Radián

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Radián
contento
1 radián es un ángulo central cuya longitud de arco es igual al radio del círculo
Valor	valor del ángulo
Sistema	SI
Tipo de	principal
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Radian (designación rusa: rad , internacional: rad ; de lat. radio - rayo, radio) - el ángulo correspondiente al arco , cuya longitud es igual a su radio [1] . La unidad de medida de ángulos planos en el Sistema Internacional de Unidades (SI) , así como en los sistemas de unidades del CGS y MKGSS [2] .

La medida en radianes es una medida angular, en la que se toma como unidad un ángulo de 1 radian. Es decir, la medida en radianes de cualquier ángulo es la razón de ese ángulo al radián [3] . De la definición se deduce que el valor del ángulo completo es 2 π radianes (ver la figura de la derecha).

También puedes definir la medida en radianes de la siguiente manera: la medida en radianes de un ángulo es la razón entre la longitud del arco de un círculo situado entre los lados del ángulo y el radio de este círculo, cuando el centro del círculo coincide con el vértice del ángulo . En geometría, para determinar la medida en radianes de un ángulo, se usa un círculo unitario con el centro en el vértice del ángulo; entonces la medida en radianes del ángulo es igual a la longitud del arco del círculo unitario entre los lados del ángulo [4] [5] .

Dado que la longitud de un arco de círculo es proporcional a su medida angular y radio, la longitud de un arco de círculo con radio R y valor angular α , medido en radianes, es igual a α ∙ R.

Dado que el valor del ángulo, expresado en radianes, es igual a la relación entre la longitud del arco de un círculo ( m ) y la longitud de su radio ( m ), el ángulo medido en radianes es una cantidad adimensional .

Radianes en el Sistema Internacional de Unidades (SI)

Como unidad de ángulos planos en el Sistema Internacional de Unidades (SI), el radián fue adoptado por la XI Conferencia General sobre Pesos y Medidas en 1960, simultáneamente con la adopción del sistema SI en su conjunto [6] . En la actualidad, en el sistema SI, el radián se califica como una unidad SI derivada adimensional coherente [7] , que tiene un nombre y una designación especiales. Designación rusa - alegre , internacional - rad [8] .

La adimensionalidad de un ángulo plano significa que la unidad de su medida es el número uno . Sin embargo, en relación con un ángulo plano, a la unidad "uno" se le dio el nombre especial de "radian" para facilitar la comprensión en cada caso específico de qué tipo de valor se trata [9] .

Múltiplos y submúltiplos

Los múltiplos y submúltiplos decimales del radián se forman usando prefijos SI estándar , pero rara vez se usan. Entonces, en milirradianes, microrradianes y nanorradianes, se mide la resolución angular en astronomía. En unidades múltiples (kilorradianes, etc.), se mide la incursión de fase angular . La abreviatura (rad, rad) de las unidades básicas y derivadas no debe confundirse con la unidad de medida obsoleta de la dosis absorbida de radiación ionizante - rad .

múltiplos				Dolnye
magnitud	título	designacion		magnitud	título	designacion
10 1 rad	decaradiano	Darad	Darad	10 −1 rad	deciradian	doctor	doctor
10 2 rad	hectoradiano	Viva	hrad	10 −2 rad	centirradian	srad	cuna
10 3 rad	kilorradián	robar	krad	10 −3 rad	milirradián	mrad	mrad
10 6 rad	megaradian	mrad	mrad	10 −6 rad	microrradián	mkrad	µrad
10 9 rad	gigaradian	Viva	Graduado	10 −9 rad	nanorradián	nrad	nrad
10 12 rad	teraradian	tradicional	tradicional	10 −12 rad	picorradián	prad	prad
10 15 rad	petaradiano	Prades	prad	10 −15 rad	femtoradiano	Frad	Frad
10 18 rad	exradiano	Erad	Erad	10 −18 rad	attoradián	arado	arado
10 21 rad	zettaradian	Zrad	Zrad	10 −21 rad	zeptoradián	zrad	zrad
10 24 rad	yottaradian	irad	Yarda	10 −24 rad	ioctoradiano	irad	yrad
recomendado para su uso no se recomienda la aplicación no se usa o rara vez se usa en la práctica

Relación del radián con otras unidades

La relación proporcional del radián con otras unidades angulares se describe mediante la fórmula:

1 radián = 1/( 2π ) revoluciones = 180/ π grados = 200/ π grados .

