Método de galera

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El método de la galera (método de tachado) es un método de división que se usó más en Europa hasta alrededor de 1600 y siguió siendo popular hasta finales del siglo XVIII [4] . El método surgió sobre la base de los métodos chinos e indios. El método es mencionado por Al-Khwarizmi en las obras de 825 [4] , por Luca Pacioli en 1492 [3] .

A diferencia de los métodos anteriores, en este método no se borraban los números, sino que se tachaban [4] . Es similar al método moderno de división por una columna , sin embargo, en el método de galera, la resta de productos parciales se realizaba de izquierda a derecha, y no de derecha a izquierda, como en los métodos modernos.

El método obtuvo su nombre por la similitud de las líneas registradas durante el cálculo con la silueta de la embarcación del mismo nombre [4] [3] . Al mismo tiempo, las líneas oblicuas que servían para tachar los números parecían remos. A veces, para obtener una similitud, el dibujo debe girarse 90 ° [5] .

También se utilizó un método similar para extraer las raíces .

Historia

Las operaciones aritméticas con capacidad numérica creciente se vuelven muy laboriosas y sensibles a los errores mecánicos, y la división es la más difícil de ellas. “Negocio difícil es división” ( italiano dura cosa e la partita ) era una antigua expresión italiana [6] :40 .

Aunque la división se consideró una operación difícil en Europa hasta el siglo XV, la división no se consideró particularmente difícil en China e India [4] [7] . El método de división se menciona en " Matemáticas en nueve libros " (siglo II dC) y se describe en detalle en el Tratado matemático Sun Tzu (siglo III-V) [4] . Muchas obras indias sobre matemáticas no describen el método de división, suponiendo que se conozca. Por ejemplo, Aryabhata (499) no escribe sobre el método de división , aunque, sin duda, el método de división era conocido por sus lectores, ya que Aryabhata describe un método de extracción de raíces que requiere división. En las matemáticas indias, Sridhari menciona por primera vez un método de división similar al chino (circa 800). Aryabhata II da una descripción detallada del método en el siglo X [7] .

El método indio se hacía con arena o tiza sobre una pizarra. El método chino usaba palos como números. En ambos casos, los números eran fáciles de borrar. En estos métodos, el divisor se escribía debajo del dividendo. Como en el método moderno de división de columnas , los productos parciales se restaron del dividendo (es decir, los productos del divisor por cada dígito de la respuesta, desplazados por el número apropiado de dígitos). Sin embargo, a diferencia del método moderno, el antiguo dividendo se borró y la diferencia se escribió en su lugar, mientras que el producto parcial en sí no se anotó, ni siquiera se calculó, y la resta se realizó poco a poco de izquierda a derecha. Después de eso, el divisor se desplazó un dígito a la derecha (esta operación en la Europa medieval se llamaba anterioratio en latín ) [7] [4] . En el método chino (y posiblemente en el indio) el cociente se escribía sobre el divisor [4] .

Este método llegó a ser conocido por los árabes, a partir de las obras de Al-Khwarizmi (825) [7] [4] . A partir de ahí, este método llegó a Europa [7] . En Europa, la división se realizaba con tinta sobre papel, por lo que el método de división sufrió una modificación natural debido a que los números no se borraban, sino que se tachaban [3] [7] [4] . Al restar productos parciales del divisor, el resultado se escribía en la parte superior. Se volvió poco práctico escribir el cociente sobre el dividendo, comenzaron a escribirlo a la derecha [4] . Esta modificación se conoció como el método galley ( galea, batello ) [7] , los británicos también llamaron a este método el método scratch [5] [ 7 ] .

El famoso matemático italiano Niccolò Tartaglia (siglo XVI) en su famoso libro de texto de aritmética escribió lo siguiente sobre el método [6] :41 :

El segundo modo de división se llama en Venecia barca o galera, por cierta semejanza de la figura que de ella resulta, porque en la división de unas clases de números se forma una figura que parece una barca, y en otras - como una galera, que es realmente hermosa; a veces, una galera está bien terminada y equipada con todos los accesorios: se presenta a partir de los números de tal manera que realmente parece una galera con popa y proa, mástil, velas y remos.

