Signos de divisibilidad

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El signo de la divisibilidad es un algoritmo que permite determinar con relativa rapidez si un número es múltiplo de uno predeterminado [1] . Si el signo de la divisibilidad te permite averiguar no solo la divisibilidad de un número por uno predeterminado, sino también el resto de la división, entonces se llama el signo de la equiresistencia .

Por regla general, los signos de divisibilidad se utilizan para el conteo manual y para números presentados en un sistema numérico posicional específico (generalmente decimal ).

Los conceptos de divisibilidad, equidivisibilidad y equidistinción

Si para dos enteros y existe un entero tal que $a$ $b$ $q,$

b\,q=a,

entonces decimos que el número es divisible por $a$ $b.$

Se dice que dos enteros y son igualmente divisibles por si ambos son divisibles por o ambos no son divisibles por [2] . $a$ $b$ $metro,$ $metro,$

Dos números enteros y son equidistantes cuando se dividen por un número natural (o son comparables módulo ) si dan el mismo resto cuando se dividen por, es decir, hay números enteros tales que $a$ $b$ $metro$ $metro$ $metro$ $q_{1},\,q_{2},\,r,$

a=m\,q_{1}+r,\;\;b=m\,q_{2}+r.

Principios generales de construcción

Si se requiere determinar si un número natural es divisible por otro número natural, para ello se toma una sucesión de números naturales: $A$ $metro.$

A_{0},\,A_{1},\,A_{2},\,A_{3},\,\puntos,\,A_{n},

tal que:

$A_{0}=A;$
cada miembro de la secuencia está determinado por el anterior;
$A_{i}<A_{{i-1}},\quad i=1,\,2,\,3,\,\dots ,\,n-1;$
el último miembro de la secuencia es menor que $metro,$ $0\leqslant A_{n}<m.$
todos los miembros de una secuencia tienen el mismo resto cuando se dividen por $metro.$

Entonces, si el último término de esta sucesión es igual a cero, entonces es divisible por , de lo contrario no es divisible por. $A$ $metro,$ $A$ $metro$

El método (algoritmo) para construir tal secuencia será el criterio deseado para la divisibilidad por Matemáticamente, se puede describir usando una función que determina cada siguiente miembro de la secuencia, dependiendo del anterior: $metro.$ $f(x),$

A_{i}=f\left(A_{{i-1}}\right),\quad i=1,\,2,\,3,\,\dots ,\,n,

satisfaciendo las siguientes condiciones:

cuando el valor no está definido; ${\ estilo de visualización x <m}$ $f(x)$
cuando el valor es un número natural; $x\geqslant m$ $f(x)$
si entonces $x \ geqslant m,$ ${\ estilo de visualización f (x) <x;}$
si entonces y son equivalentes a $x \ geqslant m,$ $f(x)$ $X$ $metro.$

Si el requisito de equidivisibilidad para todos los miembros de la secuencia se reemplaza por un requisito más estricto de equi-residualidad, entonces el último miembro de esta secuencia será el resto de la división por y el método (algoritmo) para construir tal secuencia será un signo de equi -residualidad por Debido a que de la igualdad del resto cuando se divide por cero se sigue la divisibilidad por , cualquier signo de equirresistencia puede usarse como signo de divisibilidad. Matemáticamente, el signo de la equiresistencia también se puede describir usando una función que determina cada siguiente miembro de la secuencia, dependiendo del anterior: $A$ $metro,$ $metro.$ $metro$ $metro$ $f(x),$

A_{i}=f\left(A_{{i-1}}\right),\quad i=1,\,2,\,3,\,\dots ,\,n,

satisfaciendo las siguientes condiciones:

cuando el valor no está definido; ${\ estilo de visualización x <m}$ $f(x)$
cuando el valor es un número natural; $x\geqslant m$ $f(x)$
si entonces $x \ geqslant m,$ ${\ estilo de visualización f (x) <x;}$
si entonces y son equidistantes cuando se dividen por $x \ geqslant m,$ $f(x)$ $X$ $metro.$

La función

f(x)=xm,\quad x\geqslant m,

y la secuencia construida con su ayuda se verá así:

A,\,Am,\,A-2m,\,A-3m,\,\puntos

De hecho, el uso del signo de equiresistencia basado en esta función es equivalente a la división por resta.

Otro ejemplo es el conocido signo de divisibilidad (así como equi-residualidad) por 10.

Si el último dígito en la representación decimal de un número es cero, entonces ese número es divisible por 10; además, el último dígito será el resto de dividir el número original por 10.

Matemáticamente, este signo de igual residualidad se puede formular de la siguiente manera. Sea necesario encontrar el resto después de la división por 10 de un número natural representado en la forma $A,$

A=10\,b+a,\quad 0\leqslant a<10,\quad b\geqslant 0.

