Polinomios ortogonales

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En matemáticas , una secuencia de polinomios ortogonales es una secuencia infinita de polinomios reales.

p_{0}(x),\ p_{1}(x),\ p_{2}(x),\ \ldots

donde cada polinomio tiene grado , y también dos polinomios diferentes cualesquiera de esta secuencia son ortogonales entre sí en el sentido de algún producto escalar dado en el espacio . $p_n(x)$ $norte$ $L^{2}$

El concepto de polinomios ortogonales se introdujo a finales del siglo XIX. en los trabajos de P. L. Chebyshev sobre fracciones continuas y luego desarrollado por A. A. Markov y T. I. Stiltjes y encontró varias aplicaciones en muchas áreas de las matemáticas y la física .

Definición

Ortogonalidad con peso

Sea un intervalo en el eje real (finito o infinito). Esta brecha se llama el intervalo de ortogonalidad . Dejar $(a, b)$

w : ~(a,b) \to \mathbb{R}

una función continua estrictamente positiva dada dentro del intervalo. Tal función se llama peso o simplemente peso . La función está relacionada con el espacio de funciones para las cuales la integral converge $(a, b)$ $w(x)$ $L_{{2}}$

\int_{a}^{b} \left[f(x)\right]^2 w(x) \; dx < \infty

En el espacio resultante, puede ingresar el producto escalar por la fórmula

\langle f, g \rangle = \int_{a}^{b} f(x) g(x) w(x) \; dx

para funciones reales,

\langle f, g \rangle = \int_{a}^{b} f(x) \overline{g(x)} w(x) \; dx

para funciones de valor complejo.

Si el producto escalar de dos funciones es igual a cero , entonces tales funciones se llaman ortogonales con peso . Como regla general, solo se consideran funciones reales entre polinomios ortogonales. $\langle f,g\rangle =0$ $w(x)$

Redacción clásica

Sistema polinomial

p_{0}(x),p_{1}(x),\cdots,p_{n}(x),\cdots

se llama ortogonal si

$p_n(x)$ es un polinomio de grado , $norte$
$\langle p_m,p_n \rangle = \delta_{mn} h_{n}$ , donde está el símbolo de Kronecker , es el factor de normalización. $\delta _{{mn}}$ $h_{{n}}$

Se dice que una base ortogonal es ortonormal si todos sus elementos tienen norma unitaria . Algunos de los polinomios clásicos presentados a continuación pueden normalizarse de acuerdo con alguna otra regla. Para tales polinomios, los valores difieren de la unidad y se enumeran en la tabla a continuación. $||p_n||=h_n=1$ $h_{n}$

Propiedades generales de sucesiones de polinomios ortogonales

Relaciones recurrentes

Cualquier polinomio ortogonal satisface la siguiente fórmula recurrente que relaciona tres polinomios consecutivos del sistema:

{p_{n+1}(x)\ =\ (A_nx+B_n)\ p_n(x)\ -\ C_n\ p_{n-1}(x)},

dónde

A_n=\frac{k_{n+1}}{k_n},\quad B_n=A_n \left(r_{n+1}-r_n \right), \quad C_n= \frac {A_n h_n} {A_{n -1}h_{n-1}},

r_n=\frac{k'_n}{k_n}, \quad h_n= \langle p_n(x),p_n(x) \rangle

k_n

y son los coeficientes en los términos y en el polinomio

{\ Displaystyle k'_ {n}}

x^n

x^{{n-1}}

p_{n}(x).

Esta fórmula sigue siendo válida para , si ponemos . $n=0$ $p_{-1}(x)=0$

Prueba

Probemos que para cualquier n existen tales coeficientes a , b y c que se cumple la última relación de recurrencia.

Elegimos a para que el coeficiente de at en el polinomio desaparezca $x^{n+1}$ $p_{n+1}(x)$

a\ x\ p_n(x)\ -\ p_{n+1}(x)

es un polinomio de grado n .

Elegimos b para que el coeficiente de at en el polinomio desaparezca $x^n$ $p_{n+1}(x)$

(ax+b)\ p_n(x)\ -\ p_{n+1}(x)

- polinomio (n-1) -ésimo grado.