Texto original (italiano)[ mostrarocultar] Il secondo modo di partire, è detto in Venetia per batello, ouer per galea per certe similitudine di figure, che di tal atto resultano, perche in la partitione di alcune specie di numeri nasce vna certa figura alla similitudine di vno batello, materiale, & in alcuni altri, vna figura simile a vna galea legno maritimo, perche in effetto il pare vna gentilezza a vedere, in alcune specie di numeri vna galea ben lauorata, & tratteggiata con li suoi depenamenti protratti tutti, per vn verso, talmente che in la dispositione paiono veramente vna figura simile alla detta galea materiale, con la proua, poppa, albero, vela, & remi, come che nel processo si vedra manifesto [1] :32 .

Es interesante notar que el método de la galera de tinta fue traído a China desde Europa y publicado en un tratado sobre aritmética europea 1613 [4] .

En Rusia, el método de la galera se usó hasta mediados del siglo XVIII: en la "Aritmética" de Leonty Magnitsky , se describe entre los seis métodos de división allí propuestos y es especialmente recomendado por el autor; a lo largo de la presentación del material de su libro, Magnitsky utiliza principalmente el método de la galera, sin mencionar el nombre mismo [6] :41,42 .

Compitiendo con el método de la galera estaba el llamado "método italiano" [3] (o "división áurea" [5] ), que ahora se conoce como división en columnas . Este método apareció impreso en 1491 en la “Aritmética” [8] de Calandri , aunque incluso antes se encontraba en manuscritos del siglo XV [3] . En él, el producto parcial se calculó explícitamente y se escribió debajo del dividendo, luego se restó del dividendo y el resultado se escribió debajo. La resta se realizaba, como en la habitual suma de columnas , partiendo de las cifras menos significativas, lo que permitía ahorrar en el registro, pero al mismo tiempo era necesario recordar el traslado de la descarga en la mente [3] . La principal ventaja de este método es que todas las acciones son visibles desde su registro, lo que facilita la verificación de los cálculos y la corrección rápida de errores. Sin embargo, la desventaja de este método es que necesita multiplicar números de varios dígitos por números de un solo dígito [5] .

Posteriormente, apareció un método de división abreviado ("método austriaco"). Era similar al italiano, pero, a diferencia de él, en él, como en el método de galera, los productos parciales no se calculaban explícitamente, sino que se restaban inmediatamente poco a poco. Sin embargo, a diferencia del método de la galera, las restas se hacían a partir de los dígitos menos significativos, lo que permitía ahorrar en el registro. Así, este método combinó las ventajas del método de la galera y el método italiano [3] . La desventaja de este método es que la calculadora necesita almacenar más información en la mente.

Todos estos métodos compitieron en Europa con la "división de hierro": el método de división con ábaco descrito por el monje matemático Herbert (futuro Papa Silvestre II) [5] .

Esencia del método

El método de la galera, aunque más difícil de escribir, es similar al método moderno de división por columnas . Al igual que con la división por una columna, el cociente se calcula por dígitos, comenzando con el dígito más significativo: en cada paso, se selecciona un dígito del cociente. El dígito más grande se toma como dígito privado, de modo que el producto parcial (el producto de este dígito y el divisor desplazado por el número correspondiente de dígitos) se puede restar del dividendo, mientras permanece en números positivos. Después de eso, el producto parcial se resta del dividendo, el divisor mismo se desplaza un bit a la izquierda y se repite el proceso. A diferencia de la división moderna por una columna, en el método de la galera no se calcula el producto parcial y la resta se produce por dígitos de izquierda a derecha. Además, en el método de la galera, el resultado de la resta se escribe en la parte superior, no en la parte inferior.

