Métrica de Lorentz
La métrica de Lorentz es una métrica pseudo-euclidiana del espacio de Minkowski, que surge naturalmente en la teoría especial de la relatividad , y como un caso especial trivial, en la teoría general de la relatividad .
El espacio plano de Minkowski con coordenadas , usado en relatividad especial , tiene un tensor métrico
Aquí nos referimos a coordenadas cartesianas rectangulares ordinarias de igual escala, y por tiempo medido en un marco de referencia dado , la velocidad de la luz .
Este tensor define el intervalo
un invariante analógico con respecto a las transformaciones de Lorentz y una generalización de la distancia tridimensional en el espacio físico al espacio-tiempo tetradimensional (en la última fórmula, dos significa no un índice, sino un grado).
Para una curva, cuyos puntos se refieren al mismo punto en el tiempo, la fórmula para la longitud de la curva se reduce a la forma tridimensional habitual. Para una curva temporal , la fórmula de la longitud da el tiempo adecuado a lo largo de la curva.
La métrica de Minkowski es una métrica pseudo-euclidiana: como podemos ver, no es definida positiva, pero es constante (representada por una matriz independiente de coordenadas en coordenadas cartesianas ordinarias) y, por lo tanto, describe un espacio pseudo-euclidiano plano .
Todas las leyes de la física (si dejamos de lado la gravedad ) se escriben de la misma manera en todos los marcos de referencia inerciales, mientras que la métrica de Lorentz que acabamos de describir es invariable para todos estos marcos de referencia, si se utilizan procedimientos de medición físicos naturales. El recálculo de cantidades físicas (incluyendo distancias y ángulos) entre diferentes sistemas de referencia se realiza mediante transformaciones de Lorentz que preservan la invariancia de esta métrica.
Una característica importante de la métrica de Minkowski es la presencia de un cono de luz que consiste en vectores de longitud cero y que limita las regiones futuras y pasadas relativas a un evento dado .
Notas
- Para la métrica de Minkowski (métrica de Lorentzian) descrita aquí, se usa muy a menudo la notación especial .
- A veces la métrica de Minkowski se toma con el signo opuesto, es decir, . Además, históricamente, tal firma apareció por primera vez con Minkowski, quien la introdujo multiplicando por una unidad imaginaria, es decir (entonces la métrica tenía formalmente la forma euclidiana habitual, es decir, el producto escalar se calculaba simplemente sumando los productos de los componentes, pero en realidad era el mismo hasta un signo como se describe en el comienzo de este párrafo).
Literatura
- Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Geometría moderna (métodos y aplicaciones), - Cualquier edición.
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- Dirac P. A. M. Teoría General de la Relatividad , - M.: Atomizdat , 1978.
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