Sustituciones de azulejos

Las sustituciones de mosaicos son un método para construir mosaicos . Lo que es más importante, algunas sustituciones de mosaicos forman mosaicos aperiódicos , es decir, mosaicos cuyos prototipos no forman ningún mosaico de traducción paralela . El más famoso de estos son los mosaicos de Penrose . Los mosaicos de sustitución son casos especiales de las reglas de subdivisión finita cuando no se requiere que los mosaicos sean geométricamente iguales.

Introducción

Una sustitución de mosaicos se describe mediante un conjunto de prototipos , un mapeo de extensión y una regla de división que especifica cómo dividir los prototipos extendidos para formar copias de algunos prototipos . Una sustitución iterativa de mosaicos produce un mosaico en el plano, llamado mosaico de sustitución . Algunas teselaciones de permutación son periódicas , es decir, tienen simetría traslacional . Entre las teselaciones de permutación no periódicas, algunas son aperiódicas , lo que significa que sus prototipos no se pueden colocar como teselas periódicas. ${\displaystyle T_{1},T_{2},\puntos,T_{m))$ $q$ ${\ Displaystyle QT_ {yo}}$ $T_{j}$

Un ejemplo simple de cómo crear un mosaico periódico con un mosaico, a saber, un cuadrado:

Al repetir esta sustitución, la cuadrícula cubrirá áreas cada vez más grandes del plano. A continuación se muestra un ejemplo más complejo de dos prototipos.

Uno puede comprender intuitivamente cómo este procedimiento produce un mosaico de sustitución de todo el plano . La definición matemática se da a continuación. Los mosaicos de sustitución son muy útiles como una forma de definir mosaicos aperiódicos , que son temas de estudio en muchas áreas de las matemáticas , incluida la teoría de autómatas , la combinatoria , la geometría combinatoria , los sistemas dinámicos , la teoría de grupos , el análisis armónico y la teoría de números , sin mencionar las áreas donde se originaron estos mosaicos, la cristalografía y la química . En particular, el mosaico de Penrose es un ejemplo de un mosaico de permutación aperiódica.

Historia

En 1973 y 1974, Roger Penrose descubrió una familia de teselaciones aperiódicas, ahora llamadas teselaciones de Penrose . El primer descubrimiento se dio en cuanto a las "reglas de combinación", según las cuales el trabajo con los azulejos procedía de la misma manera que con las piezas de un cuadro de mosaico . La prueba de que las copias de estos prototipos se pueden unir para formar un mosaico plano , pero que este mosaico no puede formar un mosaico periódico, utiliza una construcción que puede considerarse como un mosaico de sustitución de prototipos. En 1977 , Robert Ammann descubrió varios conjuntos de prototipos aperiódicos, es decir, prototipos, para los cuales las reglas de emparejamiento conducen a mosaicos no periódicos. En particular, redescubrió el primer ejemplo de Penrose. Este trabajo influenció a los científicos que trabajaban en el campo de la cristalografía , lo que finalmente condujo al descubrimiento de los cuasicristales . Por el contrario, el interés por los cuasicristales ha llevado al descubrimiento de algunas teselaciones aperiódicas bien ordenadas. Muchos de ellos pueden describirse fácilmente como mosaicos de sustitución.

Definición matemática

Considere regiones en las que están bien condicionadas por , en el sentido de que la región es un subconjunto compacto no vacío que es el cierre de su interior . ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{d))$

Tomemos un conjunto de áreas como prototipos. La colocación del prototipo es el par , donde es una isometría de . La imagen se denomina área de alojamiento. Un mosaico T es un conjunto de regiones de colocación de prototipos en las que las regiones interiores de los prototipos no tienen partes comunes. Decimos que un mosaico T es un mosaico en W si W es la unión de las áreas de preparación de T . $\mathbf {P} =\{T_{1},T_{2},\puntos,T_{m}\}$ $T_{yo}$ ${\ estilo de visualización (T_ {i}, \ varphi)}$ $\varphi$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{d))$ ${\ estilo de visualización \ varphi (T_ {i})}$

La sustitución de tejas en la literatura a menudo no está bien definida. La definición exacta es la siguiente [1] .

Una sustitución de teselas para prototiles P es un par , donde es una aplicación lineal , todos cuyos valores propios son mayores que la unidad en valor absoluto, y las reglas de sustitución se asignan a una tesela . La sustitución de mosaicos genera una asignación de cualquier mosaico T del área W a un mosaico del área ${\ estilo de visualización (Q, \ sigma)}$ ${\displaystyle Q:{\mathbb {R} }^{d}\to {\mathbb {R} }^{d))$ $\sigma$ $T_{yo}$ ${\ Displaystyle QT_ {yo}}$ $\sigma$ ${\ estilo de visualización \ sigma (\ mathbf {T})}$ $Q_{\sigma }(\mathbf {W} )$

\sigma (\mathbf {T} )=\bigcup _{(T_{i},\varphi )\in \mathbf {T} }\{(T_{j},Q\circ \varphi \circ Q ^{-1}\circ \rho ):(T_{j},\rho )\in \sigma (T_{i})\}.