Expandimos el polinomio a una serie (esto es posible, ya que el sistema de polinomios ortogonales está completo)

(ax+b)\ p_n(x)\ -\ p_{n+1}(x)\ =\ \sum_{i=0}^{n-1} {\lambda}_i p_i(x)

La expresión resultante se multiplica escalarmente por las potencias $p_j(x)$ $j\le n-1$

a\ \langle x\ p_n, p_j \rangle - b\ \langle p_n, p_j\rangle\ =\ \sum_{i=0}^{n-1} {\lambda}_i \langle p_i, p_j \rangle

Reducir la expresión usando la ortogonalidad de los polinomios y la propiedad de permutación del producto escalar

a\ \langle p_n,\ xp_j \rangle\ =\ {\lambda}_j \langle p_j,\ p_j \rangle

Si , entonces el polinomio todavía tiene un grado menor que n y es ortogonal a . Por lo tanto, para . $j < n-1$ $xp_j(x)$ $p_n(x)$ $\lambda_j = 0$ $j < n-1$

Por lo tanto, el coeficiente distinto de cero es solo para y, haciendo , obtenemos la relación deseada

j=n-1

c = \lambda_{n-1}

p_{n+1}(x)\ =\ (ax+b)\ p_n(x)\ -\ c\ p_{n-1}(x)

Fórmula de Christoffel - Darboux

$\sum_{k=0}^{n}\frac{p_k(x)p_k(y)}{h_k}=\frac{k_n}{k_{n+1}h_n}\frac{p_{n+1} (x)p_n(y)-p_{n+1}(y)p_n(x)}{xy}$ ,

o cuando $y\a x$

$\sum_{k=0}^{n}h_k^{-1}\left[p_k(x)\right]^2=\frac{k_n}{k_{n+1}h_n}\left[p'_ {n+1}(x)p_n(x)-p_{n+1}(x)p'_n(x)\derecha]$

Raíces de polinomios

Todas las raíces del polinomio son simples, reales y todas se encuentran dentro del intervalo de ortogonalidad . $p_n(x)$ ${\ estilo de visualización \ izquierda [a; b \ derecha]}$

Prueba

Supongamos que dentro del intervalo de ortogonalidad cambia de signo solo en los puntos. Entonces existe un polinomio de grado tal que . Por otro lado, un polinomio se puede representar como una combinación lineal de polinomios , lo que significa que es ortogonal , es decir, . La contradicción resultante prueba nuestra afirmación. $p_n(x)$ $m<n$ ${\ estilo de visualización s_ {m} (x)}$ $metro$ $p_{n}(x)s_{m}(x)\geq 0$ ${\ estilo de visualización s_ {m} (x)}$ $p_{0}(x),p_{1}(x),\cdots,p_{m}(x)$ ${\ estilo de visualización s_ {m} (x)}$ $p_n(x)$ $\langle p_{n}(x),s_{m}(x)\rangle =0$

Entre dos raíces consecutivas del polinomio hay exactamente una raíz del polinomio y al menos una raíz del polinomio , para . $p_n(x)$ $p_{n+1}(x)$ $p_{m}(x)$ $m>n$

Minimalidad de la norma

Cada polinomio en una secuencia ortogonal tiene la norma mínima entre todos los polinomios del mismo grado y con el mismo primer coeficiente. $p_n(x)$ $p_n(x)$

Prueba

Dado n , cualquier polinomio p(x) de grado n con el mismo primer coeficiente se puede representar como

p(x) = p_n(x) + \sum_{i=0}^{n-1} {\alpha}_i\ p_i(x).

Usando ortogonalidad, la norma cuadrada p(x) satisface

||p(x)||^2 = \langle p(x),p(x)\rangle = ||p_n(x)||^2 + \sum_{i=0}^{n-1} { \alpha}_i^2||p_i(x)||^2 \ge ||p_n(x)||^2.

Dado que las normas son positivas, debe tomar las raíces cuadradas de ambos lados y obtendrá el resultado.

