Cocientes incompletos limitados
La versión actual de la página aún no ha sido revisada por colaboradores experimentados y puede diferir significativamente de la versión revisada el 13 de julio de 2021; la verificación requiere 1 edición .En matemáticas , se dice que un número real tiene cocientes parciales acotados si, cuando se expande en una fracción continua , los cocientes parciales no toman valores arbitrariamente grandes.
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Definición tiro en cadena tiene cocientes incompletos acotados si existe un número tal que para cualquier . |
![{\displaystyle x=[a_{0};a_{1},a_{2},\dots ]=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_ {2}+\puntos}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23bf3fe049604269be302b64b29fb4430aa8d2cd)
Propiedades
- cualquier fracción continua periódica tiene cocientes parciales acotados;
- si tiene cocientes incompletos acotados, entonces en la representación binaria del valor de la función de Minkowski en un punto , la distancia entre los adyacentes está acotada (en este contexto, un conjunto de tales números puede entenderse como una amplia generalización de la idea de construcción de un conjunto de Cantor ).
La hipótesis de Zaremba
La expansión en fracciones continuas de un número racional siempre es finita, por lo que todos sus cocientes parciales están acotados por el mayor de ellos. Por lo tanto, de particular interés es la cuestión de si es posible imponer restricciones uniformes a las fracciones incompletas de la mayoría de los números racionales. Fue dirigida por Stanislav Zaremba en 1972.
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La hipótesis de Zaremba Hay una constante absoluta tal que para cada denominador hay un numerador tal que las partes parciales de la fracción irreducible limitado por la desigualdad |
![{\displaystyle {\frac {a}{q}}=[a_{1},\dots,a_{s}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c14d0a7e2adb43cd98c8c34a598a2aa402e4c6af)
Burgain y Kontorovich demostraron la conjetura para el conjunto de números de densidad 1. [1] Para valores pequeños de los conjuntos constantes y separados de valores admisibles , límites inferiores más débiles en las distribuciones de tales . [2]
Literatura
- J. Bourgain, A. Kontorovich. Sobre la conjetura de Zaremba // Annals of Mathematics. - 2014. - Vol. 180 . - pág. 137-196 .
- ID Kan. Fortalecimiento del teorema de Bourgain-Kontorovich. IV // Actas de la Academia Rusa de Ciencias. - 2016. - T. 80 , núm. 6 _ — S. 103–126 .
Notas
- ↑ Bourgain, Kontorovich, 2014 .
- ↑ Ver Kahn, 2016 y otros trabajos de la misma serie.