Desigualdad de Bessel

En matemáticas , la desigualdad de Bessel es una declaración sobre los coeficientes de un elemento en un espacio de Hilbert con respecto a una secuencia ortonormal. $X$

Redacción

Sea un espacio de Hilbert, y sea una secuencia ortonormal de elementos . Entonces, para una arbitraria , se cumple la desigualdad [1] : $H$ $e_1, e_2, ...$ $H$ $x\en H$

\sum_{k=1}^{\infty}\left\vert\left\langle x,e_k\right\rangle \right\vert^2 \le \left\Vert x\right\Vert^2

donde denota el producto escalar en el espacio . $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ $H$

La desigualdad de Bessel se sigue de la siguiente igualdad:

0 \le \izquierda\| x - \sum_{k=1}^n \langle x, e_k \rangle e_k\right\|^2 = \|x\|^2 - 2 \sum_{k=1}^n |\langle x, e_k \rangle |^2 + \sum_{k=1}^n | \langle x, e_k \rangle |^2 = \|x\|^2 - \sum_{k=1}^n | \langle x, e_k \rangle |^2,

que se cumple para un arbitrario . $n\geq 1$

Véase también

la igualdad de Parseval

Enlaces

Desigualdad de Bessel Archivado el 29 de junio de 2011 en el artículo de Wayback Machine en el sitio web de MathWorld.
PÁGINAS. Vagin, BA Ostudin, G.A. Shinkarenko Fundamentos del análisis funcional (curso de conferencias). - Lviv : el centro Vidavnichesky de LNU lleva el nombre de Ivan Franko, 2005. - P. 109. - 140 p. - ISBN UDC 517.98 (042.4) (enlace inaccesible)

Notas

↑ Ilyin, Poznyak, 2002 , Teorema 10.4, p. 318.

Literatura

Ilyin V. A. , Poznyak E. G. Fundamentos del análisis matemático: en 2 horas Parte II. - 4to. — M .: FIZMATLIT , 2002. — 464 p. — ISBN 5-9221-0131-5 .