Entonces el resto después de dividir por 10 es . La función que describe este signo de equi-residualidad se verá como $A$ $a$

f(A)=a,\quad A\geqslant 10.

Es fácil probar que esta función satisface todos los requisitos anteriores. Además, la secuencia construida con su ayuda contendrá solo uno o dos miembros.

También es fácil ver que dicho signo se enfoca específicamente en la representación decimal de un número , por lo que, por ejemplo, si lo aplica en una computadora que usa la notación binaria de un número, entonces para averiguarlo , el programa primero tendría que dividir por 10. $A$ $a$ $A$

Los siguientes teoremas se usan con mayor frecuencia para construir signos de equiresistencia y divisibilidad:

Para cualquier número entero y enteros naturales y son equidistantes cuando se dividen por $q$ $metro$ $A$ $A+mq$ $metro.$
Para cualquier número entero , natural , los números enteros y son equidivisibles por si el número entero es coprimo con $q$ $metro$ $A$ $pA+mq$ $metro,$ $pags$ $metro.$

Un ejemplo de construcción de signos de divisibilidad y equiresistencia por 7

Demostremos la aplicación de estos teoremas con el ejemplo de los criterios de divisibilidad y equisuficiencia en $m=7.$

Sea un número entero dado

A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0.

Entonces, asumiendo del primer teorema , se seguirá que será equidistante al dividir por 7 con el número $q=-a_{1}$ $A$

A'=A-7a_{1}=\left(10-7\right)a_{1}+a_{0}=3\,a_{1}+a_{0}.

Escribamos la función del signo de igual residualidad en la forma:

f(A)={\begin{casos}3\,a_{1}+a_{0},&A\geqslant A_{{min)),\\A-7,&7\leqslant A<A_{{min} }.\end{casos}}

Y, finalmente, queda por encontrar tal que para cualquiera se cumpla la condición En este caso, y la función toma la forma final: $A_{{min}}\leqslant 7,$ $A\leqslant A_{{min}}$ $3\,a_{1}+a_{0}<A.$ $A_{{min}}=10$

f(A)={\begin{casos}3\,a_{1}+a_{0},&A\geqslant 10,\\A-7,&7\leqslant A<10.\end{casos}}

Y del segundo teorema, suponiendo y coprimo con 7, se seguirá que será equidivisible por 7 con el número $q=3\,a_{1}$ $p=-2,$ $A$

A'=7\cdot 3a_{1}-2A=\left(21-20\right)a_{1}-2\,a_{0}=a_{1}-2\,a_{0}.

Dado que los números y son equidivisibles por 7, escribimos la función del signo de divisibilidad de la forma: $A'$ $\izquierda|A'\derecha|$

f(A)={\begin{casos}\left|a_{1}-2\,a_{0}\right|,&A\geqslant A_{{min}},\\A-7,&7\leqslant A <A_{{min}}.\end{casos}}

f(A)={\begin{casos}\left|a_{1}-2\,a_{0}\right|,&A\geqslant 10,\\A-7,&7\leqslant A<10.\end {casos}}

Signos de divisibilidad en el sistema numérico decimal

Prueba de divisibilidad por 2

Un número es divisible por 2 si y solo si su última cifra es divisible por 2, es decir, es par .

Función correspondiente a la característica (consulte la sección "Principios generales de construcción" ):

A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0},<10,\quad a_{1}\geqslant 0,

F(A)={\begin{casos}a_{0},&A\geqslant 10\\A-2,&2\leqslant A<10.\end{casos}}

Esta función, además del signo de divisibilidad, también establece el signo de equiresistencia.

Signo de divisibilidad por 3

Un número es divisible por 3 cuando la suma de sus dígitos es divisible por 3. Por ejemplo, el número 159 es divisible por 3 porque la suma de sus dígitos 1 + 5 + 9 = 15 es divisible por 3.

Función correspondiente a la característica:

A=\sum_{{i=0}}^{n}10^{i}a_{i},\quad 0\leqslant a_{i}<10,\quad i=0,1,\,\dots \,norte

F(A)={\begin{cases}{\sum_{{i=0}}^{n}a_{i}},&A\geqslant 10,\\A-3,&3\leqslant A<10. \end{casos}}

Esta función, además del signo de divisibilidad, también establece el signo de equiresistencia. Por ejemplo, los números son 154 y son equidistantes cuando se dividen por 3. $1+5+4=10$ $1+0=1$

