilo de visualización \ zeta _ {k} = \ zeta ^ {k}}$ ${\displaystyle |\zeta _{j}^{i-1}|_{n\times n))$

{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}&\cdots &a_{n}\\a_{n}&a_{1}&\cdots &a_{n-1}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{2}&a_{3}&\cdots &a_{1}\end{vmatrix}}\cdot {\begin{vmatrix}1&1&\cdots &1\\\zeta _{1}& \zeta _{2}&\cdots &\zeta _{n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\zeta _{1}^{n-1}&\zeta _{2} ^{n-1}&\cdots &\zeta _{n}^{n-1}\end{vmatriz}}={\begin{vmatriz}f(\zeta _{1})&f(\zeta _{ 2})&\cdots &f(\zeta _{n})\\\zeta _{1}f(\zeta _{1})&\zeta _{2}f(\zeta _{2})&\ cpuntos &\zeta _{n}f(\zeta _{n})\\\vpuntos &\vpuntos &\dpuntos &\vpuntos \\\zeta _{1}^{n-1}f(\zeta_{ 1})&\zeta _{2}^{n-1}f(\zeta _{2})&\cdots &\zeta _{n}^{n-1}f(\zeta _{n}) \end{vmatriz}}=

$=f(\zeta _{1})f(\zeta _{2})\ldots f(\zeta _{n})\cdot {\begin{vmatrix}1&1&\cdots &1\\\zeta _ {1}&\zeta _{2}&\cdots &\zeta _{n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\zeta _{1}^{n-1}&\zeta _ {2}^{n-1}&\cdots &\zeta _{n}^{n-1}\end{vmatriz}}$

A continuación, cancelamos el determinante de Vandermonde como distinto de cero. ■

En otras palabras, los valores propios del circulante son iguales a la transformada discreta de Fourier del vector [3] . $\left(a_{1},\ldots,a_{n}\right)$

Ejemplos

Para el determinante circulante es: $n=2$

\operatorname {det} {\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}\\a_{2}&a_{1}\end{pmatrix}}=(a_{1}-a_{2}) (a_{1}+a_{2}).

para : $n=3,\omega ^{3}=1,\omega \neq 1$

\operatorname {det} {\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\a_{3}&a_{1}&a_{2}\\a_{2}&a_{3} &a_{1}\end{pmatriz}}=(a_{1}+a_{2}+a_{3})(a_{1}+a_{2}\omega +a_{3}\omega ^{2} )(a_{1}+a_{2}\omega ^{2}+a_{3}\omega ).

Definiciones relacionadas

Anticirculante

Anticirculante es una matriz de una forma similar [5] :

{\begin{pmatrix}a_{1}&-a_{n}&-a_{n-1}&\cdots &-a_{2}\\a_{2}&a_{1}&-a_{ n}&\cdots &-a_{3}\\a_{3}&a_{2}&a_{1}&\cdots &-a_{4}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n}&a_{n-1}&a_{2}&\cdots &a_{1}\\\end{pmatriz}}.

kosocirculante

Ver matriz

\left({\begin{matriz}{ccccc}a_{1}&\varphi a_{n}&\varphi a_{n-1}&\cdots &\varphi a_{2}\\a_{2 }&a_{1}&\varphi a_{n}&\cdots &\varphi a_{3}\\a_{3}&a_{2}&a_{1}&\cdots &\varphi a_{4}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n}&a_{n-1}&a_{n-2}&\cdots &a_{1}\end{matriz}}\right)

se llama -sesgo-circulante de orden en [6] . $\varphi$ $norte$ ${\ estilo de visualización \ varphi \ neq 0}$

Obviamente, el circulante es un circulante sesgado y el anticirculante es un circulante sesgado. $(una)$ $(-una)$

Véase también

matriz de Hankel

Enlaces

Weisstein, Eric W. Circulant Matrix (inglés) en el sitio web Wolfram MathWorld .

Notas

↑ Aldrovandi, 2001 , pág. 83.
↑ Davis, 1979 , pág. 66.
↑ 1 2 Aldrovandi, 2001 , pág. 84.
↑ Bernstein, DS Matrix Mathematics: teoría, hechos y fórmulas . - 2ª ed. - Princeton University Press , 2009. - P. 356. - ISBN 978-0-691-13287-7 .
↑ Bini, Pan, 1994 , pág. 132.
↑ Voevodin, Tyrtyshnikov, 1987 , p. 47.

Literatura

Maltsev, A. I. Fundamentos de álgebra lineal. —M.:Nauka, 1975. — 400 p. (Ruso)
Davis, PJ Matrices circulantes . - John Wiley & Sons , 1979. - ISBN 0-471-05771-1 .
Aldrovandi, R. Matrices especiales de física matemática :estocásticas, circulantes y de Bell . - World Scientific , 2001. - ISBN 9810247087 .
Bini, D. , Pan, VY Cálculos matriciales y polinómicos (inglés) . - Birkhäuser Boston, 1994. - ISBN 0-8176-3786-9 .
Voevodin, V. V. , Tyrtyshnikov, E. E. Procesos computacionales con matrices Toeplitz. —M.:Nauka, 1987. — 320 p. (Ruso)