Forma de intersección
La forma de intersección de una 4-variedad compacta orientada es una cierta forma bilineal simétrica en el segundo grupo de cohomología de la variedad.
Esta forma refleja gran parte de la topología de la variedad, incluida la información sobre la presencia de una estructura uniforme .
Definición
Forma de intersección
definido como
![{\displaystyle Q_{M}(a,b)=\langle a\cup b,[M]\rangle .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd09ff715d7f83e5d66b828b9e40bc17be33a5a1)
Si la variedad es suave, entonces la cohomología de De Rham se puede usar en la definición al representar a y b como 2 formas α y β. Entonces la forma de las intersecciones viene dada por la integral
,
donde denota el producto exterior, véase álgebra exterior .
Definiciones relacionadas
- La firma de la forma de intersección forma un invariante importante llamado la firma de la variedad.
Definición dual
La dualidad de Poincaré nos permite considerar la forma de intersección como una forma sobre 2 grupos de homología . Para hacer esto, necesitamos representar los elementos del grupo como superficies que se cortan transversalmente y luego contar el número de puntos de intersección con multiplicidades de +1 o −1, dependiendo de la orientación de la intersección.
Propiedades
- De acuerdo con la fórmula de Wu, una variedad de espín de cuatro dimensiones tiene una forma de intersección uniforme, es decir, Q ( X , X ) es par para cada X .
- Para variedades de 4 simplemente conectadas (o, más generalmente, para variedades sin torsión de 2 en la primera homología), lo contrario también es cierto.
- Una variedad de 4 es el límite de una variedad de 5 si y solo si tiene una firma nula.
- Las variedades de espín de 4 dimensiones tienen una firma que es un múltiplo de ocho.
- Además, de acuerdo con el teorema de Rokhlin , las variedades de espín de 4 dimensiones compactas y suaves tienen una firma que es un múltiplo de 16.
- Por el teorema de Friedmann , para cualquier forma bilineal simétrica unimodular sobre el anillo de los enteros, existe una 4-variedad cerrada simplemente conectada con tal forma de intersección. Es más:
- Para formas pares, solo hay una variedad de este tipo.
- Si la forma es impar, entonces hay dos variedades de este tipo, y al menos una (posiblemente ambas) no tiene una estructura uniforme.
- En el caso extraño, las dos variedades difieren en sus invariantes de Kirby-Siebenmann .
- Por el teorema de Donaldson, si una variedad 4 lisa, simplemente conexa tiene una forma de intersección definida positiva, entonces es diagonalizable.
- Esto implica la existencia de una gran cantidad de 4 colectores que no se suavizan, como un colector E8 .
Variaciones y generalizaciones
- Para 4-variedades no orientables, la forma de intersección con coeficientes en se construye de manera similar .
- La forma de intersección se puede construir sobre variedades de dimensión uniforme arbitraria. Además, es simétrica si la dimensión es divisible por 4 y antisimétrica en caso contrario.
- La firma 4 de una variedad de n dimensiones se define como la firma de su forma de intersección; se puede calcular a partir de las clases de Pontryagin , véase también el género de la variedad .
Enlaces
- Scorpan, A. (2005), El mundo salvaje de 4 variedades , Sociedad Matemática Estadounidense, ISBN 0-8218-3749-4