Mosaico aperiódico

Un mosaico aperiódico es un mosaico  no periódico con la propiedad adicional de que el mosaico no contiene piezas periódicas infinitamente grandes. Un conjunto de tipos de mosaicos (o prototipos ) es un conjunto de prototipos no periódicos si las copias de estos mosaicos pueden formar solo mosaicos aperiódicos . Las teselaciones de Penrose [1] [2] son ​​los ejemplos más conocidos de teselaciones aperiódicas.

Las teselaciones aperiódicas sirven como modelos matemáticos para los cuasicristales , cuerpos físicos, que fueron descubiertos en 1982 por Dan Shechtman [3] , quien recibió el Premio Nobel en 2011 [4] . Sin embargo, la estructura local específica de estos materiales sigue siendo poco conocida.

Se conocen algunos métodos para construir mosaicos aperiódicos.

Definición e ilustración

Considere un mosaico periódico de cuadrados unitarios (parece un papel cuadriculado infinito ). Ahora dividamos un cuadrado en dos rectángulos. El teselado así obtenido no es periódico, no hay cambio que deje este teselado sin cambios. Está claro que este ejemplo es mucho menos interesante que el mosaico de Penrose. Para excluir tales ejemplos, una teselación aperiódica se define como aquella que no contiene partes periódicas arbitrariamente grandes.

Una teselación se llama aperiódica si su envolvente contiene únicamente teselas aperiódicas. La envolvente de la teselación contiene todas las traslaciones T+x de la teselación T junto con todas las teselaciones que pueden aproximarse mediante la traslación T. Formalmente, este es el cierre de un conjunto en la topología local [5] . En una topología local (correspondiente a la métrica), dos mosaicos están cerca si son iguales en un círculo de radio alrededor del origen (quizás después de que uno de los mosaicos se haya desplazado una distancia menor que ).

Para dar un ejemplo aún más simple, considere un mosaico T unidimensional de una línea que se parece a... aaaaaabaaa ... donde a representa un intervalo de longitud uno y b representa un intervalo de longitud dos. Entonces el teselado T consta de un número infinito de copias de a y una copia de b (digamos, centradas en 0). Ahora todas las traslaciones de T son mosaicos con una b en alguna parte y una en otra parte. Una secuencia de mosaicos en los que b está centrado en los puntos converge (en la topología local) a un mosaico periódico que consiste solo en mosaicos a . Así, T no es un teselado aperiódico, ya que su clausura contiene un teselado periódico … aaaaaa ….

Para muchas teselaciones "buenas" (por ejemplo, sustituciones de mosaicos con un número finito de patrones locales), la afirmación se cumple: si un mosaico no contiene un punto y se repite (es decir, cada mosaico aparece con la misma probabilidad que es mosaico), entonces es aperiódica [6] [5] .

Historia

La cuestión de las teselaciones no periódicas surgió por primera vez en 1961, cuando el lógico Hao Wang trató de averiguar si el problema del dominó podía resolverse, es decir, si había un algoritmo para determinar que un conjunto finito dado de proto-tejas formaba una tesela. plano. Wang encontró algoritmos para enumerar conjuntos de mosaicos que no se pueden colocar en un plano y conjuntos de mosaicos que colocan mosaicos en el plano periódicamente. Así, demostró que tal algoritmo existe si para cualquier conjunto finito de prototiles que permite teselar el plano, también existe un teselado periódico. En 1964, Robert Berger encontró un conjunto aperiódico, demostrando así que el problema del mosaico es, de hecho, irresoluble [7] . Este fue el primer conjunto de este tipo utilizado en su prueba de indecidibilidad y contenía 20.426 fichas de Wang. Berger luego redujo el número de mosaicos a 104, y Hans Löichli encontró un conjunto aperiódico de 40 mosaicos Van [8] . Incluso un conjunto más pequeño de seis mosaicos aperiódicos (basado en mosaicos de Wang) fue descubierto por Raphael Robinson en 1971 [9] . Roger Penrose encontró otros tres juegos en 1973 y 1974, reduciendo el número de mosaicos necesarios a dos, y Robert Ammann encontró varios otros juegos en 1977 8] . En 2010, Sokolar y Taylor encontraron un conjunto de dos mosaicos del mismo tipo (hexágonos regulares), con un mosaico simétrico al otro [10] .

