Desigualdad de Bogomolov-Miaoki-Yau

La desigualdad de Bogomolov-Miaoki-Yau es una desigualdad

entre números de Zhen de superficies complejas compactas de forma general . El principal interés de esta desigualdad es la posibilidad de limitar los posibles tipos topológicos de la cuadriplicidad real bajo consideración. La desigualdad fue probada de forma independiente por Yau [1] [2] y Miaoki [3] , después de que Van de Ven [4] y Fedor Bogomolov [5] probaran versiones más débiles de la desigualdad con constantes 8 y 4 en lugar de 3.

Borel y Hirzebruch demostraron que la desigualdad no puede mejorarse encontrando infinitos casos en los que se cumple la igualdad. La desigualdad no es cierta para las características positivas: Leng [6] y Easton [7] dieron ejemplos de superficies con la característica p , como la superficie de Raynaud generalizada , para las que la desigualdad no se cumple.

Enunciado de la desigualdad

La desigualdad de Bogomolov-Miaoki-Yau generalmente se formula de la siguiente manera.

Sea X una superficie compleja compacta de tipo general , y sean y la primera y la segunda clase Zhen del haz tangente complejo de la superficie. Después

Además, si se cumple la igualdad, entonces X es un factor de la pelota. La última afirmación es consecuencia del enfoque de Yau sobre la geometría diferencial, que se basa en su resolución de la conjetura de Calabi .

Dado que es la característica topológica de Euler , y por el teorema de la firma de Thom-Hirzebruch , donde es la firma de la forma de intersección en la segunda cohomología, la desigualdad de Bogomolov-Miaoki-Yau se puede reescribir como una restricción en el tipo topológico de una superficie general:

y además, si , la tapa universal es una bola.

Junto con la desigualdad de Noether , la desigualdad de Bogomolov-Miaoki-Yau establece límites en la búsqueda de superficies complejas. La consideración de tipos topológicos que se pueden realizar como superficies complejas se denomina geografía de superficie . Ver el artículo Superficies genéricas .

Superficies con c 1 2 = 3 c 2

Sea X una superficie de tipo general con , de modo que la desigualdad de Bogomolov-Miaoki-Yau sea igual. Para tales superficies, Yau [1] demostró que X es isomorfo al factor de bola unitario en un grupo discreto infinito. Es difícil encontrar ejemplos de superficies para las que se cumple la igualdad. Borel [8] demostró que existen infinitos valores para los cuales existen superficies. Mumford [9] encontró un plano proyectivo falso con , que tiene el menor valor posible porque siempre es divisible por 12, mientras que Prasad y Yen [10] [11] y Cartwright y Steger [12] demostraron que hay exactamente 50 planos proyectivos falsos. superficies

Barthel, Hirzebruch y Höfer [13] dieron un método de búsqueda de ejemplo que, en particular, produce superficies X con . Ishida [14] encontró el factor c de tal superficie, y si tomamos coberturas no ramificadas de este factor, obtenemos ejemplos de c para cualquier k positivo . Cartwright y Steger [12] encontraron ejemplos con para cualquier entero positivo n .

Notas

  1. ↑ 12 Yau , 1977 .
  2. ↑ Yau, 1978 .
  3. ↑ Miyaoka, 1977 .
  4. ↑ Van de Ven, 1966 .
  5. ↑ Bogomólov, 1978 .
  6. ↑ Lang, 1983 .
  7. ↑ Eastton, 2008 .
  8. ↑ Borel, 1963 .
  9. ↑ Mumford, 1979 .
  10. ↑ Prasad, Yeung, 2007 .
  11. ↑ Prasad, Yeung, 2010 .
  12. ↑ 1 2 Cartwright, Steger, 2010 , pág. 11–13.
  13. ↑ Barthel, Hirzebruch, Höfer, 1987 .
  14. ↑ Ishida, 1988 .

Literatura