Obviamente, el ángulo desarrollado es igual a o radianes. De aquí se sigue la fórmula trivial para convertir de grados, minutos y segundos a radianes y viceversa. $180^{\circ},$ ${\frac{\pi \cdot r}{r}}=\pi$

a [°] = α [rad] × (360° / ( 2π )) o α [rad] × (180° / π ), α [rad] = a [°] : (180° / π ) = a [°] × ( π / 180°),

donde α [rad] es el ángulo en radianes y a [°] es el ángulo en grados.

1 rad (o ) = (regla de memorización mnemotécnica en grados-minutos-segundos: "escribo el número de radianes y el orden de memoria en broma", donde el número de letras de cada palabra es igual al dígito correspondiente en el valor en radianes récord, hasta una décima de segundo de arco) $pag^{\circ}$ ${\frac {360^{\circ }}{2\pi }}\aprox. 57{,}295779513^{\circ }\aprox. 57^{\circ }17'44{,}806''$

$pags'$ (o 1 rad en minutos) = ${\frac {360^{\circ }\cdot 60'}{2\pi }}\approx 3437{,}747'$

$pags''$ (o 1 rad en segundos) = ${\frac {360^{\circ }\cdot 60'\cdot 60''}{2\pi }}\approx 206264{,}8''.$

En el sistema métrico de medidas angulares, un ángulo recto se divide en 100 grados y cada grado en 100 centígrados que, a su vez, se dividen en centésimas de centígrado, así que (o 1 rad en centésimas de “centígrado”) = Prácticamente no es necesario usarlo, ya que el sistema métrico de medidas angulares aún no se ha generalizado.
$p^{{\backprime \backprime ))$ ${\frac{400\cdot 100\cdot 100}{2\pi }}=636620.$

Para que sea más fácil recordar cómo se convierten los radianes en grados y viceversa, notamos:
Al convertir radianes en grados (o minutos o segundos), hacemos un número con nombre ( ) a partir de un número abstracto ( ) y, por lo tanto, debemos multiplicar por o ; Al convertir grados en radianes, por el contrario, destruimos el nombre: obtenemos un número abstracto; entonces aquí necesitas dividir o multiplicar por una fracción invertida ${\ estilo de visualización \ matemáticas {rad}}$ $p^{\circ},p',p''$ $p^{\circ }~($ $páginas'')$
$p^{\circ }~($ $páginas''),$ ${\frac {1}{p^{\circ }}}}~({\frac {1}{p'}},{\frac {1}{p''}}).$

Ejemplo 1 Convertir a radianes $5^\circ43'46''.$

${\boldsymbol {\alpha }}[\mathrm {rad} ]\eqcirc 5^{\circ }={\frac {5^{\circ }}{\displaystyle {p^{\circ }}} }~\mathrm {rad} =0{,}0872_{6}$ [diez]

$43'={\frac {43'}{p'}}~\mathrm {rad} =0{,}0125_{08}$ [diez]

$46''={\frac{46''}{p''}}~\mathrm {rad} =0{,}0002_{23}$ [diez]

$\sum \approx 0{,}0999_{9}~\mathrm {rad}$ [diez] $=0{,}1~\mathrm {rad}$

Un método alternativo consiste en convertir minutos y segundos a decimales (centésimas y diezmilésimas) de un grado,
y una sola división por (por regla general, este método es más preciso) $pag^{\circ}:$

$46'' = \frac{46''}{60''} = 0{,}\boldsymbol{77}'$

$43{,}\boldsymbol{77}' = \frac{43{,}77'}{60'} = 0{,}\boldsymbol{7295}^\circ$

$\sum =5{,}{\boldsymbol {7295}}^{\circ }$

$5{,}7295^{\circ }={\frac {5{,}7295^{\circ }}{p^{\circ }}}~\mathrm {rad} ={\frac {5 {,}7295^{\circ }}{\displaystyle {57{,}295^{\circ }}}}=0{,}1~\mathrm {rad}$

Ejemplo 2. Convertir a grados 1 radian.