La prueba de divisibilidad por 4

Un número es divisible por 4 cuando los dos últimos dígitos son ceros o son divisibles por 4. Por ejemplo, 14676 son los últimos dígitos de 76 y el número 76 es divisible por 4: 76:4=19. Un número de dos dígitos es divisible por 4 si y solo si el doble del dígito en el lugar de las decenas, sumado al dígito en el lugar de las unidades, es divisible por 4. Por ejemplo, el número 42 no es divisible por 4 porque no es divisible por 4 $2\cdot 4+2=10$

Función correspondiente a la característica:

A=100\,a_{2}+10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad 0\leqslant a_{1}<10,\quad a_ {2}\geqslant 0,

F(A)={\begin{casos}2\,a_{1}+a_{0},&A\geqslant 10,\\A-4,&4\leqslant A<10.\end{casos}}

Esta función, además del signo de divisibilidad, también establece el signo de equiresistencia. Por ejemplo, los números 87 y son equidistantes cuando se dividen por 4. $8\cdot 2+7=23$ $2\cdot 2+3=7$

Una formulación más simple: el número es divisible por 4 si el último dígito es 0, 4, 8 y el penúltimo dígito es par; o si el último dígito es 2, 6 y el penúltimo dígito es impar.

Signo de divisibilidad por 5

Un número es divisible por 5 si y solo si termina en 0 o 5.

Función correspondiente a la característica:

A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,

F(A)={\begin{casos}a_{0},&A\geqslant 10,\\A-5,&5\leqslant A<10.\end{casos}}

Esta función, además del signo de divisibilidad, también establece el signo de equiresistencia.

Signo de divisibilidad por 6

Un número es divisible por 6 si y solo si es divisible tanto por 2 como por 3 (es decir, si es par y la suma de sus dígitos es divisible por 3).

Otro signo de divisibilidad: un número es divisible por 6 si y solo si cuatro veces el número de decenas sumado al dígito en el lugar de las unidades es divisible por 6.

Función correspondiente a la característica:

A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,

F(A)={\begin{casos}4\,a_{1}+a_{0},&A\geqslant 10,\\A-6,&6\leqslant A<10.\end{casos}}

Esta función, además del signo de divisibilidad, también establece el signo de equiresistencia. Por ejemplo, los números 73, y son equidistantes cuando se dividen por 6. $7\cdot 4+3=31,$ $3\cdot 4+1=13$ $1\cdot 4+3=7$

Signo de divisibilidad por 7

Característica 1 :

un número es divisible por 7 cuando el triple del número de decenas sumado al dígito de las unidades es divisible por 7. Por ejemplo, 154 es divisible por 7, ya que 7 es divisible por 1001 es divisible por 7, ya que 7 es divisible por $15\cpunto 3+4=49.$ $100\cdot 3+1=301,\quad 30\cdot 3+1=91,\quad 9\cdot 3+1=28,\quad 2\cdot 3+8=14,\quad 1\cdot 3+4=7.$

La función correspondiente a esta característica es:

A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,

F(A)={\begin{casos}3\,a_{1}+a_{0},&A\geqslant 10,\\A-7,&7\leqslant A<10.\end{casos}}

Esta función, además del signo de divisibilidad, también establece el signo de equiresistencia. Por ejemplo, los números 87 y son equidistantes cuando se dividen por 7. $8\cpunto 3+7=31,$ $3\cdot 3+1=10$ $1\cdot 3+0=3$

Modificaciones de la función 1 :

a) se toma el primer dígito de la izquierda, se multiplica por 3, se suma el siguiente, y se repite todo desde el principio: por ejemplo, para 154 :. Además, en cada paso, puede tomar el resto de la división por 7: resto 1, resto 0. En ambos casos, el número final es igual al resto cuando se divide por 7 con el número original. $1\cdot 3+5=8,\quad 8\cdot 3+4=28$ $1\cdot 3+5=8$ $1\cdot 3+4=7$

b) si al resto de decenas se le resta el doble de unidades del número y el resultado es divisible por 7, entonces el número es múltiplo de 7. Por ejemplo: 784 es divisible por 7, ya que 78 − (2 × 4) = 78 − 8 = 70 ( ). $a_{1}-2\,a_{0}=0{\bmod {7}}\Leftrightarrow$ $3\,a_{1}-6\,a_{0}=0{\bmod {7}}\Leftrightarrow$ $3\,a_{1}-6\,a_{0}+7\,a_{0}=0{\bmod {7}}\Leftrightarrow$ $3\,a_{1}+a_{0}=0{\bmod {7))$

Característica 2 :

un número es divisible por 7 si y sólo si el módulo de la suma algebraica de números que forman grupos impares de tres dígitos (empezando por unos), tomados con el signo “+”, y par con el signo “-” es divisible por 7. Por ejemplo, 138 689 257 es divisible por 7 porque 7 es divisible por ${\ estilo de visualización | 138-689 + 257 | = 294.}$

