Monoide (teoría de categorías)

En teoría de categorías, un monoide en una categoría monoide es un objeto M junto con dos morfismos ${\ estilo de visualización (M, \ mu, \ eta)}$ ${\ estilo de visualización (\ mathbf {C}, \ a veces, yo)}$

$\mu :M\otimes M\to M$ (llamada multiplicación ),
y (llamada la unidad ), ${\ estilo de visualización \ eta: yo \ a M}$

tal que el siguiente diagrama pentagonal

así como un diagrama

son conmutativos . La notación es la misma que en el artículo Categoría monoide : I es la unidad de la categoría, y son el asociador y los morfismos correspondientes a la multiplicación izquierda y derecha por uno. $\alfa$ $\lambda$ $\rho$

Dualmente , un comonoide en la categoría monoide C es un monoide en la categoría dual . $\mathbf {C} ^{\mathrm {op} }$

Deje que la categoría C también tenga una transformación de simetría . Entonces se dice que un monoide es simétrico si $\gama$ $METRO$

{\ estilo de visualización \ mu \ circ \ gamma = \ mu}

Ejemplos

Un monoide en la categoría Conjunto (considerado como una categoría monoide con respecto al producto directo ) es un monoide en el sentido algebraico general.
Un monoide en la categoría de grupos abelianos (con producto tensorial como -módulos) es un anillo . $\matemáticas {Z}$
Del teorema de Eckmann-Hilton [ se deduce que un monoide en la categoría de anillos (con unidad) es un anillo conmutativo .
Un monoide en la categoría de módulos sobre un anillo conmutativo R es un R - álgebra .
Monoid en la categoría de espacios vectoriales sobre un campo k - k - algebra , respectivamente, komonoid - k - coalgebra .
Para cualquier categoría C , la categoría [C,C] de los endofuntores ( funtores en sí mismos) [C,C] tiene una estructura monoide inducida por la operación de composición. Un monoide en la categoría de endofunctors [C,C] es una mónada en C .

La categoría de los monoides

Sean y dos monoides en una categoría monoide C , un morfismo es un morfismo monoide si ${\ estilo de visualización (M, \ mu, \ eta)}$ ${\ estilo de visualización (M', \ mu ', \ eta')}$ ${\ estilo de visualización f: M \ a M'}$

$f\circ \mu =\mu '\circ (f\otimes f)$ ,
$f\circ \eta =\eta '$ .

La categoría de monoides en C con los morfismos definidos anteriormente se escribe como . $\mathbf {Lun}_{\mathbf {C} }$

Literatura

McLane S. Categorías para un matemático en activo - M.: Fizmatlit, 2004.
Mati Kilp, Ulrich Knauer, Alexander V. Mikhalov, Monoides , actos y categorías (2000), Walter de Gruyter, Berlín - ISBN 3-11-015248-7