Completitud del sistema

El sistema de polinomios ortogonales está completo. Esto significa que cualquier polinomio de grado n se puede representar como una serie $p_i(x)$ $S(x)$

S(x)=\sum_{i=0}^n {\alpha}_i\ p_i(x)

donde son los coeficientes de expansión. $\alfa$

Prueba

Demostrado por inducción matemática. Elegimos tal que sea un polinomio de grado menor que . Más allá de la inducción. $\ {\alfa}_n$ $\ S(x)-{\alfa}_n P_n(x)$ $norte$

Ecuaciones diferenciales que conducen a polinomios ortogonales

Una clase muy importante de polinomios ortogonales surge al resolver una ecuación diferencial de la siguiente forma:

${Q(x)}\,f''+{L(x)}\,f'+{\lambda }f=0,$

donde y son polinomios de segundo y primer orden, respectivamente, y son funciones y coeficientes desconocidos. Esta ecuación se llama problema de Sturm-Liouville y se puede reescribir en su forma más estándar $q(x)$ $L(x)$ $f(x)$ $\lambda$

$(R(x)y')'+W(x)\,\lambda \,y=0,$

donde La solución de esta ecuación conduce a un conjunto de valores propios y un conjunto de funciones propias con las siguientes propiedades: $R(x)=e^{\int {\frac {L(x)}{Q(x)))\,dx},\,W(x)={\frac {R(x)} {Q(x)}}.$ ${\lambda}_0, {\lambda}_1, {\lambda}_2, \puntos$ $P_{0},P_{1},P_{2},\puntos$

$p_n(x)$ es un polinomio de grado n dependiendo de ${\ lambda}_n$

la secuencia es ortogonal con la función de peso $P_{0},P_{1},P_{2},\puntos$ $ancho(x)$

El intervalo de ortogonalidad depende de las raíces del polinomio Q , y la raíz L está dentro del intervalo de ortogonalidad

Los números y polinomios se pueden obtener a partir de fórmulas . $\lambda_n$ $p_n(x)$

{\lambda}_n = - n \left( \frac{n-1}{2} Q'' + L' \right)

P_{n}(x)={\frac {1}{e_{n}\,W(x)}}\ {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\ izquierda(W(x)[Q(x)]^{n}\right)

Fórmula de Rodrigues .

Una ecuación diferencial tiene soluciones no triviales solo si se cumple una de las siguientes condiciones. En todos estos casos, al cambiar la escala y/o desplazar el dominio de definición y elegir el método de normalización, los polinomios solución se reducen a un conjunto limitado de clases, que se denominan polinomios ortogonales clásicos.

1. Polinomios similares a Jacobi Q es un polinomio de segundo orden, L es de primer orden. Las raíces de Q son distintas y reales, la raíz de L se encuentra estrictamente entre las raíces de Q. Los primeros coeficientes Q y L tienen el mismo signo. Usando una transformación lineal, la ecuación se reduce a con un intervalo de ortogonalidad . Las soluciones son polinomios de Jacobi o sus casos especiales , polinomios de Gegenbauer , Legendre o Chebyshev de ambos tipos .

Q(x)=1-x^2

[-1,1]

P_n^{(\alfa, \beta)}(x)

C_n^{(\alfa)}(x)

p_n(x)

T_{n}(x)

U_{n}(x)

2. Polinomios tipo Laguerre Q y L son polinomios de primer orden. Las raíces de Q y L son diferentes. Los primeros coeficientes Q y L tienen el mismo signo si la raíz de L es menor que la raíz de Q y viceversa. Se reduce a y el intervalo de ortogonalidad . Las soluciones son polinomios de Laguerre generalizados o su caso particular, polinomios de Laguerre .

Q(x)=x

[0,\infty)

L_n^{(\alfa)}(x)

L_n(x)

3. Polinomios hermitianos Q es una constante distinta de cero, L es un polinomio de primer orden. Los primeros coeficientes Q y L tienen el signo opuesto. Se reduce a y el intervalo de ortogonalidad . Las soluciones son polinomios de Hermite .

