Funciones hiperbólicas inversas

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Las funciones hiperbólicas inversas (también conocidas como funciones de área o funciones de área ) son una familia de funciones elementales definidas como funciones inversas a las funciones hiperbólicas . Estas funciones determinan el área del sector de la hipérbola unitaria x 2 − y 2 = 1 de la misma manera que las funciones trigonométricas inversas determinan la longitud del arco del círculo unitario x 2 + y 2 = 1 . Para estas funciones, a menudo se utilizan las designaciones arcsinh, arcsh, arccosh, arcch, etc., aunque dichas designaciones son, estrictamente hablando, erróneas, ya que el prefijo arc es la abreviatura de arcus (arco) y, por lo tanto, se refiere solo a funciones trigonométricas inversas . entonces como ar representa el área . Las notaciones más correctas son arsinh, arsh, etc. y los nombres seno hiperbólico inverso , areaseno , etc. También se utilizan [1] los nombres áreasina hiperbólica , áreacoseno hiperbólica , etc., pero la palabra " hiperbólica " es superflua aquí, ya que el prefijo " área " indica claramente que la función pertenece a la familia de funciones hiperbólicas inversas . A veces, los nombres de las funciones correspondientes se escriben con un guión : área-seno , área-coseno , etc.

En el plano complejo , las funciones hiperbólicas son periódicas y sus funciones inversas son multivaluadas. Por lo tanto, al igual que las funciones trigonométricas inversas, se acostumbra escribir funciones de área con una letra mayúscula si se quiere decir el conjunto de valores de la función ( el logaritmo en la definición de la función correspondiente también se entiende como el valor general del logaritmo, denotado por Ln). Los valores principales de las funciones correspondientes se escriben con minúscula.

En la literatura rusa, las designaciones de la mayoría de las funciones hiperbólicas directas e inversas (así como partes de las funciones trigonométricas) difieren de las designaciones en inglés.

Nombre de la función	Designación en la literatura rusa	Designación en la literatura inglesa
areasinus	ceniza	arsinh, sinh −1
áreacoseno	arco	arcosh, cosh -1
tangente de área	arte	artanh, tanh −1
tangente de área	arco	arcoth, coth -1
área seca	culo, culo	culo, sech -1
áreacosecante	arcsch	arcsch, csch− 1

Definiciones de funciones

En el plano complejo , los valores principales de las funciones se pueden determinar mediante las fórmulas:

areasinus

\operatorname {arsh}\,z=\ln(z+{\sqrt {z^{2}+1}}\,);

áreacoseno

\operatorname {arco} \,z=\ln(z+{\sqrt {z^{2}-1)))

tangente de área

\operatorname {arth}\,z={\tfrac 12}\ln \left({\frac {1+z}{1-z}}\right);

tangente de área

\operatorname {arco}\,z={\tfrac 12}\ln \left({\frac {z+1}{z-1}}\right);

área seca

\operatorname {arsech} \,z=\ln \left({\frac {1}{z}}+{\sqrt ({\frac {1}{z^{2}}}-1}} \Correcto);

áreacosecante

\operatorname {arcsch}\,z=\ln \left({\frac {1}{z}}+{\sqrt ({\frac {1}{z^{2}}}+1}}\,\ Correcto).

Las raíces cuadradas en estas fórmulas son los valores principales de la raíz cuadrada (es decir, si representas el número complejo z como en ), y las funciones logarítmicas son funciones de la variable compleja. Para argumentos reales, se pueden hacer algunas simplificaciones, por ejemplo, que no siempre son ciertas para los valores principales de las raíces cuadradas. ${\sqrt {z}}={\sqrt {r}}\,e^{i\varphi /2},$ ${\displaystyle z=re^{i\varphi ))$ ${\ estilo de visualización - \ pi <\ varphi \ leq \ pi}$ ${\sqrt {x+1}}{\sqrt {x-1}}={\sqrt {x^{2}-1)),$

Expansión de la serie

Las funciones hiperbólicas inversas se pueden expandir en series :

{\begin{alineado}\operatorname {arsh} \,x&=x-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{3}}{3}} +\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\ cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty} \left({\frac {(-1)^{n}(2n-1)!!}{(2n)!!}}\right){\frac {x^{2n+1}}{(2n+ 1 )}},\qquad \izquierda|x\derecha|<1.\end{alineado}}

{\begin{alineado}\operatorname {arco} \,x&=\ln 2x-\left(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-2 }}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-4}}{4}}+\left({\ fracción {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-6}}{6}}+\cdots \right)\\&=\ln 2x-\sum _{n=1}^{\infty}\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2))}\right){\frac { x^{-2n}}{(2n)}},\qquad x>1.\end{alineado}}

{\begin{alineado}\operatorname {arth} \,x&=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+{ \frac {x^{7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1 )}},\qquad \izquierda|x\derecha|<1.\end{alineado}}

{\begin{alineado}\operatorname {arcsch} \,x=\operatorname {arsh} {\frac {1}{x}}&=x^{-1}-\left({\frac {1 {2}}\derecha){\frac {x^{-3}}{3}}+\izquierda({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\derecha){\frac { x^{-5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-7} {7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty}\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n }(n!)^{2))}\right){\frac {x^{-(2n+1)}}{(2n+1)}},\qquad \left|x\right|>1. \end{alineado}}