La función correspondiente a esta característica es:

A=\sum_{{i=0}}^{n}1000^{i}a_{i},\quad 0\leqslant a_{i}<1000,\quad i=0,1,\,\dots \,norte

F(A)={\begin{casos}\left|\sum _{{i=0}}^{n}\left(-1\right)^{i}a_{i}\right|,&A\ geqslant 1000,\\A-7,&7\leqslant A<1000.\end{casos}}

Signo 3 :

si la diferencia entre el número que consta de los últimos tres dígitos de un número dado y el número formado por los dígitos restantes de un número dado (es decir, sin los últimos tres dígitos) es divisible por 7, entonces este número es divisible por 7 Ejemplo para el número 1730736: 1730 − 736 = 994, 994 / 7 = 142.

Signo de divisibilidad por 8

Un número es divisible por 8 cuando los últimos tres dígitos son un número que es divisible por 8. Un número de tres dígitos es divisible por 8 si y solo si el dígito en el lugar de las unidades más el doble del dígito en el lugar de las decenas y el cuádruple el dígito en el lugar de las centenas es divisible por 8. Por ejemplo, 952 es divisible por 8 porque 8 es divisible por $9\cdot 4+5\cdot 2+2=48.$

Función correspondiente a la característica:

A=1000\,a_{3}+100\,a_{2}+10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad 0\leqslant a_{ 1}<10,\quad 0\leqslant a_{2}<10,\quad a_{3}\geqslant 0,

F(A)={\begin{cases}4\,a_{2}+2\,a_{1}+a_{0},&A\geqslant 10,\\A-8,&8\leqslant A<10. \end{casos}}

Esta función, además del signo de divisibilidad, también establece el signo de equiresistencia. Por ejemplo, los números 567 y son equidistantes cuando se dividen por 8. $5\cdot 4+6\cdot 2+7=39,$ $3\cdot 2+9=15$ $1\cdot 2+5=7$

Signo de divisibilidad por 9

Un número es divisible por 9 cuando la suma de sus dígitos es divisible por 9. Por ejemplo, la suma de los dígitos de 12345678 es divisible por 9, por lo que el número en sí también es divisible por 9. $1+2+3+4+5+6+7+8=36.$

Función correspondiente a la característica:

A=\sum_{{i=0}}^{n}10^{i}a_{i},\quad 0\leqslant a_{i}<10,\quad i=0,1,\,\dots \,norte

F(A)={\begin{casos}\sum_{{i=0}}^{n}a_{i},&A\geqslant 10,\\0,&A=9.\end{casos}}

Esta función, además del signo de divisibilidad, también establece el signo de equiresistencia. Por ejemplo, los números 345 y son equidistantes cuando se dividen por 9. $3+4+5=12$ $1+2=3$

Signo de divisibilidad por 10

Un número es divisible por 10 si y solo si termina en cero .

La función correspondiente a esta característica es:

A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,

F(A)=a_{0},\quad A\geqslant 10.

Esta función, además del signo de divisibilidad, también establece el signo de equiresistencia.

Signos de divisibilidad por 11

Característica 1: Un número es divisible por 11 si y solo si el módulo de la diferencia entre la suma de los dígitos en posiciones impares y la suma de los dígitos en posiciones pares es divisible por 11. Por ejemplo, 9,163,627 es divisible por 11 porque es divisible por 11. Otro ejemplo es 99077 es divisible por 11 porque es divisible por 11. $\izquierda|(9+6+6+7)-(1+3+2)\derecha|=22$ $\izquierda|(9+0+7)-(9+7)\derecha|=0$

La función correspondiente a esta característica es:

A=\sum_{{i=0}}^{n}10^{i}a_{i}\quad 0\leqslant a_{i}<10,\quad i=0,1,\,\dots \ ,norte,

F(A)=\left|\sum _{{i=0}}^{n}\left(-1\right)^{i}a_{i}\right|,\quad A\geqslant 11.

Signo 2: un número es divisible por 11 si y solo si la suma de los números que forman grupos de dos dígitos (empezando por las unidades) es divisible por 11. Por ejemplo, 103785 es divisible por 11 porque 11 es divisible por y $10+37+85=132$ $01+32=33.$

Función correspondiente a la característica:

A=\sum_{{i=0}}^{n}100^{i}a_{i},\quad 0\leqslant a_{i}<100,\quad i=0,1,\,\dots \,norte

F(A)={\begin{casos}\sum_{{i=0}}^{n}a_{i},&A\geqslant 100,\\A-11,&11\leqslant A<100.\end {casos}}