Q(x)=1

(-\infty,\infty)

H_n(x)

Derivadas de polinomios ortogonales

Denotar como la m -ésima derivada del polinomio . La derivada es un polinomio de grado y tiene las siguientes propiedades: $P_n^{m}(x)$ $p_n(x)$ $P_n^{m}(x)$ $Nuevo Méjico$

ortogonalidad

Para un m dado , la secuencia de polinomios es ortogonal con la función de peso

P_m^{m}, P_{m+1}^{m}, P_{m+2}^{m}, \puntos

W(x)[Q(x)]^m

fórmula de Rodrigue

P_n^{m} = \frac{1}{e_nW(x)[Q(x)]^m} \ \frac{d^{nm}}{dx^{nm}}\left(W(x)[ Q(x)]^m\derecha)

ecuación diferencial

{Q(x)}\,y'' + (m\,Q'(x)+L(x))\,y' + [{\lambda}_n-{\lambda}_m]\ y = 0

, dónde

y(x)=P_n^{m}(x)

ecuación diferencial de segunda clase

(R(x)[Q(x)]^m\ y')' + [\lambda_n-\lambda_m]W(x)[Q(x)]^{m}\ y = 0

, dónde

y(x)=P_n^{m}(x)

relaciones de recurrencia (por conveniencia, los coeficientes a , b y c omiten los índices n y m )

P_{n}^{m}(x)=aP_{n+1}^{m+1}(x)+bP_{n}^{m+1}(x)+cP_{n-1 }^{m+1}(x),

P_{n}^{m}(x)=(ax+b)P_{n}^{m+1}(x)+cP_{n-1}^{m+1}(x),

Q(x)P_{n}^{m+1}(x)=(ax+b)P_{n}^{m}(x)+cP_{n-1}^{m}(x ).

Polinomios ortogonales clásicos

Los polinomios ortogonales clásicos, que se derivan de la ecuación diferencial descrita anteriormente, tienen muchas aplicaciones importantes en áreas como la física matemática, los métodos numéricos y muchas otras. Sus definiciones y propiedades principales se dan a continuación.

Polinomios de Jacobi

Se denotan los polinomios de Jacobi , donde los parámetros y los números reales son mayores que −1. Si y no son iguales, los polinomios ya no son simétricos con respecto al punto . $P_n^{(\alfa, \beta)}(x)$ $\alfa$ $\beta$ $\alfa$ $\beta$ $x=0$

Función de peso en el intervalo de ortogonalidad $W(x)=(1-x)^\alpha(1+x)^\beta$ $[-1,1]$

Ecuaciones diferenciales

(1-x^2)\,y'' + (\beta-\alpha-[\alpha+\beta+2]\,x)\,y' + {\lambda}\,y = 0

Valores propios

\lambda_n = n(n+1+\alfa+\beta)

fórmula recurrente

P_{n+1}(x)=(A_{n}\,x+B_{n})\,P_{n}(x)-C_{n}\,P_{n-1}( X),

dónde

A_{n}={\frac {(2n+1+\alpha +\beta )(2n+2+\alpha +\beta )}{2(n+1)(n+1+\alpha + \beta)}},

B_{n}={\frac {({\alpha }^{2}-{\beta }^{2})(2n+1+\alpha +\beta )}{2(n+1) (2n+\alfa +\beta )(n+1+\alfa +\beta )}},

C_{n}={\frac {(n+\alpha )(n+\beta )(2n+2+\alpha +\beta )}{(n+1)(n+1+\alpha +\beta )(2n+\alfa +\beta)}}

Normalización

P_n^{(\alpha, \beta)}(1)=\frac{\Gamma(n+1+\alpha)}{n!\,\Gamma(1+\alpha)}, \qquad h_n=\frac {2^{\alpha+\beta+1}\,\Gamma(n\!+\!\alpha\!+\!1)\,\Gamma(n\!+\!\beta\!+\!1 )} {n!(2n\!+\!\alfa\!+\!\beta\!+\!1)\Gamma(n\!+\!\alfa\!+\!\beta\!+\ !1)}, \qquad k_n=\frac{\Gamma(2n+1+\alpha+\beta)}{n!\,2^n\,\Gamma(n+1+\alpha+\beta)}, \ qcuadrado e_n=(-2)^n\,n!