$a[^{\circ }]\eqcirc 1\cdot {\frac {360^{\circ }}{2\pi }}=1\cdot 57{,}29578^{\circ }=57{,}{ \boldsymbol {29578}}^{\circ}$

$0{,}{\boldsymbol {29578}}^{\circ }\cdot 60'=17{,}{\boldsymbol {7468}}'$

$0{,}{\boldsymbol {7468}}'\cdot 60''=44{,}807''\aprox. 45''$

Total $\approx 57^{\circ }17'45''.$

Tabla de grados, radianes y grados

Mesa angular [11]

Ángulo , en fracciones del total	grados	radianes	graduados	Seno	Coseno	Tangente
${\ estilo de visualización 0}$	$0^{\círculo}$	${\ estilo de visualización 0}$	$0^{\mathrm {g} }$	${\ estilo de visualización 0}$	una	${\ estilo de visualización 0}$
${\frac {1}{24}}$	${\ estilo de visualización 15 ^ {\ circ})$	${\frac{\pi}{12}}$	$33{\frac {1}{3}}^{\mathrm {g} }$	${\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}-1)$	${\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}+1)$	$2-\raíz cuadrada{3}$
${\frac{1}{12}}$	$30^{\círculo}$	${\frac{\pi}{6}}$	$16{\frac {2}{3}}^{\mathrm {g} }$	${\frac{1}{2))$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$
${\frac{1}{8))$	$45^{\círculo}$	${\ frac {\ pi} {4}}$	$50^{\mathrm {g} }$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$una$
${\frac{1}{6}}$	$60^{\círculo}$	${\frac{\pi}{3}}$	$66{\frac {2}{3}}^{\mathrm {g} }$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	${\frac{1}{2))$	$\sqrt{3}$
${\frac {5}{24}}$	${\displaystyle 75^{\circ ))$	${\ estilo de visualización {\ frac {5 \ pi} {12}}}$	$88{\frac {1}{3}}^{\mathrm {g}} }$	${\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}+1)$	${\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}-1)$	${\ estilo de visualización 2+ {\ sqrt {3}}}$
${\frac{1}{4))$	$90^{\círculo}$	${\ frac {\ pi} {2}}$	${\displaystyle 100^{\mathrm {g} ))$	$una$	${\ estilo de visualización 0}$	no definida
${\frac{7}{24}}$	${\displaystyle 105^{\circ ))$	${\frac{7\pi}{12}}$	$116{\frac {2}{3}}^{\mathrm {g} }$	${\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}+1)$	$-{\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}-1)$	$-2-{\sqrt {3}}$
${\frac{1}{3))$	$120^{\círculo}$	${\frac{2\pi}{3}}$	$133{\frac {1}{3}}^{\mathrm {g} }$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{1}{2}$	$-\raíz cuadrada{3}$
${\frac {3}{8}}$	$135^{\circ}$	${\frac{3\pi}{4}}$	${\displaystyle 150^{\mathrm {g} ))$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-una$
${\frac {5}{12}}$	$150^{\circ}$	${\frac{5\pi}{6}}$	$166{\frac {2}{3}}^{\mathrm {g} }$	${\frac{1}{2))$	$-\frac{\raíz cuadrada{3}}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{3}$
${\frac {11}{24}}$	${\displaystyle 165^{\circ ))$	${\ estilo de visualización {\ frac {11 \ pi} {12}}}$	$183{\frac {1}{3}}^{\mathrm {g} }$	${\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}-1)$	$-{\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}+1)$	$-2+{\sqrt {3}}$
${\frac{1}{2))$	$180^{\círculo}$	$\Pi$	$200^{\mathrm {g} }$	${\ estilo de visualización 0}$	-una	${\ estilo de visualización 0}$
${\frac{7}{12}}$	${\displaystyle 210^{\circ ))$	${\frac{7\pi}{6}}$	$233{\frac {1}{3}}^{\mathrm {g}} }$	$-\frac{1}{2}$	$-\frac{\raíz cuadrada{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$
${\dfrac {5}{8}}$	$225^{\circ}$	${\dfrac{5\pi}{4}}$	$250^{\mathrm{g} }$	$-{\dfrac {\sqrt {2}}{2}}$	$-{\dfrac {\sqrt {2}}{2}}$	$una$
${\frac{2}{3))$	$240^{\circ }$	${\frac{4\pi}{3}}$	$266{\frac {2}{3}}^{\mathrm {g} }$	$-\frac{\raíz cuadrada{3}}{2}$	$-\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$
${\frac{3}{4))$	$270^{\circ }$	${\frac{3\pi}{2}}$	${\displaystyle 300^{\mathrm {g} ))$	$-una$	${\ estilo de visualización 0}$	no definida
${\frac{5}{6))$	${\displaystyle 300^{\circ ))$	${\frac{5\pi}{3}}$	$333{\frac {1}{3}}^{\mathrm {g}} }$	$-\frac{\raíz cuadrada{3}}{2}$	${\frac{1}{2))$	$-\raíz cuadrada{3}$
${\frac{7}{8))$	${\displaystyle 315^{\circ ))$	${\frac{7\pi}{4}}$	${\displaystyle 350^{\mathrm {g} ))$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-una$
${\frac {11}{12}}$	${\displaystyle 330^{\circ ))$	${\ estilo de visualización {\ frac {11 \ pi} {6}}}$	$366{\frac {2}{3}}^{\mathrm {g} }$	$-\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{3}$
$una$	${\displaystyle 360^{\circ ))$	$2\pi$	${\displaystyle 400^{\mathrm {g} ))$	${\ estilo de visualización 0}$	una	${\ estilo de visualización 0}$

