Desigualdad de Schur

En matemáticas , la desigualdad de Schur , llamada así por el matemático Isai Schur , establece que para números reales arbitrarios no negativos y la desigualdad se cumple: $x, y, z$ $t$

$x^{t}(xy)(xz)+y^{t}(yx)(yz)+z^{t}(zx)(zy)\geqslant 0$

además, la igualdad se logra si y solo si dos o más números entre ellos son iguales entre sí, y el tercero es igual a cero. Si es natural y par , entonces la desigualdad se cumple para todo real . ${\ estilo de visualización x = y = z}$ $t$ $x, y, z$

La aplicación más común y conocida de la desigualdad es el caso especial cuando : $t=1$

$x^{3}+y^{3}+z^{3}+3xyz\geqslant x^{2}y+x^{2}z+y^{2}x+y^{2} z+z^{2}x+z^{2}y$

Prueba

Como la desigualdad es simétrica con respecto a las variables , podemos suponer sin pérdida de generalidad que . Entonces la desigualdad de Schur se vuelve equivalente a la siguiente desigualdad: ${\ estilo de visualización x, y, z}$ ${\ estilo de visualización x \ geqslant y \ geqslant z}$

$(xy)[x^{t}(xz)-y^{t}(yz)]+z^{t}(zx)(zy)\geqslant 0$

que se hace porque . También queda claro a partir de este razonamiento que la igualdad sólo es posible para o y . Considerando las variantes simétricas a ésta, podemos obtener que en la desigualdad original, la igualdad se logra si y sólo si cualquiera de los dos números es igual entre sí, y el tercero es igual a cero, lo cual estaba por demostrar. $x^{t}(xz)\geqslant x^{t}(yz)\geqslant y^{t}(yz)$ ${\ estilo de visualización x = y = z}$ ${\ estilo de visualización x = y}$ ${\ estilo de visualización z = 0}$ ${\ estilo de visualización x = y = z}$ $x, y, z$

Generalizaciones

Una generalización de la desigualdad de Schur es la siguiente desigualdad: para todos los reales y no negativos : $x, y, z$ $a B C$

${\ estilo de visualización a (xy) (xz) + b (yx) (yz) + c (zx) (zy) \ geqslant 0}$

si se cumple al menos una de las siguientes condiciones:

${\ estilo de visualización x \ geqslant y \ geqslant z}$ y $a\geqslant b$
${\ estilo de visualización x \ geqslant y \ geqslant z}$ y $c\geqslant b$
${\ estilo de visualización x \ geqslant y \ geqslant z}$ y ${\ estilo de visualización a + c \ geqslant b}$
${\ estilo de visualización x \ geqslant y \ geqslant z \ geqslant 0}$ y $hacha\geqslant por$
${\ estilo de visualización x \ geqslant y \ geqslant z \ geqslant 0}$ y $cz\geqslant por$
${\ estilo de visualización x \ geqslant y \ geqslant z \ geqslant 0}$ y $hacha+cz\geqslant por$
$a B C$ - lados de algún triángulo (posiblemente degenerado)
$a B C$ - cuadrados de los lados de algún triángulo (posiblemente degenerado)
$hacha,por,cz$ - lados de algún triángulo (posiblemente degenerado)
$hacha,por,cz$ - cuadrados de los lados de algún triángulo (posiblemente degenerado)
Existe una función convexa o monótona , donde es un intervalo que contiene los números , , , y , , $f:\mathbb {I} \longrightarrow \mathbb {R^{+}}$ ${\ matemáticas {yo}}$ $X$ $y$ $z$ ${\ estilo de visualización a = f (x)}$ ${\ estilo de visualización b = f (y)}$ ${\ estilo de visualización c = f (z)}$

Otra posible generalización establece que si los números reales no negativos y un número real positivo son tales que , entonces [1] : ${\ estilo de visualización x \ geq y \ geq z \ geq v}$ $t$ ${\ estilo de visualización x + v \ geq y + z}$

$x^{t}(xy)(xz)(xv)+y^{t}(yx)(yz)(yv)+z^{t}(zx)(zy)(zv)+v^ {t}(vx)(vy)(vz)\geq 0.$

Notas

↑ Finta, Bella (2015). "Una desigualdad de tipo Schur para cinco variables". Tecnología Procedia . 19 : 799-801. DOI : 10.1016/j.protcy.2015.02.114 .