Esta función, además del signo de divisibilidad, también establece el signo de equiresistencia. Por ejemplo, los números 123456 y son equidistantes cuando se dividen por 11. $12+34+56=102$ $1+2=3$

Signo de divisibilidad por 13

Signo 1 : El número es divisible por 13 cuando la suma del número de decenas con una cuádruple cifra en el lugar de las unidades es divisible por 13. Por ejemplo, 845 es divisible por 13, ya que 13 es divisible por y $84+5\cpunto 4=104$ $10+4\cpunto 4=26.$

Signo 2 : El número es divisible por 13 cuando la diferencia entre el número de decenas con un número de nueve en el lugar de las unidades se divide por 13. Por ejemplo, 845 es divisible por 13, ya que 13 es divisible por $84-9\cdot 5=39.$

La función correspondiente a esta característica es:

A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,

F(A)={\begin{casos}a_{1}+4\,a_{0},&A\geqslant 40,\\A-13,&13\leqslant A<40.\end{casos}}

Característica 3 : un número es divisible por 13 si la diferencia entre el número que consta de los últimos tres dígitos de este número y el número formado por los dígitos restantes de este número (es decir, sin los últimos tres dígitos) es divisible por 13. Por ejemplo, 192218 es divisible por 13, así que 218-192=26 y 26 es divisible por 13.

Signo de divisibilidad por 17

El número es divisible por 17 en los siguientes casos:

- cuando el módulo de la diferencia entre el número de decenas y el dígito multiplicado por 5 en el lugar de las unidades se divide por 17. Por ejemplo, 221 es divisible por 17, ya que es divisible por 17. $\izquierda|22-5\cdot 1\derecha|=17$

- cuando el módulo de la suma del número de decenas y el dígito multiplicado por 12 en el dígito de las unidades es divisible por 17. Por ejemplo, 221 es divisible por 17, ya que es divisible por 17. $\izquierda|22+12\cdot 1\derecha|=34$

La función correspondiente a esta característica es:

A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,

F(A)={\begin{casos}\left|a_{1}-5\,a_{0}\right|,&A\geqslant 40,\\A-17,&17\leqslant A<40.\end {casos}}

Signo de divisibilidad por 19

Un número es divisible por 19 si y solo si el número de decenas sumado al dígito doble en el lugar de las unidades es divisible por 19. Por ejemplo, 646 es divisible por 19, ya que 19 es divisible por y $64+2\cdot 6=76$ $7+2\cdot 6=19.$

La función correspondiente a esta característica es:

A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,

F(A)={\begin{casos}a_{1}+2\,a_{0},&A\geqslant 20,\\0,&A=19.\end{casos}}

Signo de divisibilidad por 20

Un número es divisible por 20 si y solo si el número formado por los dos últimos dígitos es divisible por 20.

Otra formulación: un número es divisible por 20 si y solo si el último dígito del número es 0 y el penúltimo dígito es par.

La función correspondiente a esta característica es:

A=100\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<100,\quad a_{1}\geqslant 0,

F(A)={\begin{casos}a_{0},&A\geqslant 100,\\A-20,&20\leqslant A<100.\end{casos}}

Esta función, además del signo de divisibilidad, también establece el signo de equiresistencia.

Pruebas de divisibilidad por 23

Característica 1 : Un número es divisible por 23 si y solo si el número de centenas sumadas al triple del número formado por los dos últimos dígitos es divisible por 23. Por ejemplo, 28842 es divisible por 23, ya que 23 es divisible por y $288+3\cdot 42=414$ $4+3\cdot 14=46.$

Característica 2 : un número es divisible por 23 si y solo si el número de decenas sumado al dígito en el lugar de las unidades multiplicado por 7 es divisible por 23. Por ejemplo, 391 es divisible por 23, ya que es divisible por 23. $39+7\cpunto 1=46$

Signo 3 : Un número es divisible por 23 si y solo si el número de centenas, sumado con el dígito en el lugar de las decenas multiplicado por 7 y el dígito en el lugar de las unidades triplicado, es divisible por 23. Por ejemplo, 391 es divisible por 23, ya que es divisible por 23. $3+7\cdot 9+3\cdot 1=69$

Signo de divisibilidad por 25

Un número es divisible por 25 si y solo si sus dos últimos dígitos son un número que es divisible por 25. En otras palabras, los números que terminan en 00, 25, 50 o 75 son divisibles por 25.

La función correspondiente a esta característica es:

A=100\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<100,\quad a_{1}\geqslant 0,

F(A)={\begin{casos}a_{0},&A\geqslant 100,\\A-25,&25\leqslant A<100.\end{casos}}

Esta función, además del signo de divisibilidad, también establece el signo de equiresistencia.