Polinomios de Gegenbauer

Los polinomios de Gegenbauer se denotan por , donde el parámetro es un número real mayor que −1/2. Se deriva de polinomios de Jacobi para parámetros iguales y $C_n^{(\alfa)}(x)$ $\alfa$ $\alfa$ $\beta$

$C_n^{(\alpha)}(x) = \frac{\Gamma(2\alpha\!+\!n)\,\Gamma(\alpha\!+\!1/2)} {\Gamma(2 \alpha)\,\Gamma(\alpha\!+\!n\!+\!1/2)}\! \P_n^{(\alpha-1/2, \alpha-1/2)}.$

Los polinomios similares a Jacobi restantes son un caso especial de los polinomios de Gegenbauer con un parámetro elegido y la normalización correspondiente. $\alfa$

Función de peso en el intervalo de ortogonalidad $W(x)=(1-x^2)^{\alfa-1/2}$ $[-1,1]$

Ecuaciones diferenciales

(1-x^2)\,y'' - (2\alpha+1)\,x\,\,y' + {\lambda}\,y = 0

Valores propios

\lambda_n = n(n+2\alfa)

fórmula recurrente

(n+1)\,C_{n+1}^{(\alpha )}(x)=2(n+\alpha )x\,C_{n}^{(\alpha )}(x) -(n+2\alfa -1)\,C_{n-1}^{(\alfa )}(x)

Normalización

C_{n}^{(\alpha )}(1)={\frac {\Gamma (n+2\alpha )}{n!\,\Gamma (2\alpha )))

\alpha\ne0,\qquad

h_n=\frac{\pi\,2^{1-2\alpha}\Gamma(n+2\alpha)}{n!(n+\alpha)(\Gamma(\alpha))^2}, \qquad k_n=\frac{\Gamma(2n+2\alpha)\Gamma(\frac{1}{2}+\alpha)}{n!\,2^n\,\Gamma(2\alpha)\Gamma( n+\frac{1}{2}+\alpha)}, \qquad e_n = \frac{(-2)^n\,n!\,\Gamma(2\alpha)\,\Gamma(n+\frac{ 1}{2}+\alfa)} {\Gamma(n+2\alfa)\Gamma(\alfa+\frac{1}{2})}

Otras propiedades

C_n^{(\alpha+1)}(x) = \frac{1}{2\alpha}\! \ \frac{d}{dx}C_{n+1}^{(\alpha)}(x)

Polinomios de Legendre

Los polinomios de Legendre se denotan y son un caso especial de los polinomios de Gegenbauer con parámetro $p_n(x)$ $\alpha=1/2$

$P_{n}(x)=C_{n}^{(1/2)}(x).$

Función de peso en el intervalo de ortogonalidad $W(x)=1$ $[-1,1]$

Ecuaciones diferenciales

(1-x^2)\,y'' - 2x\,y' + {\lambda}\,y = 0, \qquad ([1-x^2]\,y')' + \lambda\, y=0

Valores propios

\lambda_n = n(n+1)

fórmula recurrente

{\ estilo de visualización (n+1)\,P_{n+1}(x)=(2n+1)x\,P_{n}(x)-n\,P_{n-1}(x)}

Normalización

P_n(1)=1, \qquad h_n=\frac{2}{2n+1}, \qquad k_n=\frac{(2n)!}{2^n\,(n!)^2}, \qquad e_n=(-2)^n\,n!

Primeros polinomios

P_{0}(x)=1;

P_{1}(x)=x;

P_2(x)=(3x^2-1) / 2;

P_3(x)=(5x^3-3x) / 2;

P_4(x)=(35x^4-30x^2+3) / 8;

Polinomios de Chebyshev

El polinomio de Chebyshev se usa a menudo para aproximar funciones como un polinomio de grado , que se desvía menos de cero en el intervalo $T_{n}(x)$ $norte$ $[-1,1]$

$T_{n}(x)=\cos(n\,arcos(x)).$

Es un caso especial del polinomio de Gegenbauer normalizado para el parámetro $\alfa \a 0$