Medida en radianes en cálculo

Al considerar funciones trigonométricas en cálculo , el argumento siempre se considera en radianes, lo que simplifica la notación; sin embargo, a menudo se omite la designación rad ( rad ).

En ángulos pequeños , el seno y la tangente de un ángulo expresados en radianes son aproximadamente iguales al ángulo mismo (en radianes), lo cual es conveniente para cálculos aproximados. En ángulos menores que , la aproximación puede considerarse correcta hasta el tercer decimal. Si el ángulo es menor que , entonces hasta el sexto decimal [12] : $0{,}1~\mathrm {rad} ~(5^{\circ }43'{,}77)$ $0{,}01~\mathrm {rad} ~(0^{\circ }34'{,}38)$

\sin\alpha \approx \operatorname{tg}\,\alpha \approx \alpha.

Historia

El primer uso del radián en lugar del grado del ángulo se suele atribuir a Roger Cotes (siglo XVIII), quien consideraba esta unidad de ángulo como la más natural [13] . Sin embargo, la idea de medir la longitud de un arco por el radio de un círculo también fue utilizada por otros matemáticos. Por ejemplo, Al-Kashi utilizó una unidad de medida que llamó " parte del diámetro ", que equivalía a 1/60 de radián. También utilizó unidades derivadas más pequeñas [14] .

El término " radian " apareció impreso por primera vez el 5 de junio de 1873 en exámenes compilados por James Thomson de la Queen 's University Belfast . Thomson usó el término a más tardar en 1871, mientras que Thomas Muir de la Universidad de St. Andrews en 1869 vaciló entre los términos " rad ", " radial " y " radian ". En 1874, Muir, después de consultar con James Thomson, decidió utilizar el término "radian" [15] [16] [17] .

