Conjunto de bailarines

La versión actual de la página aún no ha sido revisada por colaboradores experimentados y puede diferir significativamente de la versión revisada el 29 de enero de 2022; las comprobaciones requieren 9 ediciones . Problemas no resueltos en Matemáticas : ¿Existe un conjunto Danzer con densidad acotada o grado de separación acotado?

El conjunto Danzer es el conjunto de puntos que toca cualquier cuerpo convexo de volumen unitario. Ludwig Danzer preguntó si tal conjunto de densidad acotada es posible [1] [2] . Algunas variantes del problema siguen sin resolverse.

Densidad

Una forma de formular el problema de manera más formal es considerar la tasa de crecimiento de un conjunto en un espacio euclidiano bidimensional, definido como una función que asigna números reales a puntos que están a una distancia del origen . La pregunta de Danzer es si un conjunto de Danzer puede tener una tasa de crecimiento , la tasa de crecimiento de conjuntos de puntos completamente espaciados, similar a una red de enteros (que no es un conjunto de Danzer) [2] .

Es posible construir un conjunto de Danzer con una tasa de crecimiento dentro de un coeficiente semilogarítmico . Por ejemplo, al imponer cuadrículas rectangulares, cuyas celdas tienen un volumen constante, pero diferentes proporciones , es posible lograr una tasa de crecimiento [3] . Se conocen construcciones de conjuntos de Danzer con una tasa de crecimiento ligeramente menor , pero la respuesta a la pregunta de Danzer sigue siendo desconocida [4] .

Cobertura limitada

Otra versión del problema, propuesta por Timothy Gowers , pregunta si existe un conjunto de Danzer para el cual existe un límite finito en el número de puntos de intersección y cualquier cuerpo convexo de volumen unitario [5] . Esta variante fue resuelta: tal conjunto Danzer es imposible [6] .

Separación

La tercera versión del problema, que sigue sin resolverse, es el problema de la mosca muerta de Conway . Conway, John Horton recordó que cuando era niño, dormía en una habitación con papel tapiz que parecía un montón de moscas muertas, y trató de encontrar un área abultada que no contuviera moscas [7] . En la formulación de Conway, la pregunta es si existe un conjunto Danzer en el que los puntos del conjunto (moscas muertas) estén separados entre sí por una distancia limitada. Tal conjunto también tendrá necesariamente una cota superior en las distancias de cada punto del plano a la mosca muerta (para tocar todos los puntos del círculo de unidad de área), por lo que debe formar un conjunto de Delaunay , un conjunto que tiene tanto un límite inferior distinto de cero como un límite de distancia finita entre puntos. Este conjunto necesariamente tendrá una tasa de crecimiento , por lo que si existe, entonces también debe resolver la versión original del problema de Danzer. Conway ofreció un premio de $1000 por resolver el problema [8] como parte de un conjunto de problemas que también incluye el problema del gráfico de 99 vértices de Conway , el análisis del juego de monedas y la conjetura de trackle [8] .

Propiedades adicionales

También se pueden restringir las clases de conjuntos de puntos que pueden servir como conjuntos de Danzer de otras maneras. En particular, no pueden ser la unión de un conjunto finito de celosías [3] , no pueden formarse tomando un punto de cada mosaico de sustitución (en la misma posición para cada mosaico del mismo tipo), y no pueden generarse por corte -y-proyecto de construcción de mosaicos aperiódicos . Por lo tanto, los vértices del mosaico "Pinwheel" y el mosaico de Penrose no son conjuntos de Danzer [4] .

Véase también


Notas

  1. ↑ Fenchel, 1967 , pág. 308–325 Problema 6 (Bailarín).
  2. ↑ 1 2 Croft, Falconer, Guy, 1991 , p. 148.
  3. ↑ 1 2 Bambah, Woods, 1971 , pág. 295–301.
  4. ↑ 1 2 Solomon, Weiss, 2016 , pág. 1053-1074.
  5. ↑ Gowers, 2000 , pág. 79–117.
  6. ↑ Solan, Solomon, Weiss, 2017 , pág. 6584–6598.
  7. ↑ Roberts, 2015 , pág. 382.
  8. ↑ 12 Conway , 2017 .

Literatura