$T_{n}(x)=\lim _{\alpha \to 0}n\,\Gamma (\alpha )\,C_{n}^{(\alpha )}.$

Función de peso en el intervalo de ortogonalidad $W(x)=(1-x^2)^{-1/2}$ $[-1,1]$

Ecuación diferencial

(1-x^2)\,y'' - x\,y' + {\lambda}\,y = 0

Valores propios

\lambda_n = n^2

fórmula recurrente

T_{n+1}(x)=2x\,T_{n}(x)-T_{n-1}(x)

Normalización

T_n(1)=1, \qquad h_n=\left\{ \begin{matriz} \pi &:~n=0 \\ \pi/2 &:~n\ne 0 \end{matriz}\right. ,\qquad k_n = 2^{n-1}, \qquad e_n=(-2)^n\,\frac{\Gamma(n+1/2)}{\sqrt{\pi))

El polinomio de Chebyshev del segundo tipo se caracteriza como un polinomio, cuya integral cuyo valor absoluto se desvía menos de cero en el intervalo $U_{n}(x)$ $[-1, +1]$

$U_{n}={\frac{1}{n+1}}\,T_{n+1}'$

Función de peso en el intervalo de ortogonalidad $W(x)=(1-x^2)^{1/2}$ $[-1,1]$
Ecuación diferencial

(1-x^2)\,y'' - 3x\,y' + {\lambda}\,y = 0

Normalización

U_n(1)=n+1, \qquad h_n=\pi / 2, \qquad k_n = 2^n, \qquad e_n=2(-2)^n\,\frac{\Gamma(n+3/2 )}{(n+1)\,\raíz cuadrada{\pi}}

Polinomios de Laguerre

Se denotan polinomios de Laguerre asociados o generalizados donde el parámetro es un número real mayor que -1. Para polinomios generalizados se reducen a polinomios de Laguerre ordinarios $L_n^{(\alfa)}(x)$ $\alfa$ $\ alfa = 0$

$L_{n}(x)=L_{n}^{(0)}(x).$

Función de peso en el intervalo de ortogonalidad $W(x)=x^{\alpha}e^{-x}$ $[0,\infty)$

Ecuaciones diferenciales

x\,y''+(\alpha +1-x)\,y'+{\lambda }\,y=0\,\qquad (x^{\alpha +1}\,e^{ -x}\,y')'+{\lambda }\,x^{\alpha }\,e^{-x}\,y=0

Valores propios

\lambda_n = n

fórmula recurrente

(n+1)\,L_{n+1}^{(\alpha )}(x)=(2n+1+\alpha -x)\,L_{n}^{(\alpha )} (x)-(n+\alfa)\,L_{n-1}^{(\alfa)}(x)

Normalización

k_n=\frac{(-1)^n}{n!}, \qquad h_n=\frac{\Gamma(n+\alpha+1)}{n!}, \qquad e_n=n!

Otras propiedades

L_n^{(\alfa+1)}(x) = - \frac{d}{dx}L_{n+1}^{(\alfa)}(x)

Polinomios de Hermite

Función de peso en el intervalo de ortogonalidad $W(x)=e^{-x^2}$ $[-\infty,\infty]$

Ecuaciones diferenciales

y''-2xy'+{\lambda }\,y=0\,\qquad (e^{-x^{2}}\,y')'+e^{-x^{2} }\,\lambda\,y=0

Valores propios

\lambda_n = 2n

fórmula recurrente

H_{n+1}(x)=2x\,H_{n}(x)-2n\,H_{n-1}(x)

Normalización

k_n = 2^n, \qquad h_n=2^n\,n!\,\sqrt{\pi}, \qquad e_n=(-1)^n

Primeros polinomios

{\ estilo de visualización H_ {0} (x) = 1}

H_{1}(x)=2x

H_{2}(x)=4x^{2}-2

H_{3}(x)=8x^{3}-12x

H_{4}(x)=16x^{4}-48x^{2}+12

Construcción de polinomios ortogonales

Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt

Se puede construir un sistema de polinomios ortogonales aplicando el proceso de Gram-Schmidt a un sistema de polinomios de la siguiente manera. Definamos un proyector como $f_1, f_2, \ldots, f_k$ $g_k(x)=x^k$