Véase también

Notas

↑ Radian // Enciclopedia matemática (en 5 volúmenes) . - M .: Enciclopedia soviética , 1984. - T. 4.
↑ Dengub V. M. , Smirnov V. G. Unidades de cantidades. Referencia del diccionario. - M. : Editorial de Normas, 1990. - S. 98. - 240 p. — ISBN 5-7050-0118-5 .
↑ Vygodsky, 1965 .
↑ Gelfand, Lvovsky, Toom, 2002 .
↑ David E. Joyce. Medida de ángulos . Curso corto de trigonometría de Dave . Universidad Clark. Consultado el 8 de septiembre de 2015. Archivado desde el original el 7 de septiembre de 2015.
↑ Resolución 12 de la XI Conferencia General de Pesos y Medidas (1960 ) . Oficina Internacional de Pesas y Medidas . Fecha de acceso: 19 de diciembre de 2014. Archivado desde el original el 28 de julio de 2012.
↑ Una unidad de medida derivada se llama coherente si se expresa como un producto de potencias de las unidades de medida básicas con un factor de proporcionalidad igual a uno .
↑ GOST 8.417-2002. Sistema estatal para asegurar la uniformidad de las mediciones. Unidades de cantidades. (enlace no disponible) . Consultado el 18 de septiembre de 2012. Archivado desde el original el 10 de noviembre de 2012. (indefinido)
↑ Unidades para cantidades menos cantidades , cantidades de cantidades Folleto SI: El Sistema Internacional de Unidades (SI) . Oficina Internacional de Pesos y Medidas (2006). Fecha de acceso: 19 de diciembre de 2014. Archivado desde el original el 7 de octubre de 2014.
↑ 1 2 3 4 Los dígitos adicionales [después del cuarto lugar decimal] en las expresiones de minutos y segundos a menudo se descartan debido a que se desconoce el siguiente dígito en la expresión de grados y, por lo tanto, escribir números más allá del cuarto [indicado por un subíndice] es una pérdida de trabajo.
↑ Abramowitz y Stegun, 1972 , pág. 74, 4.3.46.
↑ $\sin 5^\circ43'{,}77 = 0{,}0998 \approx 0{,}100$ $\operatorname{tg} 5^\circ43'{,}77 = 0{,}1003 \approx 0{,}100$ (la precisión se viola en el cuarto decimal) $\sen 0^\circ34'{,}38 = 0{,}0099998 \approx 0{,}010000$ $\operatorname{tg} 0^\circ34'{,}38 = 0{,}0100003 \approx 0{,}010000$ (la precisión no se mantiene en el séptimo decimal)
Es por eso que los intervalos de la(s) escala(s) en la regla de puntuación tienen límites y ; por debajo de este valor (hasta 0) no hay gráfico, ya que los ángulos (en radianes) coinciden con los valores de senos / tangentes regladentro de la precisión de la ) $5^\circ43'{,}77 ~ (\aprox. 5^\circ43'46'' )$ $0^\circ34'{,}38 ~ (\aprox. 0^\circ34'23'' )$
↑ O'Connor, JJ; Robertson, E. F. Biografía de Roger Cotes . The MacTutor History of Mathematics (febrero de 2005). Fecha de acceso: 3 de febrero de 2014. Archivado desde el original el 24 de septiembre de 2012. (indefinido)
↑ Lucky, Paul. Der Lehrbrief über den kreisumfang von Gamshid b. Mas'ud al-Kasi (alemán) / Siggel, A.. - Berlín: Akademie Verlag , 1953. - S. 40.
↑ Florián Cajori . Historia de las Notaciones Matemáticas (indefinido) . - 1929. - T. 2. - S. 147-148. - ISBN 0-486-67766-4 .
↑ Muir, Thos. El Término "Radián" en Trigonometría // Naturaleza . - 1910. - Vol. 83 , núm. 2110 . — Pág. 156 . -doi : 10.1038/ 083156a0 . — . Thompson, James. El Término "Radián" en Trigonometría // Naturaleza . - 1910. - Vol. 83 , núm. 2112 . — Pág. 217 . -doi : 10.1038/ 083217c0 . — . Muir, Thos. El Término "Radián" en Trigonometría // Naturaleza . - 1910. - Vol. 83 , núm. 2120 . - P. 459-460 . -doi : 10.1038/ 083459d0 . — .
↑ Miller, Jeff Primeros usos conocidos de algunas de las palabras de las matemáticas (23 de noviembre de 2009). Consultado el 30 de septiembre de 2011. Archivado desde el original el 18 de enero de 2021. (indefinido)

Literatura

Vygodsky M. Ya. Manual de matemáticas elementales. - Nauka, 1965. - S. 340-343. — 424 págs.
Gelfand I. M. , Lvovsky S. M., Toom A. L. Trigonometría . - M. : MTsNMO, 2002. - S. 7-8. — 199 pág. — ISBN 5-94057-050-X .
Abramowitz, M.; Stegun, IA . - Nueva York: Publicaciones de Dover , 1972. - ISBN 0-486-61272-4 .

diccionarios y enciclopedias	Gran danés gran chino gran noruego gran ruso Britannica (en línea) Britannica (en línea)

Unidades SI
Unidades básicas	amperio candela Kelvin kilogramo metro Topo segundo
Unidades derivadas con nombres especiales	becquerel vatio Weber voltio Enrique hercios grado Celsius gris joule sievert arrollado colgante lujo lumen newton ohm pascal radián Siemens estereorradián tesla faradio
Aceptado para su uso con SI	angstrom unidad astronómica hectárea grado de arco minuto de arco segundo de arco dalton (unidad de masa atómica) blanco litro neper día hora minuto tonelada electrón-voltio
ver también	prefijos SI Conversión de unidades Historia del sistema métrico Convención métrica 1875 Definiciones 2005–2019 Redefinición 2019