Las teselaciones aperiódicas de Penrose pueden generarse no solo mediante conjuntos aperiódicos de prototipos, sino también mediante sustitución y el método de cortar y proyectar . Después del descubrimiento de los cuasicristales, los físicos y matemáticos comenzaron a estudiar intensamente los mosaicos aperiódicos. El método de "cortar y proyectar" de N. G. de Bruijn para las teselaciones de Penrose finalmente se convirtió en parte de la teoría de conjuntos de Meyer [11] [12] . Actualmente, existe una gran cantidad de literatura sobre teselaciones aperiódicas [5] .

Edificios

Hay varios métodos para construir mosaicos aperiódicos. Varias construcciones se basan en familias infinitas de conjuntos aperiódicos de mosaicos [13] [14] . Estas construcciones encontradas funcionan en la mayoría de los casos de varias maneras, principalmente mediante el uso de algún tipo de estructura jerárquica aperiódica. A pesar de esto, la irresolubilidad del problema del dominó asegura que debe haber un número infinito de construcciones diferentes y, de hecho, hay conjuntos de fichas aperiódicos para los que es imposible probar su aperiodicidad.

Teselaciones jerárquicas aperiódicas

Hasta la fecha, no existe una definición formal que describa cuándo un mosaico tiene una estructura jerárquica. Sin embargo, está claro que las sustituciones de mosaicos tienen tal estructura, al igual que los mosaicos de Berger, Knuth , Leuchli y Robinson . Al igual que con el término "mosaico aperiódico", el término "mosaico jerárquico aperiódico" es una abreviatura conveniente para algo así como "un conjunto de mosaicos que solo permiten mosaicos jerárquicos aperiódicos".

Cada uno de estos conjuntos de mosaicos obliga a cualquier mosaico de estos mosaicos a tener una estructura jerárquica. (En muchos de los siguientes ejemplos, esta estructura se puede describir como un sistema de sustitución de baldosas, como se describe a continuación). Ningún mosaico de estos conjuntos de mosaicos puede ser periódico, simplemente porque ninguna transferencia paralela puede dejar intacta toda la estructura jerárquica. Considere los mosaicos de Robinson de 1971:

Cualquier mosaico con estos mosaicos solo puede dar una jerarquía de cuadrículas cuadradas: cada cuadrado naranja en la esquina de un cuadrado más grande, y así hasta el infinito. Cualquier traslación paralela debe ser menor que el tamaño de algún cuadrado y, por lo tanto, no puede dejar invariante tal mosaico.

Robinson demostró que estos mosaicos deben formar un patrón de forma inductiva. Como resultado, los mosaicos deben formar bloques que juntos representen versiones ampliadas de los mosaicos originales, y así sucesivamente. Esta idea de encontrar un conjunto de mosaicos que solo puedan constituir estructuras jerárquicas se utiliza ahora para construir la mayoría de los conjuntos de mosaicos aperiódicos conocidos.

Sustituciones

Los sistemas de sustitución de teselas proporcionan una rica fuente de teselaciones aperiódicas. Un conjunto de mosaicos que fuerza una estructura de sustitución se dice que es una estructura de sustitución forzada . Por ejemplo, las baldosas de silla que se muestran a continuación permiten sustituciones, y en la figura se muestra un fragmento de sustitución de baldosa. Estas sustituciones de mosaicos no son necesariamente periódicas, pero el mosaico de la silla no es aperiódico; es fácil encontrar un mosaico periódico con estos mosaicos.

Sin embargo, las fichas que se muestran a continuación fuerzan la estructura de sustitución de la ficha de la silla y, por lo tanto, son aperiódicas [15] .

