Vector isotrópico

Un vector isotrópico ( vector nulo ) es un vector distinto de cero de un espacio vectorial pseudo-euclidiano (sobre el campo de los números reales ) o un espacio vectorial unitario (sobre el campo de los números complejos ), ortogonal a sí mismo o, de manera equivalente, que tiene longitud cero en el sentido del producto escalar del espacio en consideración. El nombre isotrópico está asociado con el concepto físico de isotropía .

No existen tales vectores en los espacios euclidianos ; solo los vectores iguales a cero tienen una longitud cero. En espacios pseudo-euclidianos, existen vectores isotrópicos y forman un cono isotrópico . Es decir, un vector de un espacio vectorial sobre un campo de números reales o complejos con una forma bilineal no degenerada dado como un producto escalar con firma es isotrópico si . ${\ estilo de visualización \ xi \ neq 0}$ $mi$ $F$ ${\ estilo de visualización \ Phi: E \ veces E \ a F}$ $(p, q)$ ${\ estilo de visualización \ phi (\ xi, \ xi) = 0}$

Conceptos relacionados

Un cono isotrópico de un espacio vectorial pseudo-euclidiano o unitario es un conjunto formado por todos los vectores de longitud cero del espacio dado, es decir, todos los vectores isotrópicos y un vector cero.

Un subespacio isotrópico es un subespacio de un espacio vectorial pseudo-euclidiano o unitario que está completamente contenido en el cono isotrópico de este espacio, es decir, consiste completamente en vectores de longitud cero. Un subespacio es isótropo si y solo si dos de sus vectores son ortogonales entre sí [1] . La dimensión máxima de un subespacio isotrópico de un espacio de firma pseudo-euclidiano no excede [2] . $(p, q)$ ${\ estilo de visualización \ min (p, q)}$

Un subespacio degenerado es un subespacio de un espacio vectorial pseudo-euclidiano o unitario en el que la restricción del producto escalar es degenerada. Un subespacio es degenerado si y solo si contiene al menos un vector isotrópico ortogonal a todos los demás vectores de este subespacio [1] . Obviamente, cualquier subespacio isotrópico es degenerado, pero lo contrario no es cierto.

Ejemplos

El ejemplo más simple son los vectores isotrópicos y un cono isotrópico en un espacio de firma pseudo-euclidiano (2.1). El cuadrado de la longitud de un vector viene dado por . Un cono isotrópico es un cono circular recto . Los subespacios isotrópicos son líneas rectas (generadores) que se encuentran sobre él, los subespacios degenerados (distintos de los isotrópicos) son planos tangentes a un cono isotrópico, es decir, que tienen exactamente una línea común con él. Todos los demás planos son euclidianos (si se cruzan con un cono isotrópico solo en su vértice) o pseudo-euclidianos de firma (1,1) (si se cruzan con él a lo largo de dos líneas diferentes) [3] . ${\ estilo de visualización \ mathbb {R} _ {1} ^ {3}}$ ${\ estilo de visualización e = (x, y, z)}$ $|e|^{2}=\langle e,e\rangle =x^{2}+y^{2}-z^{2}$ ${\ estilo de visualización x^{2}+y^{2}-z^{2}=0}$

El ejemplo más importante son los vectores isotrópicos y un cono isotrópico en el espacio de Minkowski, un espacio pseudo-euclidiano de firma (1,3) utilizado como interpretación geométrica del espacio-tiempo de la relatividad especial. En este espacio, cada vector e tiene cuatro coordenadas: , donde es la velocidad de la luz , y el cuadrado de su longitud viene dado por la fórmula . El cono isotrópico del espacio de Minkowski se llama cono de luz , y los vectores isotrópicos se llaman luz o similares a la luz . Los vectores dentro del cono de luz ( ) se denominan temporales , y los vectores fuera del cono de luz ( ) se denominan espaciales . ${\ estilo de visualización \ mathbb {R} _ {1} ^ {4}}$ ${\ estilo de visualización e = (ct, x, y, z)}$ $C$ ${\displaystyle |e|^{2}=\langle e,e\rangle =(ct)^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2))$ ${\ estilo de visualización | e | ^ {2}> 0}$ ${\ estilo de visualización |e|^{2}<0}$

Notas

↑ 1 2 Remizov A. O. Sobre isomorfismos de espacios pseudoeuclidianos , Mat. educación, 2018, n.° 2(86), 15–39 (pág. 17).
↑ Remizov A. O. Sobre isomorfismos de espacios pseudoeuclidianos , Mat. obrazovanie, 2018, n.° 2(86), 15–39 (p. 27, Lema 2).
↑ Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Álgebra lineal y geometría, - Fizmatlit, Moscú, 2009 (cap. 7, par. 7)

Literatura

Vector isotrópico : artículo de la Enciclopedia de Matemáticas . AB Ivanov
B. A. Dubrovin , S. P. Novikov , A. T. Fomenko Geometría Moderna: Métodos y Aplicaciones. - 4ª edición. - M. : Editorial URSS, 1998. - T. 1. Geometría de superficies, grupos de transformaciones y campos. - S. 49-52. — 320 s. — ISBN 5-901006-02-X .
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Álgebra lineal y geometría, - Fizmatlit, Moscú, 2009 (cap. 7, par. 7).
Remizov AO Sobre isomorfismos de espacios pseudoeuclidianos , Mat. educación, 2018, n.° 2(86), 15–39.

Vectores y matrices

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Conceptos básicos	Vector en geometría Base base ortogonal Coordenadas vectoriales colinealidad ortogonalidad Dependencia lineal Espacio de columna
Tipos de vectores	Vector unitario vector axial vector isotrópico Normal colinealidad vector cero Vector de radio vector propio
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Tipos de espacios	espacio vectorial espacio afín espacio euclidiano Espacio pseudo-euclidiano espacio normado espacio minkowski

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