Signo de divisibilidad por 27

Un número es divisible por 27 si y solo si la suma de los números que forman grupos de tres dígitos (empezando por unos) es divisible por 27.

Función correspondiente a la característica:

A=\sum_{{i=0}}^{n}1000^{i}a_{i},\quad 0\leqslant a_{i}<1000,\quad i=0,1,\,\dots \,norte

F(A)={\begin{casos}\sum_{{i=0}}^{n}a_{i},&A\geqslant 1000,\\A-27,&27\leqslant A<1000.\end {casos}}

Esta función, además del signo de divisibilidad, también establece el signo de equiresistencia.

Signo de divisibilidad por 29

Un número es divisible por 29 si y solo si el número de decenas sumado al triple del lugar de las unidades es divisible por 29. Por ejemplo, 261 es divisible por 29 porque es divisible por 29. $26+3\cpunto 1=29$

La función correspondiente a esta característica es:

A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,

F(A)={\begin{casos}a_{1}+3\,a_{0},&A\geqslant 30,\\0,&A=29.\end{casos}}

Signo de divisibilidad por 30

Un número es divisible por 30 si y solo si termina en 0 y la suma de todos los dígitos es divisible por 3. Por ejemplo: 510 es divisible por 30, pero 678 no lo es.

Signo de divisibilidad por 31

Un número es divisible por 31 si y solo si el módulo de la diferencia entre el número de decenas y el dígito triple en el lugar de las unidades es divisible por 31. Por ejemplo, 217 es divisible por 31 porque es divisible por 31. $\izquierda|21-3\cdot 7\derecha|=0$

La función correspondiente a esta característica es:

A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,

F(A)=\left|a_{1}-3\,a_{0}\right|,\quad A\geqslant 31.

Signo de divisibilidad por 37

Signo 1: el número es divisible por 37 si y solo si, al dividir el número en grupos de tres cifras (a partir de las unidades), la suma de estos grupos es múltiplo de 37.

Función correspondiente a la característica:

A=\sum_{{i=0}}^{n}1000^{i}a_{i},\quad 0\leqslant a_{i}<1000,\quad i=0,1,\,\dots \,norte

F(A)={\begin{casos}\sum_{{i=0}}^{n}a_{i},&A\geqslant 1000,\\A-37,&37\leqslant A<1000.\end {casos}}

Esta función, además del signo de divisibilidad, también establece el signo de equiresistencia.

Característica 2: Un número es divisible por 37 si y solo si el módulo del triple del número de centenas, sumado al dígito cuádruple en el lugar de las decenas, es divisible por 37, menos el dígito en el lugar de las unidades, multiplicado por siete. Por ejemplo, el número 481 es divisible por 37 porque 37 es divisible por $\left|3\cdot 4+4\cdot 8-7\right|=37.$

Función correspondiente a la característica:

A=100\,a_{2}+10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad 0\leqslant a_{1}<10,\quad a_ {2}\geqslant 0,

F(A)=\left|3\,a_{2}+4\,a_{1}-7\,a_{0}\right|,\quad A\geqslant 37.

Signo 3: Un número es divisible por 37 si y solo si el módulo de la suma del número de centenas con el dígito en el lugar de las unidades multiplicado por diez menos el dígito en el lugar de las decenas multiplicado por 11 es divisible por 37. Por ejemplo , el numero 481 es divisible por 37, entonces como se divide por 37 $\left|4-11\cdot 8+10\cdot 1\right|=74.$

Función correspondiente a la característica:

A=100\,a_{2}+10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad 0\leqslant a_{1}<10,\quad a_ {2}\geqslant 0,

F(A)={\begin{casos}\left|a_{2}-11\,a_{1}+10\,a_{0}\right|,&A\geqslant 100,\\A-37,&37 \leqslant A<100.\end{casos}}

Signo de divisibilidad por 41

Signo 1 : un número es divisible por 41 si y solo si el módulo de la diferencia entre el número de decenas y el cuádruple dígito en el lugar de las unidades es divisible por 41. Por ejemplo, 369 es divisible por 41, ya que es divisible por 41. $\izquierda|36-4\cdot 9\derecha|=0$

La función correspondiente a esta característica es:

A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,

F(A)=\left|a_{1}-4\,a_{0}\right|,\quad A\geqslant 41.

Signo 2 : para comprobar si un número es divisible por 41, se debe dividir de derecha a izquierda en caras de 5 cifras cada una. Luego, en cada cara, multiplica el primer número de la derecha por 1, multiplica el segundo número por 10, el tercero por 18, el cuarto por 16, el quinto por 37 y suma todos los productos resultantes. Si el resultado es divisible por 41, entonces y solo entonces el número mismo será divisible por 41.