Los mosaicos de Penrose, y poco después algunos juegos de mosaicos de Amman [16] , fueron los primeros ejemplos basados ​​en estructuras de sustitución forzada de mosaicos. Joshua Sokolar [17] [18] , Penrose, Roger [19] , Ludwig Danzer [20] y Chaim Goodman-Strauss [15] han encontrado varios conjuntos adicionales. Shahar Moses dio la primera construcción general, mostrando que cualquier producto de sistemas de sustitución unidimensionales puede ser forzado por reglas de sustitución [14] . Charles Radin encontró reglas forzadas para el sistema de sustitución de mosaicos para el mosaico Pinwheel de Conway [21] . En 1998, Goodman-Strauss demostró que se pueden encontrar reglas de unión local para cualquier estructura de sustitución de fichas que satisfaga algunas condiciones moderadas [13] .

Método de cortar y proyectar

Los mosaicos sin periodos se pueden obtener proyectando estructuras de gran dimensión en un espacio de menor dimensión, y en algunas circunstancias pueden existir mosaicos que impidan que estas estructuras tengan periodo, por lo que los mosaicos serán aperiódicos. Los mosaicos de Penrose son el primer y mejor ejemplo conocido de tales mosaicos, como se ve en el trabajo pionero de de Bruijn [22] . Existe una descripción incompleta (algebraica) de mosaicos de corte y proyección que pueden forzarse mediante reglas de unión, aunque se conocen muchas condiciones necesarias y suficientes [23] .

Otras técnicas

Solo se han encontrado algunos otros tipos de construcciones. En particular, Jarkko Kari dio un conjunto aperiódico de fichas de Wang basado en productos por 2 o 2/3 de los números reales codificados por filas de fichas (la codificación está relacionada con las secuencias de Sturm obtenidas como las diferencias de elementos sucesivos de la sucesión de Beatty ), con una periodicidad relacionada principalmente con el hecho de que 2 n /3 m nunca es igual a 1 para ninguno de los números enteros positivos n y m [24] . Este método fue posteriormente adaptado por Goodman-Strauss para obtener un conjunto estrictamente aperiódico de mosaicos en el plano hiperbólico [25] . Shahar Moses ha encontrado muchas construcciones alternativas de conjuntos aperiódicos de mosaicos, algunos en entornos más exóticos, como grupos de Lie semisimples [ 26] . Block y Weinberger utilizaron métodos homológicos para construir conjuntos aperiódicos de mosaicos para todas las variedades no susceptibles [27] . Joshua Socolar también dio otra forma de forzar la no periodicidad en términos de condiciones alternas [28] . Esto generalmente conduce a conjuntos de fichas mucho más pequeños que el conjunto obtenido de las sustituciones.

Física de teselaciones aperiódicas

Las teselaciones aperiódicas se consideraban objetos puramente matemáticos hasta 1984, cuando el físico Dan Shechtman anunció el descubrimiento de un tipo de aleación de aluminio y manganeso que proporcionaba un patrón de difracción nítido con una simetría quíntuple inequívoca [3] . Por lo tanto, esta sustancia debe ser una sustancia cristalina con simetría icosaédrica. En 1975, Robert Ammann ya había extendido la construcción de Penrose a un equivalente icosaédrico tridimensional. En tales casos, el término "mosaico" adquiere el significado de "relleno de espacio". Los dispositivos fotónicos ahora se construyen como secuencias aperiódicas de diferentes capas, que son aperiódicas en una dirección y periódicas en las otras dos. La estructura de los cuasicristales de Cd-Te resultó consistir en capas atómicas en las que los átomos están dispuestos en una forma aperiódica plana. A veces, el mínimo de energía o el máximo de entropía se manifiesta precisamente en tales estructuras aperiódicas. Steinhardt demostró que los decágonos enlazados de Hummelt permiten la aplicación del principio extremum y, por lo tanto, proporcionan un vínculo entre las teselaciones matemáticas no periódicas y la estructura de los cuasicristales [29] . Se observó un fenómeno cuando las ondas de Faraday formaron grandes fragmentos de mosaicos aperiódicos [30] . La física de este descubrimiento reavivó el interés por las estructuras y frecuencias no proporcionales, y apareció una suposición sobre la conexión entre los mosaicos aperiódicos y el fenómeno de la interferencia [31] .