Tenga en cuenta que los prototipos se pueden deducir de la sustitución de mosaicos. Por lo tanto, no es necesario incluirlos en las sustituciones de fichas [2] . ${\ estilo de visualización (Q, \ sigma)}$

Cualquier mosaico , cualquier parte finita del cual es congruente con un subconjunto de algunos , se denomina mosaico de sustitución (por sustitución de mosaico ). ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{d))$ ${\ estilo de visualización \ sigma ^ {k} (T_ {i})}$ ${\ estilo de visualización (Q, \ sigma)}$

Véase también

Mosaico "Molinete"

Notas

↑ Frettlöh, 2005 , pág. 619-639.
↑ Vincent, 2000 , pág. 329-370.

Lectura para leer más

N. Pytheas Fogg. Sustituciones en dinámica, aritmética y combinatoria / Editores Berthé, Valérie; Ferenczi, Sebastián; Mauduit, cristiano; Siegel, A.. - Berlín: Springer-Verlag , 2002. - T. 1794. - (Apuntes sobre matemáticas). — ISBN 3-540-44141-7 .
D. Frettlöh. Dualidad de conjuntos de modelos generados por sustituciones // J. rumano de matemáticas puras y aplicadas. - 2005. - Edición. 50 .
Vince A. Directions in Mathematical Quasicrystals / M. Baake, R. V. Moody. - Providence: AMS, 2000. - Vol. 13. - (Serie de Monografías CRM).

Enlaces

Enciclopedia de mosaicos de sustitución de Dirk Frettlöh y Edmund Harriss

mosaicos geometricos

Periódico

pitagórico
Rómbico
Triángulo de Schwartz
rectangular
- dominó
Pentagonal
Mosaico homogéneo
panales
- Colorear
- convexo
- Mosaico dividido
Grupo cristalográfico plano
construcción

aperiódico

Ammann-Binker
Conjunto aperiódico de mosaicos
- Lista
Desafío de una ficha
- Sokolara — Taylor
gilberto
penrose
molinillo
abovedado
División y autopegado de conjuntos
- Esfinge
Trucha

Otro

No isoédrico e isoédrico
Arquitectónico y reflexivo
Límite del círculo III
Gráficos de computadora
panales
Borde transitivo
Paquete
Tareas
- camioneta
- jejeje
- cuadrar
Azulejos de mosaico
- criterio de Conway
- Girih
División regular del plano.
Celosía regular
sustituciones
diagrama de Voronoi
Foderberg

Por configuración de vértice

Esférico	2n_ _ 3 3 norte V3 3.n _ 42.n _ _ V4 2.n _
correcto	2∞ _ 3 6 4 4 6 3
semi- correcto	3 2 .4.3.4 V3 2.4.3.4 _ 3 3 .4 2 3 3 .∞ 3 4 .6 V3 4.6 _ 3.4.6.4 (3.6) 2 3.12 2 4 2 .∞ 4.6.12 4.8 2
Hiperbólico _	3 2 .4.3.5 3 2 .4.3.6 3 2 .4.3.7 3 2 .4.3.8 3 2 .4.3.∞ 3 2 .5.3.5 3 2 .5.3.6 3 2 .6.3.6 3 2 .6.3.8 3 2 .7.3.7 3 2 .8.3.8 3 3 .4.3.4 3 2 .∞.3.∞ 3 4 .7 3 4 .8 3 4 .∞ 3 5 .4 3 7 3 8 3∞ _ (3.4) 3 (3.4) 4 3.4.6 2.4 _ 3.4.7.4 3.4.8.4 3.4.∞.4 3.6.4.6 (3.7) 2 (3.8) 2 3.14 2 3.16 2 (3.∞) 2 3.∞ 2 4 2 .5.4 4 2 .6.4 4 2 .7.4 4 2 .8.4 4 2 .∞.4 4 5 4 6 4 7 4 8 4∞ _ (4.5) 2 (4.6) 2 4.6.12 4.6.14 V4.6.14 4.6.16 V4.6.16 4.6.∞ (4.7) 2 (4.8) 2 4.8.10 V4.8.10 4.8.12 4.8.14 4.8.16 4.8.∞ 4.10 2 4.10.12 4.12 2 4.12.16 4.14 2 4.16 2 4.∞ 2 (4.∞) 2 5 4 5 5 5 6 5∞ _ 5.4.6.4 (5.6) 2 5.8 2 5.10 2 5.12 2 (5.∞) 2 6 4 6 5 6 6 6 8 6.4.8.4 (6.8) 2 6.8 2 6.10 2 6.12 2 6.16 2 7 3 74 _ 7 7 7.6 2 7.8 2 7.14 2 8 3 8 4 8 6 8 8 8 12 8.6 2 8.16 2 ∞ 3 ∞ 4 ∞ 5 ∞∞ _ ∞.6 2 ∞.8 2