\mathrm{proy}_{f}\,(g) = {\langle f, g\rangle\over\langle f, f\rangle}f = { \int_{x_1}^{x_2} f(x) g (x) W(x) \; dx \over \int_{x_1}^{x_2} (f(x))^2 W(x) \; dx} f(x)

luego los polinomios ortogonales se calculan sucesivamente según el esquema

\begin{align} f_1 & = g_1, \\ f_2 & = g_2-\mathrm{proy}_{f_1}\,(g_2), \\ f_3 & = g_3-\mathrm{proy}_{f_1}\, (g_3)-\mathrm{proy}_{f_2}\,(g_3), \\ & {}\ \ \vdots \\ f_k & = g_k-\sum_{j=1}^{k-1}\mathrm {proy}_{f_j}\,(g_k). \end{alinear}

Este algoritmo pertenece a los algoritmos numéricamente inestables . Al calcular los coeficientes de expansión, los errores de redondeo y los errores de integración numérica se acumulan con el aumento del número de polinomios.

Por momentos de la función de peso

La función de peso definida en el intervalo determina de forma única el sistema de polinomios ortogonales hasta un factor constante. Denotar por números $w(x)$ ${\ estilo de visualización \ izquierda [a; b \ derecha]}$ $\{p_n(x)\}_{n=0}^{\infty}$

\mu_n=\int_a^b{w(x)x^ndx}

momentos de la función de peso, entonces el polinomio se puede representar como: $p_n(x)$

p_n(x) = \det\left[ \begin{matriz} \mu_0 & \mu_1 & \mu_2 & \cdots & \mu_n \\ \mu_1 & \mu_2 & \mu_3 & \cdots & \mu_{n+1} \\ \mu_2 & \mu_3 & \mu_4 & \cdots & \mu_{n+2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ \mu_{n-1} & \mu_n & \mu_ {n+1} & \cdots & \mu_{2n-1} \\ 1 & x & x^2 & \cdots & x^n \end{matriz} \right]

La complejidad de calcular polinomios ortogonales está determinada por la complejidad de calcular el determinante de la matriz . Las implementaciones algorítmicas existentes del cálculo requieren un mínimo de operaciones. $O(n^{3})$

Prueba

Probemos que el polinomio así definido es ortogonal a todos los polinomios de grado menor que n . Considere el producto escalar en para . $p_n(x)$ $p_n(x)$ $x^{k}$ $k<n$

\begin{align} \int_\mathbb{R} x^k p_n(x)\,d\mu & {} = \int_\mathbb{R} x^k \det\left[ \begin{matriz} \mu_0 & \mu_1 & \mu_2 & \cdots & \mu_n \\ \mu_1 & \mu_2 & \mu_3 & \cdots & \mu_{n+1} \\ \mu_2 & \mu_3 & \mu_4 & \cdots & \mu_{ n+2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ \mu_{n-1} & \mu_n & \mu_{n+1} & \cdots & \mu_{2n-1} \ \ 1 & x & x^2 & \cdots & x^n \end{matriz} \right] \,d\mu \\ \\ & {} = \int_\mathbb{R} \det\left[ \begin {matriz} \mu_0 & \mu_1 & \mu_2 & \cdots & \mu_n \\ \mu_1 & \mu_2 & \mu_3 & \cdots & \mu_{n+1} \\ \mu_2 & \mu_3 & \mu_4 & \ cdots & \mu_{n+2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ \mu_{n-1} & \mu_n & \mu_{n+1} & \cdots & \mu_{ 2n-1} \\ x^k & x^{k+1} & x^{k+2} & \cdots & x^{k+n} \end{matriz} \right] \,d\mu \ \ \\ & {} = \det\left[ \begin{matriz} \mu_0 & \mu_1 & \mu_2 & \cdots & \mu_n \\ \mu_1 & \mu_2 & \mu_3 & \cdots & \mu_{n+ 1 } \\ \mu_2 & \mu_3 & \mu_4 & \cdots & \mu_{n+2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ \mu_{n-1} & \mu_n & \ mu_{n+1} & \cdots & \mu_{2n-1} \\ \displaystyle \int_\mathbb{R} x^k \, d\mu & \displaystyle \int_\mathbb{R} x^{k+1} \, d\mu & \displaystyle \int_\mathbb{R } x^{k+2} \, d\mu & \cdots & \displaystyle \int_\mathbb{R} x^{k+n} \, d\mu \end{matriz} \right] \\ \\ & {} = \det \left[ \begin{matriz} \mu_0 & \mu_1 & \mu_2 & \cdots & \mu_n \\ \mu_1 & \mu_2 & \mu_3 & \cdots & \mu_{n+1} \ \ \mu_2 & \mu_3 & \mu_4 & \cdots & \mu_{n+2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ \mu_{n-1} & \mu_n & \mu_{ n+1} & \cdots & \mu_{2n-1} \\ \mu_k & \mu_{k+1} & \mu_{k+2} & \cdots & \mu_{k+n} \end{matriz } \right] \\ \\ & {} = 0. \end{align}

