Coeficiente multinomial

Coeficientes multinomiales ( polinómicos ) - coeficientes en expansión en términos de monomios : $(x_{1}+x_{2}+\puntos +x_{m})^{n}$ $x_{1}^{{k_{1}}}x_{2}^{{k_{2}}}\puntos x_{m}^{{k_{m}}}$

(x_{1}+x_{2}+\puntos +x_{m})^{n}=\sum_{{k_{1}+k_{2}+\puntos +k_{m}=n}} {n \elegir k_{1},\ k_{2},\ \puntos,\ k_{m}}x_{1}^{{k_{1}}}x_{2}^{{k_{2}} }\puntos x_{m}^{{k_{m}}}.

Fórmula explícita

El valor del coeficiente multinomial se define para todos los números enteros no negativos n y tales que : $\textstyle {\binom {n}{k_{1},\ k_{2},\ \puntos,\ k_{m))}$ $k_{1},k_{2},\puntos,k_{m}$ $k_{1}+k_{2}+\puntos +k_{m}=n$

{\binom {n}{k_{1},\ k_{2},\ \puntos,\ k_{m))}={\frac {n!}{k_{1}!k_{2}!\puntos k_{m}!}}.

El coeficiente binomial para números enteros no negativos n , k es un caso especial del coeficiente multinomial (para m = 2), a saber $\textstyle {\binom {n}{k))$

{n \elegir k}={n \elegir k,\nk}.

Propiedades

En un sentido combinatorio, el coeficiente multinomial es igual al número de particiones ordenadas de un conjunto de n elementos en m subconjuntos de cardinalidad . $\textstyle {\binom {n}{k_{1},\ k_{2},\ \puntos,\ k_{m))}$ $k_{1},k_{2},\puntos,k_{m}$

$\sum _{{k_{1}+k_{2}+\puntos +k_{m}=n}}{n \elegir k_{1},\ k_{2},\ \puntos,\ k_{m} }=m^{n}.$

La fórmula de Stirling para fijo implica la fórmula asintótica $(\alpha _{i})_{i=1}^{n}\in (0;1)^{n},\ \alpha _{1}+\dots +\alpha _{k} =1$ ${\binom {n}{\alpha _{1}n,\ \dots ,\ \alpha _{k}n}}\sim \left({{\frac {1}{{\alpha_{ 1}}^{\alpha _{1}}\dots {\alpha _{k}}^{\alpha _{k}}}}+o(1)}\right)^{n}$

Véase también

Distribución multinomial