Ejemplo

Considere un ejemplo de Treviso Arithmetic (1478), en el que 65284 se divide por 594 [4] . El ejemplo se divide en varios pasos: en cada paso, los números que se agregan en este paso están en negrita y los números que están tachados están en cursiva. Para facilitar la percepción, los números con los que se realizan las acciones están resaltados en color; de hecho, solo se utilizó un color de tinta en el método.

Primero, el divisor ( 594 ) se escribió debajo del dividendo ( 65284 ):

65284 594

Paso 1: el divisor 594 ingresa 652 solo una vez . Entonces el primer dígito del cociente es 1 . Lo escribimos a la derecha y restamos del dividendo 1 × 594 (desplazado dos dígitos). En el método de galera, esto se hace de izquierda a derecha: primero, el primer dígito (5), luego el segundo dígito (9) y finalmente el último dígito (4) se restan de los dígitos correspondientes.

652 84 \| 1 594 Paso 1 : 594 ingresa 652 una vez .	1 6 5284 \| 1 5 94 Paso 1a: 6 − 5 = 1	1 6 6 5 284 \| 1 5 9 4 Paso 1b: 15 − 9 = 6	5 1 6 8 65 2 84 \| 1 59 4 Paso 1c: 62 − 4 = 58

652 84 | 1 594

Paso 1 : 594 ingresa
652 una vez .

1 6 5284 | 1 5 94

Paso 1a: 6 − 5 = 1

1 6 6 5 284 | 1 5 9 4

Paso 1b: 15 − 9 = 6

5 1 6 8 65 2 84 | 1 59 4

Paso 1c: 62 − 4 = 58

Paso 2: desplaza el divisor un bit a la derecha ( anterioratio ). Dado que el divisor compensado resultante ( 594 ) es mayor que lo que queda del dividendo ( 588 ...), no podemos restar el divisor ni una sola vez, lo que significa que el segundo dígito del cociente es 0 :

5 16 8 652 8 4 \| 1 0 594 4 59 Paso 2: 594 entra en 588 cero veces.

5 16 8 652 8 4 | 1 0 594 4 59

Paso 2: 594 entra
en 588 cero veces.

Paso 3: desplaza el divisor un bit más a la derecha. Ahora necesitamos restar 594 de 5884 . Esto se puede hacer 9 veces. Escribe 9 como cociente y resta 9 × 594 del dividendo . En este caso, no calculamos 9 × 594 , sino que simplemente restamos 9 × 5 , 9 × 9 y 9 × 4 de los dígitos correspondientes.

5 16 8 652 84 \| 10 9 5944 4 59 9 5 Paso 3: 594 entra en 5884 nueve veces.	1 5 3 16 8 652 84 \| 10 9 5944 4 59 9 5 Paso 3a: 58 − 9 × 5 = 13	1 5 5 3 168 7 652 8 4 \| 109 59444 59 9 5 Paso 3b: 138 − 9 × 9 = 57	1 5 53 3 168 7 8 6528 4 \| 10 9 5944 4 599 5 Paso 3c: 74 − 9 × 4 = 38

5 16 8 652 84 | 10 9 5944 4 59 9 5

Paso 3: 594 entra
en 5884 nueve veces.

1 5 3 16 8 652 84 | 10 9 5944 4 59 9 5

Paso 3a: 58 − 9 × 5 = 13

1 5 5 3 168 7 652 8 4 | 109 59444 59 9 5

Paso 3b: 138 − 9 × 9 = 57

1 5 53 3 168 7 8 6528 4 | 10 9 5944 4 599 5

Paso 3c: 74 − 9 × 4 = 38

Respuesta: dividir 65284 por 594 da el cociente 109 y el resto es 538 .

