Múltiple de cabeza blanca

Una variedad de Whitehead es un ejemplo específico de una variedad abierta de 3 que es contráctil pero no homeomorfa . Henry Whitehead encontró un ejemplo en 1935 mientras intentaba resolver la conjetura de Poincaré . $\mathbb{R} ^{3}$

En los casos unidimensionales y bidimensionales, no existen tales ejemplos.

Edificio

Para la construcción en una esfera tridimensional, se elige un toroide sólido sin anudar , luego se elige el segundo toroide sólido de modo que la vecindad tubular del meridiano forme un engrosamiento del enlace de Whitehead . En este caso , el meridiano puede contraerse en el complemento y el meridiano puede contraerse en el complemento . $T_{1}$ $T_{2}$ $T_{1}$ $T_{2}$ $T_{1}$ $T_{2}$ $T_{1}$ $T_{1}$ $T_{2}$

A continuación, se construye un toro sólido , incrustado de la misma forma que para ; esta construcción se puede continuar ad infinitum, obteniendo una secuencia de triples completos anidados: $T_{3}$ $T_{2}$ $T_{2}$ $T_{1}$

T_{1}\subconjunto T_{2}\subconjunto T_{3}\subconjunto \puntos

El continuo de Whitehead se define como la intersección de los ensayos completos construidos:

W=\gran capitalización_{i}T_{i}

El complemento en la esfera tridimensional es la variedad de Whitehead. $W$

Propiedades

La variedad de Whitehead, , no es homeomorfa , pero el producto es homeomorfo . $W$ $\mathbb{R} ^{3}$ $W\veces\R$ $\R^4$
Una variedad de Whitehead contiene un conjunto compacto tal que, para cualquier otro conjunto compacto, el complemento no es simplemente conexo . $k$ $K' \ disgusto K$ $W\barra invertida K'$

Véase también

el collar de antoine

Literatura

Kirby, Robión. La topología de 4-variedades. - Springer-Verlag , 1989. - (Lecture Notes in Mathematics, 1374). — ISBN 0-387-51148-2 .