Confusión terminológica

El término aperiódico se usa en la literatura de mosaico matemático de muchas maneras (y también en otras áreas de las matemáticas, como los sistemas dinámicos y la teoría de grafos, en un sentido completamente diferente). Para mosaicos, el término aperiódico a veces se usa como sinónimo de no periodicidad. Una teselación no periódica es una teselación que no tiene una traslación paralela no trivial. A veces, el término se usa, explícita o implícitamente, para describir teselaciones formadas por un conjunto aperiódico de prototipos. A menudo, el término se ha utilizado vagamente para describir las estructuras de sustancias físicas aperiódicas, a saber, cuasicristales, o algo no periódico con algún tipo de orden global.

El uso de las palabras "mosaico" o "mosaico" también es problemático, incluso cuando los términos se definen explícitamente. Por ejemplo, no hay un solo mosaico  de Penrose: los diamantes de Penrose implican un número infinito de mosaicos (que no se pueden distinguir localmente). Por lo general, trate de evitar el uso de estos términos en la literatura técnica, pero los términos se usan ampliamente como informales.

Véase también

• Girih (matemáticas)
• Lista de conjuntos de mosaicos no periódicos
• cuasicristal
• Zulliage

Notas

1. ↑ Gardner, 1977 , pág. 111–119.
2. ↑ Garner, 1988 .
3. ↑ 1 2 Schechtman, Blech, Gratias, Cahn, 1984 , p. 1951-1953
4. ↑ Premio Nobel de Química 2011 .
5. ↑ 1 2 3 Baake, Grimm, 2013 .
6. ↑ Puede parecer que hay una tautología aquí, pero la ausencia de un período significa que en esta versión del mosaico no hay período, y la aperiodicidad del mosaico significa que es imposible crear un mosaico periódico usando las mismas piezas . .
7. ↑ Berger, 1966 , pág. 1–72.
8. ↑ 1 2 Grünbaum y Shephard 1986 , p. sección 11.1.
9. ↑ Robinson, 1971 , pág. 177–209.
10. ↑ Socolar, Taylor, 2010 .
11. ↑ Lagarias, 1996 , p. 356–376.
12. ↑ Moody, 1997 , pág. 403–441.
13. ↑ 1 2 Goodman-Strauss, 1998 , pág. 181–223.
14. ↑ 12 Moisés , 1989 , pág. 39–186.
15. ↑ 1 2 Goodman-Strauss, 1999 , pág. 375–384.
16. ↑ Grünbaum, Shephard, 1986 .
17. ↑ Sénechal, 1995 .
18. ↑ Socolar, 1989 , pág. 10519–51.
19. ↑ Penrose, 1997 , pág. 467–497.
20. ↑ Nischke y Danzer 1996 , pág. 221–236.
21. ↑ Radin, 1994 , pág. 661–702.
22. ↑ de Bruijn, 1981 , p. 39–52, 53–66.
23. ↑ Le, 1997 , pág. 331–366.
24. ↑ Kari, 1996 , pág. 259–264.
25. ↑ Goodman-Strauss, 2005 , pág. 119–132.
26. ↑ Moisés, 1997 , p. 603–611.
27. ↑ Block, Weinberger, 1992 , pág. 907–918.
28. ↑ Socolar, 1990 , pág. 599–619.
29. ↑ Steinhardt .
30. ↑ Edwards, Fauve, 1993 .
31. ↑ Levy, Mercier, 2006 , pág. 115.

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Enlaces

• El depósito de chatarra de la geometría
• Teselaciones aperiódicas