Debido a que la matriz tiene dos filas coincidentes para . $k<n$

Por fórmulas recurrentes

Si elegimos la normalización del polinomio de tal forma que el coeficiente del término principal sea igual a uno, la relación de recurrencia se puede reescribir de la siguiente forma: $p_n(x)$ $k_n$

{p_{n+1}(x)\ =\ (x-\alpha_n)\ p_n(x)\ -\ \gamma_n\ p_{n-1}(x)},

dónde

\alpha_n = \frac{\langle x p_n, p_n\rangle}{\langle p_n, p_n\rangle}, \qquad \gamma_n = \frac{\langle x p_n, p_{n-1}\rangle}{\langle p_{n-1}, p_{n-1}\rango}

Aplicaciones de polinomios ortogonales

Los polinomios ortogonales se utilizan para construir fórmulas de cuadratura exacta

$\int\limits_{\Omega} f(x) w(x) dx \approx \sum\limits_{i=1}^{n} w_i f(x_i),$

donde y son los nodos y pesos de la fórmula de cuadratura. La fórmula de cuadratura es exacta para todos los polinomios hasta el grado . En este caso, los nodos son las raíces del n-ésimo polinomio de la secuencia de polinomios ortogonales con la función de peso . Los pesos se calculan a partir de la fórmula de Christoffel-Darboux. $x_{yo}$ $Wisconsin}$ $f(x)$ $2n-1$ $x_{yo}$ $p_0(x),p_1(x), ...$ $w(x)$ $Wisconsin}$

Además, los polinomios de Chebyshev del primer y segundo tipo se usan a menudo para aproximar funciones. $T_{n}(x)$ $U_{n}(x)$

Notas

Enlaces

Gabor Szego. Polinomios ortogonales (indefinidos) . - Publicaciones del coloquio - American Mathematical Society, 1939. - ISBN 0-8218-1023-5 .
Dunham Jackson. Series de Fourier y polinomios ortogonales . - Nueva York: Dover, 1941, 2004. - ISBN 0-486-43808-2 .
Refaat El Attar. Funciones Especiales y Polinomios Ortogonales . — Lulu Press, Morrisville NC 27560, 2006. — ISBN 1-4116-6690-9 .
Teodoro Seio Chihara. Una introducción a los polinomios ortogonales . - Gordon and Breach, Nueva York, 1978. - ISBN 0-677-04150-0 .

Para leer más

Ismail, Mourad EH Polinomios ortogonales clásicos y cuánticos en una variable . -Cambridge: Cambridge University Press , 2005. -ISBN 0-521-78201-5 .
Vilmos Tótik Polinomios Ortogonales (indefinidos) // Estudios en Teoría de Aproximaciones. - 2005. - T. 1 . - S. 70-125 .
Bateman G., Erdeyi A. . Funciones de Bessel, funciones de cilindro parabólico, polinomios ortogonales // Funciones trascendentes superiores. T. 2. / Per. De inglés. N. Ya. Vilenkina. — M .: Nauka , 1966. — 296 p.

polinomios ortogonales
Polinomios de Bessel Polinomios de Gegenbauer Polinomios de Kravchuk Polinomios de Laguerre Polinomios de Legendre Polinomios de Polachek Polinomios de Rogers Polinomios de Zernike Polinomios de Chebyshev Polinomios de Charlier Polinomios de Hermite Polinomios de Jacobi