Método de iteración simple

El método de iteración simple es uno de los métodos numéricos más simples para resolver ecuaciones . El método se basa en el principio del mapeo compresivo , que, en relación con los métodos numéricos en términos generales, también puede denominarse método de iteración simple o método de aproximaciones sucesivas [1] . En particular, existe un método de iteración similar para sistemas de ecuaciones algebraicas lineales .

Idea de método

La idea del método de iteración simple es reducir la ecuación a una ecuación equivalente $f(x)=0$

x=\varfi(x)

para que la pantalla sea compresiva. Si esto tiene éxito, entonces la secuencia de iteraciones converge. Esta transformación se puede hacer de diferentes maneras. En particular, la ecuación de la forma $\varfi(x)$ $x_{i+1}=\varphi(x_i)$

\varphi (x)=x-{\lambda }(x)f(x)\!,

si en el segmento estudiado. La opción óptima es , que lleva al método de Newton , que es rápido, pero requiere calcular la derivada. Si elegimos una constante del mismo signo que la derivada en la vecindad de la raíz, entonces obtenemos el método de iteración más simple. ${\ lambda} (x) \ neq 0$ $\lambda(x) = \frac{1}{f'(x)}$ $\lambda(x)$

Descripción

Se toma alguna constante como función , cuyo signo coincide con el signo de la derivada en alguna vecindad de la raíz (y, en particular, en el segmento que conecta y ). La constante tampoco suele depender del número de paso. A veces toman y llaman a este método un método tangente . La fórmula de iteración resulta ser extremadamente simple: ${\ estilo de visualización {\ lambda} (x)}$ ${\displaystyle {\lambda}_{0))$ ${\ estilo de visualización f' (x)}$ ${\ estilo de visualización x_ {0))$ ${\ estilo de visualización x^{*}}$ ${\displaystyle {\lambda}_{0))$ ${\lambda}_0=\frac{1}{f'(x_0)}$

\displaystyle x_{i+1}=x_i-{\lambda}_0f(x_i)\!,

y en cada iteración, debe calcular el valor de la función una vez . $f(x)$

Esta fórmula, así como el requisito de que los signos coincidan , se deducen fácilmente de consideraciones geométricas. Considere una línea recta que pasa por un punto en un gráfico con una pendiente . Entonces la ecuación de esta recta será ${\ estilo de visualización f'}$ ${\displaystyle {\lambda}_{0))$ ${\ estilo de visualización (x_ {i}; f (x_ {i}))}$ ${\ estilo de visualización y = f (x)}$ $\tan \nolimits \alpha ={\frac {1}{\lambda }}_{0}$

\displaystyle y=f(x_{i})+{\frac {1}{{\lambda }_{0}}}(x-x_{i}).

Encuentre el punto de intersección de esta línea con el eje de la ecuación ${\ Displaystyle BUEY}$

\displaystyle f(x_{i})+{\dfrac {1}({\lambda }_{0))}(x-x_{i})=0,

de donde Por lo tanto, esta línea recta corta al eje justo en el punto de la siguiente aproximación. Así, obtenemos la siguiente interpretación geométrica de aproximaciones sucesivas. Partiendo del punto , se trazan rectas por los puntos correspondientes de la gráfica con pendiente del mismo signo que la derivada . (Tenga en cuenta que, en primer lugar, no es necesario calcular el valor de la derivada, basta con saber si la función es decreciente o creciente; en segundo lugar, que las rectas trazadas en diferentes tienen la misma pendiente y, por lo tanto, son paralelas entre sí. ) Como siguiente aproximación a la raíz, se toma el punto de intersección de la recta construida con el eje . ${\displaystyle x=x_{i}-{\lambda}_{0}f(x_{i})=x_{i+1))$ ${\ Displaystyle BUEY}$ ${\ estilo de visualización x_ {0))$ ${\ estilo de visualización y = f (x)}$ ${\displaystyle k={\dfrac {1}{{\lambda}_{0))))$ $f'(x_{0})$ $f(x)$ ${\ estilo de visualización x_i}$ $k$ ${\ Displaystyle BUEY}$

El dibujo de la derecha muestra iteraciones para in case y in case . Vemos que en el primer caso, el punto de cambio ya en el primer paso "salta" al otro lado de la raíz , y las iteraciones comienzan a acercarse a la raíz desde el otro lado. En el segundo caso, puntos sucesivos se acercan a la raíz, permaneciendo todo el tiempo a un lado de ella. $f'(x)>0$ $k={\dfrac {1}{{\lambda}_{0}}}<f'(x_{0})$ $k={\dfrac {1}{{\lambda }_{0}}}>f'(x_{0})$ ${\ estilo de visualización x_i}$ ${\ estilo de visualización x^{*}}$ ${\ estilo de visualización x_i}$

Condición de convergencia

Una condición suficiente para la convergencia es:

\displaystyle \vert {\varphi }'(x)\vert =\vert 1-{\lambda }_{0}f'(x)\vert \leqslant {\gamma }<1.

Esta desigualdad se puede reescribir como

\displaystyle -{\gamma }+1\leqslant {\lambda }_{0}f'(x)\leqslant {\gamma }+1,

de donde obtenemos que la convergencia está garantizada cuando, en primer lugar,

\displaystyle {\lambda }_{0}f'(x)>0,

desde (así se aclara el significado de elegir el signo del número ), y en segundo lugar, cuando para todos en todo el segmento en consideración que rodea la raíz. Esta segunda desigualdad ciertamente se cumple si $-{\gamma}+1>0$ ${\displaystyle {\lambda}_{0))$ ${\lambda}_{0}f'(x)<2$ $X$

\displaystyle \vert k\vert ={\dfrac {1}{\vert {\lambda }_{0}\vert }}>{\dfrac {M_{1}}{2)),

donde _ Por lo tanto, la pendiente no debe ser demasiado pequeña en valor absoluto: con una pendiente pequeña, ya en el primer paso, el punto puede saltar fuera de la vecindad considerada de la raíz y puede no haber convergencia a la raíz. $M_{1}=\max \limits _{x}\vert f'(x)\vert$ $k$ $x_1$ ${\ estilo de visualización x^{*}}$

Notas

↑ Diccionario enciclopédico matemático . - M. : "Búhos. enciclopedia” , 1988.- S. 847 .

Véase también

Método de Newton (método de la tangente)
Método Müller
Interpolación parabólica inversa
método de acordes