Hay otros criterios (más convenientes) para la divisibilidad por 41, ver 41 (número) .

Signo de divisibilidad por 50

Un número es divisible por 50 si y solo si el número formado por sus dos dígitos decimales menos significativos es divisible por 50.

La función correspondiente a esta característica es:

A=100\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<100,\quad a_{1}\geqslant 0,

F(A)={\begin{casos}a_{0},&A\geqslant 100,\\A-50,&50\leqslant A<100.\end{casos}}

Esta función, además del signo de divisibilidad, también establece el signo de equiresistencia.

Signo de divisibilidad por 59

Un número es divisible por 59 si y solo si el número de decenas sumado al dígito de las unidades multiplicado por 6 es divisible por 59. Por ejemplo, 767 es divisible por 59, porque 59 divide y $76+6\cpunto 7=118$ $11+6\cpunto 8=59.$

La función correspondiente a esta característica es:

A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,

F(A)={\begin{casos}a_{1}+6\,a_{0},&A\geqslant 60,\\0,&A=59.\end{casos}}

Signo de divisibilidad por 79

Un número es divisible por 79 si y solo si el número de decenas sumado al dígito de las unidades multiplicado por 8 es divisible por 79. Por ejemplo, 711 es divisible por 79, ya que 79 es divisible por 79 . $71+8\cpunto 1=79$

La función correspondiente a esta característica es:

A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,

F(A)={\begin{casos}a_{1}+8\,a_{0},&A\geqslant 80,\\0,&A=79.\end{casos}}

Signo de divisibilidad por 99

Un número es divisible por 99 si y solo si la suma de los números que forman grupos de dos dígitos (empezando por las unidades) es divisible por 99. Por ejemplo, 12573 es divisible por 99 porque 99 es divisible por $1+25+73=99.$

Función correspondiente a la característica:

A=\sum_{{i=0}}^{n}100^{i}a_{i},\quad 0\leqslant a_{i}<100,\quad i=0,1,\,\dots \,norte

F(A)={\begin{casos}\sum_{{i=0}}^{n}a_{i},&A\geqslant 100,\\0,&A=99.\end{casos}}

Esta función, además del signo de divisibilidad, también establece el signo de equiresistencia. Por ejemplo, los números 123456 y son equidistantes cuando se dividen por 99. $12+34+56=102$ $1+2=3$

Signo de divisibilidad por 101

Un número es divisible por 101 si y solo si el módulo de la suma algebraica de los números que forman grupos impares de dos dígitos (empezando por unos), tomados con el signo “+”, y los pares con el signo “-” es divisible por 101. Por ejemplo, 590547 es divisible por 101, ya que es divisible por 101 $\izquierda|59-5+47\derecha|=101.$

La función correspondiente a esta característica es:

A=\sum_{{i=0}}^{n}100^{i}a_{i},\quad 0\leqslant a_{i}<100,\quad i=0,1,\,\dots \,norte

F(A)=\left|\sum _{{i=0}}^{n}\left(-1\right)^{i}a_{i}\right|,\quad A\geqslant 101.

Prueba de divisibilidad para 1091

Un número es divisible por 1091 si y solo si la diferencia entre el número de decenas y el dígito de la unidad multiplicado por 109 es divisible por 1091. Por ejemplo, 18547 es divisible por 1091 porque 1854 - 7 * 109 = 1091 es divisible por 1091.

Signos generales de divisibilidad

Signo de divisibilidad por un divisor del grado de la base del sistema numérico

Si para algunos números naturales y el número es divisible por un número natural, entonces cualquier número entero escrito en el sistema numérico base es equidistante del número formado por sus dígitos inferiores. Esta propiedad permite construir un signo de divisibilidad y equiresistencia al divisor del grado de la base del sistema numérico. $t$ $norte$ $t^{n}$ $metro,$ $A,$ $yo,$ $norte$

La función correspondiente a esta característica es:

A=t^{n}a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<t^{n},\quad a_{1}\geqslant 0,\quad t^{n} \,\vpuntos \,m,

F(A)={\begin{casos}a_{0},&A\geqslant t^{n},\\Am,&m\leqslant A<t^{n}.\end{casos}}

Por ejemplo, en el sistema numérico decimal, esto te permite construir signos de divisibilidad por 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25, 32, 40, 50, etc.