1 5 53 3 1687 8 65284 \| 109 59444 599 5 Resultado de cálculo completo

1 5 53 3 1687 8 65284 | 109 59444 599 5

Resultado de cálculo completo

Comparación con otros métodos

A modo de comparación, presentamos la misma división, realizada con eliminación de números, así como los métodos italiano y austriaco [3] . Como se mencionó anteriormente, estos métodos difieren en la forma en que restan el producto parcial. Por ejemplo, el último paso resta el producto parcial de 9×594. En el método italiano, primero se calcula 9 × 594 = 5346 y luego se resta el resultado. En el método de galera y en el método de borrado de dígitos no se calcula el producto, sino que se resta secuencialmente: 9×500, 9×90, 9×4. Al mismo tiempo, en el método de borrar números, el resultado se escribe en lugar del restado, y en el método de galera, se escribe en la parte superior y los números antiguos se tachan. Por último, en el método austriaco tampoco se calcula el producto, sino que se resta secuencialmente: 9×4, 9×90, 9×500. Dado que las restas comienzan con los bits más bajos, solo se escribe un bit en cada paso y el bit más significativo se transfiere , lo que le permite acortar la notación, pero requiere que recuerde el acarreo en su mente.

Método de borrado de dígitos	65284 \| 594 594 \| 109 5884 5346 538 método italiano	65284 \| 594 5884 \| 109 538 método austriaco

Método de borrado de dígitos

65284 | 594 594 | 109 5884 5346 538

método italiano

65284 | 594 5884 | 109 538

método austriaco

Opciones

Sin números tachados

A veces no se tachaban los números. En este caso, solo se consideraron los dígitos más alto y más bajo. En este caso, en lugar de tachado, se escribieron ceros en la parte superior de la columna. Ver la ilustración al principio del artículo.

Con el cálculo de productos parciales

A veces se calculaban productos parciales. Esta opción prácticamente no difiere de la división moderna por una columna. La única diferencia es dónde se escriben los números: el método de galera usa menos papel, ya que los números se escriben de forma más compacta, sin espacios vacíos entre ellos. Pero al dividir por una columna, los cálculos son más visibles y más fáciles de verificar.

Como ejemplo de esta opción, considere dividir 44977 por 382 [2] . Una cifra corresponde a recibir un decimal del cociente.

1) 67 (Multiplicación: 1 x382= 382 ) 382 | 449 77 | 1 (Diferencia: 449 − 382 = 67 ) 382 2) 29 (Multiplicación: 1 x382= 382 ) 67 5 (Diferencia: 677 − 382 = 295 ) 382 | 449 7 7 | 1 1 382 2 38 3) 2 (Multiplicación: 7 x382= 2674 ) 29 8 (Diferencia: 2957 − 2674 = 283 ) 67 5 3 382 | 44977 | _ 11 7 Respuesta: Privado 117 , resto 283 . 3822 4 38 7 26

Comprobación de divisiones

Había un método para verificar los restos de la división por un número pequeño. La mayoría de las veces, se utilizó el método de verificación por restos de 9 , ya que el resto cuando se divide por 9 es muy fácil de encontrar: solo encuentra la suma de los dígitos del número. Sin embargo, este método de verificación no detectó errores comunes cuando el dígito caía en el lugar equivocado. Por lo tanto, también se usaron métodos más confiables pero complicados: verificar los restos para 7 u 11.

La esencia del método es la siguiente. Supongamos que al dividir un número por , obtenemos un cociente incompleto y un resto . Esto significa que . Para comprobar esta igualdad, se calcularon los restos de , y para un número pequeño (por ejemplo, 9). Sean estos residuos , , y , respectivamente . Entonces y debe tener el mismo resto. $A$ $B$ $q$ $R$ ${\ estilo de visualización A = BQ + R}$ $A$ $B$ $q$ $R$ $a$ $b$ $q$ $r$ $a$ ${\ estilo de visualización bq+r}$

Estos restos se escribieron en forma de "bandera": A veces, en lugar de una cruz + , se usaba una cruz × . ${\begin{array}{c|c}q&r\\\hline b&a\end{array)).$

