Continuidad según Scott

La continuidad según Scott  es una propiedad de las funciones sobre conjuntos parcialmente ordenados , que se expresa en la conservación de la cota superior exacta con respecto a la relación de orden parcial .

La topología de Scott  es una estructura sobre un retículo completo o, más generalmente, sobre un conjunto completo parcialmente ordenado , en el que los conjuntos superiores se consideran abiertos que son inaccesibles a las conexiones directas, o de manera equivalente, una topología dentro de la cual funciona sobre conjuntos parcialmente ordenados que conservan el límite superior exacto, son continuos [1] .

Los conceptos fueron desarrollados en la década de 1970 por Dana Scott , gracias a ellos se construyó el primer modelo consistente del cálculo λ no tipado y la semántica denotacional . En particular, las funciones de aplicación y curry son continuas en el sentido de Scott [2] .

Definiciones

Si y  son conjuntos parcialmente ordenados, entonces la función entre ellos es continua de Scott si para cualquier subconjunto dirigido hay un límite superior mínimo de su imagen y se cumple la siguiente condición: .

La topología de Scott en un poset completo se introduce definiendo un conjunto abierto que tiene las siguientes propiedades:

  1. de lo que sigue ;
  2. si , dónde y dirigido , entonces [3] .

La topología de Scott se introdujo por primera vez para redes completas [4] , luego se generalizó para completar conjuntos parcialmente ordenados [3] .

La categoría cuyos objetos son conjuntos completos parcialmente ordenados y cuyos morfismos  son aplicaciones continuas en el sentido de Scott se denota por .

Propiedades

Las funciones continuas de Scott son siempre monótonas con respecto a la relación de orden parcial .

Un subconjunto de un conjunto parcialmente ordenado es cerrado en la topología de Scott si y solo si es un conjunto inferior e incluye los límites mínimos superiores de todos sus subconjuntos [5] .

Un conjunto completo parcialmente ordenado dotado de la topología de Scott es siempre un espacio T 0 y uno de Hausdorff  si y sólo si la relación de orden es trivial [5] .

Para cualquier función continua de Scott que mapee un poset completo sobre sí mismo, se cumple el teorema de Kleene , según el cual cada mapeo tiene un único punto fijo más pequeño . Además, la aplicación definida sobre el conjunto de funciones continuas de Scott y que devuelve para cada función el valor de su punto fijo ( ), es en sí misma continua de Scott [6] .

La categoría es cartesiana cerrada [7] .

Análogos

Una construcción cercana en propiedades a la topología de Scott es la categoría de -espacios desarrollada por Yuri Ershov en 1975 [8]  — también se puede usar para construir un modelo consistente del cálculo λ. Como ventaja, se observa [9] que la categoría de -espacios es cartesiana cerrada, cada objeto en él es un espacio topológico, la topología sobre el producto es el producto de las topologías de factores, y la topología en el espacio de funciones resulta ser la topología de la convergencia puntual . La topología de Scott no tiene propiedades tan convenientes; en particular, el producto de topologías de Scott sobre conjuntos completos parcialmente ordenados no es, en el caso general, una topología de Scott sobre un producto de conjuntos.

Notas

  1. ↑ Barendregt, 1985 , Teorema 1.2.6, p. 23
  2. ↑ Barendregt, 1985 , Teoremas 1.2.13, 1.2.14, p. 25
  3. ↑ 1 2 Barendregt, 1985 , pág. 24
  4. ↑ Scott, 1972 .
  5. ↑ 1 2 Abramsky, 1995 .
  6. ↑ Barendregt, 1985 , Teorema 1.2.17, p. 25-26.
  7. ↑ Barendregt, 1985 , Teorema 1.2.16, p. 25
  8. ↑ Ershov, Yuri . Teoría de la numeración. — M .: Nauka , 1977. — 416 p.
  9. ↑ Barendregt, 1985 , pág. 22

Literatura