Espacio contratado

Un espacio contráctil es un espacio topológico homotópicamente equivalente a un punto. Esta condición es equivalente a decir que el mapa de identidad en es homotópico al mapa constante. $X$

Un espacio localmente contráctil es un espacio topológico, cada punto del cual tiene una vecindad contráctil .

Propiedades

Un espacio es contráctil si y sólo si existe tal que es una deformación retracción del espacio . $X$ $x_{0}\en X$ $\{x_{0}\}$ $X$

Los espacios contráctiles siempre están simplemente conectados ; la afirmación inversa no se cumple en el caso general, la contractibilidad es una restricción más fuerte que la simple conexión.

Todo mapa continuo de espacios contráctiles es una equivalencia de homotopía. Dos mapas continuos cualesquiera de un espacio arbitrario en un espacio contráctil son homotópicos; además, si dos aplicaciones continuas cualesquiera son homotópicas, entonces es un espacio contráctil. $X$ $X$

Un cono para un espacio dado es un espacio contráctil, por lo que cualquier espacio puede estar incrustado en un espacio contráctil, lo que, a su vez, indica que no todos los subespacios de un espacio contráctil son contráctiles. Además, es contraible si y sólo si hay una retracción . $\mathrm{C}X$ $X$ $X$ $X$ ${\mathrm {C}}X\a X$

Ejemplos y contraejemplos

Espacio real contráctil -dimensional , cualquier subconjunto convexo del espacio euclidiano, en particular -bola dimensional . $norte$ $\mathbb{R} ^{n}$ $norte$

Una esfera en un espacio de Hilbert de dimensión infinita es contráctil, pero las esferas euclidianas de dimensión infinita no son contráctiles. Cualquier mapeo continuo de una esfera bidimensional en un espacio contráctil puede extenderse continuamente a una bola bidimensional. $norte$ $norte$ $n+1$

Otros espacios contráctiles notables son la variedad de Whitehead (una variedad tridimensional , no homeomorfa ), la variedad de Mazur ( una variedad suave de cuatro dimensiones con límite, no difeomorfa a una bola de cuatro), la casa de Bing y la gorro de bufón . $\mathbb{R} ^{3}$

Todas las variedades y complejos CW son contraibles localmente, pero no contraibles en general.

Literatura

E. Spanier. Topología algebraica. - M .: Mir , 1971. - S. 39-42. — 680 s.