{\begin{alineado}\operatorname {arsech} \,x=\operatorname {arch} {\frac {1}{x}}&=\ln {\frac {2}{x}}-\left (\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4} }\right){\frac {x^{4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{6}}{6}}+\cdots \right)\\&=\ln {\frac {2}{x}}-\sum _{n=1}^{\infty }\left( {\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n}}{2n}},\qquad 0<x\leq 1.\end{alineado}}

{\begin{alineado}\operatorname {arth} \,x=\operatorname {arth} {\frac {1}{x}}&=x^{-1}+{\frac {x^{- 3}}{3}}+{\frac {x^{-5}}{5}}+{\frac {x^{-7}}{7}}+\cdots \\&=\sum_{ n=0}^{\infty }{\frac {x^{-(2n+1)}}{(2n+1)}},\qquad \left|x\right|>1.\end{alineado} }

La expansión asintótica de arsh x viene dada por

\operatorname {arsh}\,x=\ln 2x+\sum \limits _{{n=1}}^{\infty }{\left({-1}\right)^{{n-1}}{\ fracción {{\izquierda({2n-1}\derecha)!!}}{{2n\izquierda({2n}\derecha)!!}}}}{\frac {1}{{x^{{2n} }}}}.

Derivados

Función $f(x)$	Derivado $f'(x)$	Nota
${\ estilo de visualización \ matemáticas {arsh} \ x}$	${\ estilo de visualización {\ frac {1} {\ sqrt {x ^ {2} + 1}}}}$	Prueba ${\displaystyle (arsh(x))'=(\ln {(x+{\sqrt {x^{2}+1)))})'={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{ 2}+1))))\cdot (x+{\sqrt {x^{2}+1)))'={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}+1))} }\cdot ((x)'+({\sqrt {x^{2}+1)))')={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}+1)))) \cdot (1+({\sqrt {x^{2}+1}})')={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}+1}}}}\cdot (1 +{\frac {1}{2{\sqrt {x^{2}+1))))\cdot (x^{2}+1)')={\frac {1}{x+{\sqrt { x^{2}+1))))\cdot (1+{\frac {2x}{2{\sqrt {x^{2}+1)))))={\frac {1}{x+{ \sqrt {x^{2}+1))))\cdot ({\frac {x+{\sqrt {x^{2}+1}}}{\sqrt {x^{2}+1}}} )={\frac {x+{\sqrt {x^{2}+1}}}{(x+{\sqrt {x^{2}+1}})\cdot ({\sqrt {x^{2} +1)))))={\frac{1}{\sqrt {x^{2}+1))))$
$\mathrm {arco} \x$	${\ estilo de visualización {\ frac {1} {\ sqrt {x ^ {2} -1}}}}$	Prueba ${\displaystyle (arco(x))'=(\ln {(x+{\sqrt {x^{2}-1)))})'={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{ 2}-1))))\cdot (x+{\sqrt {x^{2}-1)))'={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}-1))} }\cdot ((x)'+({\sqrt {x^{2}-1)))')={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}-1)))) \cdot (1+({\sqrt {x^{2}-1}})')={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}-1}}}}\cdot (1 +{\frac {1}{2{\sqrt {x^{2}-1))))\cdot (x^{2}-1)')={\frac {1}{x+{\sqrt { x^{2}-1))))\cdot (1+{\frac {2x}{2{\sqrt {x^{2}-1)))))={\frac {1}{x+{ \sqrt {x^{2}-1))))\cdot ({\frac {x+{\sqrt {x^{2}-1}}}{\sqrt {x^{2}-1}}} )={\frac {x+{\sqrt {x^{2}-1}}}{(x+{\sqrt {x^{2}-1}})\cdot ({\sqrt {x^{2} -1)))))={\frac{1}{\sqrt {x^{2}-1))))$
${\ estilo de visualización \ matemáticas {arth} \ x}$	${\displaystyle {\frac {1}{1-x^{2))))$	Prueba $({\displaystyle \mathrm {arth} \ x})'={\biggl (}{\frac {1}{2))\cdot \ln {\biggl (}{\frac {1+x} {1-x}}{\biggl )}{\biggl )}'={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1-x}{1+x}}\cdot {\biggl ( }{\frac {1+x}{1-x}}{\biggl)}'={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1-x}{1+x}}\cdot {\frac {(1+x)'(1-x)-(1+x)(1-x)'}{(1-x)^{2))}={\frac {1}{2} }\cdot {\frac {1-x}{1+x}}\cdot {\frac {2}{(1-x)^{2}}}={\frac {1}{1-x^{ 2}}}$
$\mathrm {arco} \x$	${\displaystyle {\frac {1}{1-x^{2))))$	Prueba $({\displaystyle \mathrm {arcth} \ x})'={\biggl (}{\frac {1}{2))\cdot \ln {\biggl (}{\frac {x+1} {x-1}}{\biggl )}{\biggl )}'={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {x-1}{x+1}}\cdot {\biggl ( }{\frac {x+1}{x-1}}{\biggl)}'={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {x-1}{x+1}}\cdot {\frac{(x+1)'(x-1)-(x+1)(x-1)'}{(x-1)^{2))}={\frac{1}{2} }\cdot {\frac {x-1}{x+1}}\cdot {\frac {-2}{(x-1)^{2}}}={\frac {1}{1-x^ {2}}}$
$\mathrm {análisis} \x$	${\displaystyle -{\frac {1}{x(x+1){\sqrt {\frac {1-x}{1+x)))))))$
${\ estilo de visualización \ matemáticas {arcsch} \ x}$	${\displaystyle -{\frac {1}{x(x+1){\sqrt {1+{\frac {1}{x^{2)))))))))$