Por ejemplo, Niccolo Tartaglia [1] :34 al dividir 912345 entre 1987 obtuvo 459 y 312 en el resto. Para comprobar esto, tomó los restos de estos números cuando se divide por siete: 912 345 da un resto de 0, 1987 da 6, 459 da 4, 312 da 4. Tartaglia escribe esto como Luego comprueba que es divisible por siete con un resto de 0. Así que el resultado pasó la prueba [9] . ${\begin{matriz}{c|c}4&4\\\hlínea 6&0\end{matriz}}.$ $4\cdot 6+4$

Extracción de raíces

Se utilizó un método similar para extraer las raíces . Al igual que con la división, la respuesta estaba en dígitos.

Para extraer raíces cuadradas en cada paso, se restó del número el cuadrado de la respuesta parcial ya obtenida. Para ello se utilizó la fórmula . Es decir, si en algún paso se asigna una cifra a la respuesta parcial (es decir, una nueva respuesta parcial ), entonces debemos restar del número original . Pero ya restamos en el paso anterior. Así que tenemos que restar . Para ello, en el método de la galera, se escribía el número debajo, la cifra a la derecha y luego se restaba el producto parcial, como en el método habitual [11] . ${\ estilo de visualización (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}$ $a$ $b$ ${\ estilo de visualización 10a+b}$ ${\ estilo de visualización (10a + b) ^ {2}}$ ${\ estilo de visualización (10a) ^ {2}}$ ${\ estilo de visualización (20a + b) b}$ ${\ estilo de visualización 20a+b}$ $b$

A la hora de extraer raíces de grados superiores se utilizaba el binomio de Newton , que se conocía incluso antes de Newton [12] .

Notas

↑ 1 2 3 Nicolás Tartaglia . Libro Primero // General trattato di numeri, et misure. — Vinegia : Curtio Trojano de i Navo, 1556.
↑ 1 2 Carl B. Boyer, Uta C. Merzbach. Una historia de las matemáticas . — John Wiley & Sons, 2011-01-25. — 680 s.
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Leland Locke. Matemáticas puras // La ciencia-historia del universo / Francis Rolt-Wheeler (editor jefe). Nueva York: Publicación de literatura actual. Co.. - vol. VIII. — 354 pág. - Pág. 48-52. Archivado el 19 de febrero de 2020 en Wayback Machine .
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Lam Lay-Yong. Sobre el origen chino del método de galera de división aritmética (inglés) // The British Journal for the History of Science. - 1966/06. — vol. 3 , edición. 1 . - P. 66-69 . -doi : 10.1017 / S0007087400000200 . Archivado desde el original el 10 de abril de 2019.
↑ 1 2 3 4 5 Enciclopedia para niños . T. 11. Matemáticas / Capítulo. edición M. D. Aksyonova. - M. : Avanta+, 1998. - S. 132-134. — ISBN 5-89501-018-0 .
↑ 1 2 3 Perelman Ya. I. Aritmética entretenida. - 8ª edición. - M. : Detgiz , 1954. - 100.000 ejemplares.
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 B. Datta , AN Singh. Parte I: Notación numérica y aritmética // Historia de las matemáticas hindúes: un libro de consulta . - 1962. - S. 150.
↑ Filippo Calandri. Aritmetica (italiano) / Lorenzo Morgiani y Johann Petri. — 1491.
↑ Florián Cajori. Una historia de las notaciones matemáticas . — Corporación de mensajería, 2013-09-26. - S. 260-261. — 865 pág.
↑ Nicolás Tartaglia . Libro Segundo // General trattato di numeri, et misure. - Vinegia : Curtio Trojano de i Navo, 1556. - S. 28.
↑ Graham Flegg. Números: su historia y significado . — Corporación de mensajería, 2013-05-13. - S. 133. - 307 pág.
↑ David E. Smith. Historia de las Matemáticas . — Corporación de mensajería, 1958-06-01. - S. 148. - 739 pág.