Método de agotamiento

El método de agotamiento ( lat.  methodus exhaustionis ) es un antiguo método matemático diseñado para estudiar las áreas de figuras geométricas curvilíneas o los volúmenes de cuerpos geométricos . La idea del método, en términos no muy claros, la expresó Antifonte , sin embargo, el desarrollo y aplicación estuvo a cargo de Eudoxo de Cnido .

El nombre "método de agotamiento" fue propuesto en 1647 por Grégoire de Saint-Vincent , en la antigüedad el método no tenía un nombre especial. La justificación de este método no se basa en el concepto de infinitesimales , sino que incluye implícitamente el concepto de límite . El refinamiento del método de agotamiento condujo posteriormente al cálculo integral .

Descripción del método

El método era el siguiente: para hallar el área (o volumen) de cierta figura, se inscribía en esta figura una secuencia monótona de otras figuras y se comprobaba que sus áreas (volúmenes) se aproximan indefinidamente al área (volumen) de la deseada. figura. Luego se calculó el límite de la sucesión de áreas (volúmenes), para lo cual se planteó la hipótesis de que es igual a algún A y se probó que lo contrario conduce a una contradicción [1] . Como no existía una teoría general de los límites (los griegos evitaban el concepto de infinito), todos estos pasos, incluida la justificación de la unicidad del límite, se repetían para cada problema.

De esta forma, el método de agotamiento encajaba bien en la construcción estrictamente deductiva de las matemáticas antiguas, pero tenía varios inconvenientes significativos. Primero, era excepcionalmente voluminoso. En segundo lugar, no existía un método general para calcular el valor límite de A; Arquímedes , por ejemplo, a menudo lo deducía de consideraciones mecánicas o simplemente lo adivinaba intuitivamente. Finalmente, este método no es adecuado para encontrar las áreas de figuras infinitas.

Justificación

La base teórica del método de agotamiento de Eudoxo se establece en el Libro X de los Elementos de Euclides . El lema principal [2] se formula allí :

Proposición 1. Para dos valores dados desiguales, si al mayor se le resta más de la mitad y al resto más de la mitad, y esto se hace constantemente, quedará algún valor que será menor que el menor dado.

Este es uno de los pocos teoremas de la teoría general de límites dados por autores antiguos. En el siglo X, Thabit ibn Qurra propuso una generalización de este lema, reemplazando "la mitad" por "cualquier parte".

Utilizando el método de agotamiento, Eudoxo probó con rigor una serie de descubrimientos ya conocidos en aquellos años (el área de un círculo , el volumen de una pirámide y un cono ). Euclides , en sus Elementos, utilizó el método de agotamiento para demostrar los seis teoremas del Libro 12:

• Teorema 2 (sobre el área de un círculo);
• teorema 5 (sobre el volumen de un tetraedro );
• teoremas 10-12 (sobre los volúmenes de un cono y un cilindro );
• Teorema 18 (sobre la dependencia del volumen de una bola con su radio).

Aplicación

El método de agotamiento más fructífero quedó en manos del destacado seguidor de Eudoxo, Arquímedes , quien pudo mejorarlo significativamente y lo aplicó hábilmente a muchos nuevos descubrimientos. En particular, encontró lo siguiente:

• el área de superficie de una esfera es igual a cuatro veces el área de la sección transversal del gran círculo de esta esfera;
• el área de un segmento de una parábola cortada por una línea recta es 4/3 del área de un triángulo inscrito en este segmento;
• el volumen de la esfera es 2/3 del volumen del cilindro circunscrito a ella [3] .

En la Edad Media, los matemáticos europeos también utilizaron el método del agotamiento, hasta que fue suplantado primero por el método más poderoso y tecnológico de los indivisibles , y luego por el cálculo .

Véase también

• Cuadratura (matemáticas)

Literatura

• Bashmakova I. G. Conferencias sobre la historia de las matemáticas en la antigua Grecia // Investigación histórica y matemática . - M .: Fizmatgiz , 1958. - N° 11 . - S. 323-346 .
• Historia de las matemáticas. En 3 tomos / Ed. A. P. Yushkevich . - M. : Nauka, 1970. - T. I.
• Nikiforovsky V. A. El camino hacia la integral. — M.: Nauka, 1985.

Notas

1. ↑ Bashmakova I. G., 1958 , p. 333-335.
2. ↑ Comienzos de Euclides / Traducción del griego y comentarios de D. D. Mordukhai-Boltovsky con la participación editorial de M. Ya. Vygodsky e I. N. Veselovsky. - M. - L. : GTTI, 1948. - T. II. - S. 102.  (enlace inaccesible)
3. ↑ Teorema de la bola y el cilindro de Arquímedes . Consultado el 3 de julio de 2019. Archivado desde el original el 26 de junio de 2019. (indefinido)

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