Signo de divisibilidad por un divisor $t^{n}-1$

Si para algunos números naturales y el número es divisible por un número natural, entonces cualquier número entero escrito en el sistema base es igualmente divisible con la suma de los números formados al dividir en grupos de dígitos, comenzando con el más pequeño. Esta propiedad hace posible construir una prueba de divisibilidad por $t$ $norte$ $t^{n}-1$ $metro,$ $A,$ $yo,$ $norte$ $metro.$

La función correspondiente a esta característica es:

A=\sum_{{i=0}}^{n}t^{{in}}a_{i},\quad 0\leqslant a_{i}<t^{n},\quad \quad \left (t^{n}-1\derecha)\,\vpuntos\,m,

F(A)={\begin{casos}\sum_{{i=0}}^{n}a_{i},&A\geqslant t^{n},\\Am,&m\leqslant A<t^ {n}.\end{casos}}

Por ejemplo, en el sistema numérico decimal, esto te permite construir signos de divisibilidad por 3, 9, 11, 27, 33, 37, 99, 101, 111, 303, 333, 999, 1111, 3333, 9999, etc.

Signo de divisibilidad por un divisor $t^{n}+1$

Si para algunos números naturales y el número es divisible por un número natural, entonces cualquier número entero escrito en el sistema numérico base es equidivisible con el módulo de la suma alterna de números formados al dividir en grupos de dígitos, comenzando con el más pequeño. Esta propiedad hace posible construir una prueba de divisibilidad por $t$ $norte$ $t^{n}+1$ $metro,$ $A,$ $yo,$ $norte$ $metro.$

La función correspondiente a esta característica es:

A=\sum_{{i=0}}^{n}t^{{in}}a_{i},\quad 0\leqslant a_{i}<t^{n},\quad \quad \left (t^{n}+1\derecha)\,\vpuntos\,m,

F(A)={\begin{casos}\left|\sum _{{i=0}}^{n}(-1)^{i}a_{i}\right|,&A\geqslant t^{ n},\\Am,&m\leqslant A<t^{n}.\end{casos}}

Por ejemplo, en el sistema numérico decimal, esto te permite construir signos de divisibilidad por 7, 11, 13, 73, 77, 91, 101, 137, 143, 1001, 10001, etc.

División larga

El tiempo de ejecución de un algoritmo que verifica la divisibilidad de un número por otro número dividiendo "en una columna" es . Así, en muchos casos, los llamados "criterios de divisibilidad" no dan una ganancia apreciable en el número de operaciones elementales realizadas. Una excepción son los criterios de divisibilidad por números de la forma , cuyo tiempo de ejecución no depende del tamaño del número que se comprueba. $norte$ $O(\log n)$ ${\ estilo de visualización 2 ^ {a} 5 ^ {b}}$

Señales de divisibilidad en otros sistemas numéricos

Los signos de divisibilidad en otros sistemas numéricos son similares a los decimales. En concreto, en cualquier sistema numérico (los números se escriben en el sistema en el que estamos trabajando en este momento):

un número es divisible por 10 n si termina en n ceros.

Si la base del sistema numérico es 1 módulo algún número k (es decir, el resto de dividir la base por k es 1), entonces cualquier número es divisible por k si y solo si la suma de sus dígitos es divisible por k sin un resto En particular:

un número es divisible por 10 − 1 si la suma de sus dígitos es divisible por 10 − 1;
si la base del sistema numérico es impar, entonces el número es divisible por 2 si la suma de sus dígitos es divisible por 2.

Si la base del sistema numérico es igual a k − 1 módulo algún número k , entonces cualquier número es divisible por k si y solo si la suma de los dígitos que ocupan lugares impares es igual a la suma de los dígitos que ocupan lugares pares, o difiere de él por un número divisible por k sin resto. En particular:

un número es divisible por 11 si la suma de los dígitos que ocupan lugares impares es igual a la suma de los dígitos que ocupan lugares pares o difiere de ella en un número divisible por 11.

Si la base de un sistema numérico es divisible por algún número k , entonces cualquier número es divisible por k si y sólo si su último dígito es divisible por k . En particular:

si la base del sistema numérico es par, entonces el número es divisible por 2 si su último dígito es divisible por 2.

Véase también

La prueba de Pascal es una prueba de divisibilidad universal que permite que cualquier número entero a y b determine si a es divisible por b . Más precisamente, le permite derivar casi todas las características anteriores.

Literatura

Vorobyov N. N. Signos de divisibilidad . - 4ª ed. - M. : Nauka, 1988. - T. 39. - 94 p. - ( Clases populares de matemáticas ). — ISBN 5-02-013731-6 .

Notas

↑ En términos prácticos, "relativamente rápido" significa "más rápido de lo que se podría hacer la división real" por los mismos medios. Además, la efectividad de este algoritmo depende en gran medida de la forma de representación de los números y de las capacidades computacionales disponibles.
↑ Vorobyov N. N. Signos de divisibilidad. - 4ª ed., rev. - M .: Nauka, 1988. - P. 42. - ( Conferencias populares sobre matemáticas ). — ISBN 5-02-013731-6 .